Переменные лагранжевы

Для уравнений плоского двумерного нестационарного движения вязкой среды построен скалярный потенциал - аналог линии частицы жидкости - являющийся переменной лагранжева типа. Дано применение уравнений гидродинамики, записанных в этих переменных, к различным классам конвективных динамических и тепловых процессов. Рассматривались реологические модели жидкостей ньютоновская несжимаемая и сжимаемая, нелинейно-вязкая, вязкоупругая, а также турбулентный поток. Для изотермического процесса удалось построить простое преобразование уравнений А.С. Предводителева (жидкость дискретной структуры) к классическим уравнениям Стокса. [c.128]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Интересуясь лишь численным значением гамильтониана, можно записать его как функцию лагранжевых переменных [c.264]

Напомним (определение 4.7.1), что лагранжевыми координатами системы материальных точек называется минимальный набор переменных величин, конкретное задание значений которых однозначно определяет совместное с геометрическими (конечными) связями положение всех точек системы. Число лагранжевых координат есть число степеней свободы системы, а выбор таких координат зависит от структуры геометрических связей. Пусть <71,..., < п — лагранже-вы координаты, — обобщенные скорости. Тогда радиусы- [c.523]

Используя теорему 7.1.1, можно построить систему дифференциальных уравнений движения, в которой искомыми переменными будут лагранжевы координаты и которые будут учитывать действие дополнительных дифференциальных связей. Эти связи мы будем предполагать независимыми, так что после очевидных преобразований и соответствующей перенумерации переменных уравнения связей можно представить в виде [c.526]

Выполнить указанное в уравнениях Лагранжа частное и полное дифференцирование. При этом дифференцирование по обобщенным скоростям и лагранжевым координатам производится так, как будто они независимые переменные. [c.541]

Устойчивость движения означает, что если в начальный момент времени отклонения фазовых переменных (координат и скоростей) от нулевых значений были малыми, то они останутся малыми и в любой другой момент. С целью получения более подробной информации о структуре движения введем допустимые пределы изменения лагранжевых координат и обобщенных скоростей [c.571]

Особую роль в этом методе играет выбор лагранжевых координат. Одна и та же задача для некоторого набора лагранжевых координат может допускать разделение переменных, а для другого набора — не допускать. Проиллюстрируем сказанное на задаче определения закона движения одной материальной точки. [c.657]

Аналогично можно исследовать задачу о разделимости переменных и для других типов лагранжевых координат. [c.658]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

К закономерностям первой группы относятся законы сохранения-массы, количества движения, энергии и некоторые другие. Законы сохранения массы запишем в двух формах —с использованием эйлеровых и лагранжевых переменных. [c.20]

При использовании лагранжевых переменных проследим за произвольной подобластью Qi тела Q в ее движении закон сохранения массы гласит масса объема Qj при движении неизменна, т. е. [c.22]

Подставляя зависимость (1.94) в (1.92) и пользуясь произвольностью области Qi (<о). получим закон сохранения массы в лагранжевых переменных в локальной форме [c.22]

Выделим произвольную подобласть Ою в теле в начальный момент времени t = to, использовав определение плотности to = = То Vo поверхностных усилий на единицу площади недеформи-рованного тела и повторив приведенные выше рассуждения, получим уравнение движения в лагранжевых переменных [c.23]

Таким образом, условия непроницаемости на абсолютно гладкой стенке представляют пример смешанных краевых условий здесь эти условия записаны в эйлеровых переменных. В качестве упражнения рекомендуется переписать эти условия в лагранжевых переменных. [c.35]

Хотя эти переменные и принято называть лагранжевыми, но в действительности уравнеиия движения жидкости в этих координатах были впервые получены Л. Эйлером одновременно с основными уравнениями (2,3). [c.19]

Скорости V и ускорения V в лагранжевых переменных будут непосредственно определяться путем частного дифференцирования по I вектор-радиуса г [c.331]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Далее, в отличие от предыдущих параграфов, дан вывод основных уравнений в лагранжевых переменных. Их использование позволяет проще реализовать численное решение одномерных задач о движении односкоростной среды с контактными границами. [c.141]

Если на фронте волны терпит разрыв функция, описывающая состояние среды, то говорят о разрыве нулевого порядка. Если функция и ее производные до (т—1)-го порядка непрерывны, а т-е производные испытывают разрыв, то говорят о разрыве /и-го порядка. Мы используем эйлеровы переменные х х , X и лагранжевы переменные a , а , а (беря в качестве них начальные координаты частицы). Как обычно, верхними индексами обозначаются контравариантные величины, нижними — ковариантные (при этом х = дгг). [c.6]

Первый способ состоит в следующем. Вводится система координат, не связанная со средой, и исследуется поведение величин, характеризующих состояние среды, в фиксированной точке пространства в зависимости от времени. В способе Лагранжа рассматривается фиксированная частица среды, а величины, характеризующие состояние среды, соответствуют этой частице. При этом координаты частицы являются функциями лагранжевых переменных и времени. Эйлеровы переменные будем обозначать через х , лагранжевы — через аК [c.9]

Мы используем лагранжевы переменные а . Преимущество лагранжевых переменных заключается в том, что при использовании их вид волнового акустического уравнения не меняется независимо от того, движется ли среда или покоится. Введем координаты х, такие, что скорость ударной волны направлена вдоль оси х, а фронт волны параллелен оси х . В невозмущенной среде [c.50]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Предложен и реализован способ построения решений полных уравнений движения и уравнения энергии, основанный на применении независимых переменных лагранжева типа. Изучены вязкоупругие течения, обусловленные двумерным (стационарным либо автомодельным нестационарным) возмущением 1) поперечной скорости 2) давле 1ия 3) температуры. В потоке присутствует линия сильного разрыва течения и непроницаемая граница. Установлено, что конечное время релаксации вязких напряжений оказьшает сглаживающее влияние на эволюцию вихря во времени сильное влияние на завихренность оказывают скорости скольжения на границах, скорость перемещения сильного разрыва, величина скачка плотности воздействие параметра псевдопластичности на со зависит от отношения давления к силам инерции гюперечная потоку непроницаемая граница увеяичивае г завихренность, если скорость скольжения направлена в ее сторону, а в противном случае завихренность меньше, [c.130]

Приведенные выше рассуждения основаны на предположении, что рассматриваемая точка особая. Обычно справедливость этого предположения вытекает непосредственно из условия задачи. Именно так обстоит дело в задаче о трещине, берега которой (х < /, 2 = 0) свободны от напряжений. Действительно, если при развитии трещина дополнительно раскрывается, то, очевидно, вектор напряжений, действующий на продолжение берега трещины х > /, 2 = + 0), отличен от нуля. В то же время он равен нулю при < /, х = + О (переменные лагранжевы). Таким образом, напряжения, а следовательно, и градиент перемещения у края трещины разрывны, данная точка является особой. Вместе с тем, если трещина раскрывается так, что ее берега образуют гладкий контур, наличие особой точки при эйлеровом описании не очевидно. Так, при эйлеровой интерпретации линейной теории упругости (см. 3.2) предел для напряжений при приближении к краю раскрывшейся трещины конечен и не зависит от полярного угла 0 (в эйлеровых переменных - д/2 0 < л/2 при г= + 0). Но в соответствии со сказанным выше при лагранжевом описании той же самой задачи напряжения (компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа) разрывны. Из этого примера следует, что в отношении напряжений данная точка может быть особой при лагранжевом описании и в то же время обычной при эйлеровом. Справедливо и обратное утверждение. Примером является задача о закрытии эллиптической полости, рассматриваемая [c.87]

Согласно Уизему, классический лагранжиан (разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией У) применим в любой задаче, в которой для характеристики движения используются лагранжевы (а не эйлеровы) переменные. Задача о волнах на глубокой воде принадлежит к задачам именно такого рода, так как существует вполне подходящая зависимая переменная лагранжева типа для описания движения, а именно возвышение свободной поверхности. В случае волн неизменного направления, когда движение происходит только в плоскости (х,у) (где ось у вертикальна), это возвышение обозначим, например, через т](л , /) тогда знание функции т](л , /) вполне определяет в бесконечной области 1/< т1(л ,/) движение, подчиняющееся дополнительному условию обращения скорости в нуль при I/ —> — оо. В самом деле, в каждый момент / потенциал скорости ф, определяемый однозначно с точностью до произвольной постоянной, удовлетворяет уравнению У ф = О в этой области, условию 1Уф1—>-0 при у —> — оо и граничному условию для [c.47]

Отсюда ожидаемая величина скорости, приобретаемой твердой частицей в результате смещения в полоячение у при условии, что э.лемент жидкости находится в полоя енни х, есть не что иное, как лагранжева скорость жидкости [V (О, )]х, умноженная на эйлеров коэффициент корреляции (у х) [230]. Поскольку уравнение (2.96) касается только свойств вторых моментов гидродинамических полей случайных переменных, то приемлемы допущения о гауссовом распределении [168]. Турбу.тентное поле течения Ячидкости считается изотропным, поэтому коэффициент корреляции является функцией только радиального расстояния от элемента жидкости в положении х. Кроме того, случайные переменные считаются стационарными. [c.70]

Выражение для функции Гамильтона, описьшающей движение в окрестности лагранжевой точки либрации 4, получим, сделав замену переменных [c.97]

Из уравнений (64.21) и (64.22 ) видно, что для групиы канонических переменных функция Раусса удовлетворяет уравнениям Гамильтона, а для группы лагранжевых переменных — уравнениям Лагранжа второго рода. Соотношения (64.21) и (64.22 ) называют уравнениями Раусса. [c.96]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Способ описания перемещений функциями (1.3), когда за независимые переменные принимаются координаты Хг, материальной точки М (х ) в начальном состоянии V, назьгеается лагранжевым. Другой способ описания движения сплошной среды о помощью функций (1.4), в ко- [c.7]

Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах г (/с = 1, 2, 3), так что г (г , г , г ) определяет положение частицы среды в начальный момент времени. Текущее положение частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами х плп концом вектора х(.г , х ), для которг.тх имеется уравнение перемещения [c.141]

Отметим, что при решении задач, связанных с упругонласти-ческим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление обладает определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лагранжевых переменных проще задание граничных условий на [c.145]

Рассмотрим на основе уравнений 4 (см. также б гл. 1) нелинейную задачу о тепловом и динамическом взаимодействии одиночного газового пузырька (гф = 0) с окружающей безграничной жидкостью. Эту задачу пз-за переменности a t) и отсутствия фазовых иереходов ( g=g( = 0) удобнее решать в лагранжевых переменных х, t), где а — расстояние частицы до центра в начальный момент времени t = Q. При этом уравнения (2.4.30) приводятся к виду О <. г До. [c.185]

Запишем систему дифференциальных уравнений (1.10.14) в лаграижевых координатах вместе с уравнениями для девиатора (1.10.18), (1.10.20) для одномерного плоского (v = l) движения с одноосной деформацией (е = е = 0, т = т = — Дт, переходя к переменным Pi, Ра, v, Т, зависящим от лагранжевой координаты в направлении движения г и времени t, нричем в левых частях уравнений выделим члены, содержащие производные по времени [c.264]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...