Лагранжа метод в переменные

Уравнение непрерывности. — Уравнение непрерывности выражает то обстоятельство, что масса жидкости остается во время движения неизменной. Это уравнение принимает различные формы в переменных Лагранжа и в переменных Эйлера. Мы сначала применим метод Лагранжа. [c.293]

Переменные Лагранжа. Объектом изучения по методу Лагранжа служат отдельные частицы жидкости, рассматриваемые как отдельные материальные точки (рис. 6.2). Изучение движения сплошной среды с использованием переменных Лагранжа заключается в решении следующих задач 1) определение поведения во [c.230]

Если стержень нерастяжим, то w зависит только от времени (от а не зависит). В этом случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками А и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А и В ъ целом, а не элемента стержня т. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке, тогда для описания движения участка стержня между точками А и В достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне (в фиксированном сечении трубки). Такое разделение движения на переносное (скорость V) и относительное (скорость у) весьма эффективно при изучении, например, динамики стержней (трубопроводов), заполненных движущейся жидкостью. В этом случае движение жидкости рассматривается совместно с движением стержня. Если жидкость несжимаема, то относительная скорость при заданном расходе не зависит от движения стержня. [c.18]

В аэродинамике существуют два метода кинематического исследования жидкой среды, один из которых называют методом Лагранжа, а другой — методом Эйлера. Каково основное содержание этих методов и чем они различаются Рассмотрите также следующую задачу. Пусть движение жидкости задано проекциями скоростей в переменных Эйлера х, ц, ) V = тх Ч- nt, V = —ку + II, 0, [c.40]

В общем случае исследования удобнее вести в переменных Эйлера, а в некоторых частных задачах может иметь преимущества метод Лагранжа. [c.36]

Метод Лагранжа заключается в том, что определяют движение каждой отдельной частицы жидкости, В этом случае положение х, у, г) частицы жидкости нужно определить в функции от времени г и от начального положения (а, Ь, с) частицы. Четыре независимые переменные суть а, с и t. [c.293]

Задачу с неголономными условиями нельзя решать методом исключения переменных, потому что нет уравнений, с помощью которых можно бы выразить одни переменные через другие. Метод множителей Лагранжа тем не менее применим. При помощи операций, в точности подобных описанным ранее, можно получить уравнение, аналогичное (2.5.20), а именно [c.71]

Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86]

Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами в отношении, обратно пропорциональном квадрату расстояния. Эта знаменитая задача рассматривалась впервые Эйлером, который показал, что в случае плоского движения она приводится к квадратурам. Рассмотренная снова Лагранжем, она была затем решена Якоби в эллиптических координатах при помощи метода разделения переменных способом, который мы кратко здесь изложим. [c.385]

При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций. [c.56]

Вам хорошо известно, что общий метод варьирования параметров Лагранжа состоит в привлечении интегралов одного уравнения (или группы уравнений) к другому уравнению посредством трактовки постоянных первого уравнения как переменных второго. Рассматривая их таким образом, часто можно выбрать наугад несколько произвольных условий, которые удовлетворят этим новым переменным величинам, особенно в приложениях к динамике, в которых уравнения, интегрируемые первыми, обычно бывают второго порядка, а количество постоянных в их интегралах равно двойному числу зависимых переменных. Принцип, по которому Лагранж выбирал произвольные условия, чтобы удовлетворить своим переменным параметрам, был превосходен и заключался в понижении порядка, так как он вел к возрастанию числа дифференциальных уравнений движения. Я стремился и достиг того же преимущества иметь новые дифференциальные уравнения не выше первого порядка, но пришел к иному выбору параметров, ибо исходил из другой группы первоначальных дифференциальных уравнений, каждое из которых само первого порядка. . . [c.768]

При дифференцируемости функций но условия (7.82) равносильны условию (7.79) в принципе Понтрягина. Таким образом, при достаточно гладких функциях Ф.- и щ и при отсутствии ограничений типа неравенств (7.53) метод Понтрягина совпадает с методом Лагранжа, причем сопряженные переменные Pi x) являются множителями Лагранжа. [c.268]

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5] [c.110]

Система уравнений (9.14.1) - (9.14.3) яв- ляется полной (она содержит 21 уравнение и включает столько же неизвестных функций Т, М, Q, , аг, , у, и, v, tv) и имеет десятый порядок по переменным а и ji. Соответствующий вариационный функционал Лагранжа, лежащий в основе многих прикладных методов расчета, имеет следующий вид [c.226]

Аналогично выглядит метод множителей Лагранжа и в тех задачах на условный экстремум, когда искомые функции зависят от нескольких переменных. [c.385]

Перейдем теперь к мемуару Второй очерк об общем методе в динамике . После вводных замечаний, описывающих общее содержание мемуара, Гамильтон обращается к установлению новой формы уравнений движения системы свободных материальных точек в произвольной криволинейной системе координат gi, дг. 9зп Отправляясь от принципа Даламбера, он устанавливает уравнения Лагранжа и, вводя в них вместо производных Qi, qtf-T qsn новые переменные pi, рг,---, Рзп о формулам [c.12]

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

Результаты экспериментальных исследований методами второй группы наглядно иллюстрируют тот факт, что поверхности постоянных значений исходных координат материальных точек деформируемого тела (поверхности постоянных значений переменных Лагранжа) образуют в этом теле криволинейную и, как правило, неортогональную координатную решетку. [c.431]

Принимая за обобщенные координаты углы Эйлера и используя условия, которым должна удовлетворять функция Гамильтона, чтобы переменные разделялись, доказывается, что методом разделения переменных задача решается только в случае Лагранжа. [c.119]

При определении скорости частицы среды в каждой точке пространства, с точки зрения Эйлера (в переменных Эйлера), следует иметь в виду, что имеет смысл рассматривать только очень малые (в пределе бесконечно малые) смещения Аг(г, t) частиц среды из данного положения. В методе Лагранжа смещения частиц среды (г — го) из данного положения рассматриваются как конечные. Поэтому в переменных Эйлера вектор скорости определяется следующим соотношением [c.17]

Применение метода Лагранжа в задачах динамики не всегда удобно и многие специфические задачи механики сплошных сред решают в переменных Эйлера. [c.120]

Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

При этом функция двух переменных Х(х, <) описывает семейство траекторий жидких частиц , находившихся в начальный момент времени t = to во всевозможных точках х объема, занятого жидкостью. Ясно, что в любой момент t > точки X = Х(х, t), соответствующие всевозможным допустимым значениям х, непрерывно заполняют весь объем, занятый жидкостью. Таким образом, мы видим, что лагранжев метод заключается в задании течения в виде семейства траекторий (отличающихся друг от друга значениями х), на каждой из которых роль параметра играет время t. [c.484]

Аргументы а, Ь, с, I называются переменными Лагранжа. В общем случае пространственных течений удобнее вести исследование в переменных Эйлера, и в дальнейшем мы будем следовать этому методу. Но для одномерных неустановившихся течений газа метод Лагранжа также является эффективным, и даже предпочтительным, особенно при рассмотрении границ и граничных условий (см. гл. V). Заметим, что полученные в этом параграфе результаты верны для любой сплошной среды с непрерывным полем скоростей. [c.102]

Как видно из основного труда Лагранжа [74], он рассматривал сплошную среду как несвободную систему, сосредоточив внимание на невязкой несжимаемой жидкости. Исходя из общего уравнения динамики и метода множителей, Лагранж получает общие уравнения гидродинамики с множителем %. Здесь Лагранж вводит известные переменные, носящие теперь его имя. Эти переменные индивидуализируют частицы среды, в частности жидкости. Физический смысл множителя X вытекает из заключений, приведенных в основах аналитической механики. Множитель Х — давление, производимое на поверхность выделенного объема жидкости остальной жидкостью [74, с. 312]. [c.8]

Аксиома об освобождаемости от связей позволяет отказаться от определения уравнения неразрывности как уравнения связи. Уравнение неразрывности — четвертое уравнение, которое в сочетании с тремя уравнениями движения в переменных Эйлера составляет систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты четырехмерного тензора энергии-импульсов в четырехмерном пространственно-временном континууме [38]. Таким образом, создается впечатление о глубоком различии между методами Лагранжа и Эйлера изучения движения сплошной среды. Однако это различие в значительной степени кажущееся. В действительности метод множителей Лагранжа по существу эквивалентен аксиоме об освобождаемости от связей [40]. [c.9]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Пр этом функция двух переменных Х х, t) описывает семей- тв0 траекторий жидких частиц , находившихся в начальный моме т времени t = to во всевозможных точках х объема, занятого жидкостью. Ясно, что и в любой момент t > to точки Х=Х (х, t) соответствующие всевозможным допустимым значениям X, непрерывно заполняют весь объем, занятый жидкостью. Таким образом, мы видим, что лагранжев метод заключается в задании потока жидкости в виде семейства траекторий (отличающихся друг от друга значениями лг), на каждой из которых роль параметра играет время t, Отметим, что согласно сказанному выше жидкие частицы , соответствующие этим траекториям, фактически представляют собой математические точки, плывущие вместе с жидкостью. [c.462]

Первый таг в методе Лагранжа — это преобразование переменных при помощи уравнений [c.366]

Движение сплошной среды может быть изучено двумя методами, один из которых — метод Лагранжа — является обобщением метода, применявшегося в кинематике одной точки. Движение в методе Лагранжа задается в переменных Лагранжа. Другой метод — метод Эйлера — широко использует концепцию теории поля. При этом движение задается и изучается в переменных Эйлера. При рассмотрении движения сплоп ной среды преимущественно используется полевой подход, базирующийся на методе Эйлера и соответственно использующий переменные Эйлера. [c.208]

Лагранж дал свой общий метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, являющийся совершенно новой мыслью в иптв,-гральном исчислении, в одной статье, помещенной в трудах берлинской академии в 1772 году. В этой статье содержится приведение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка к линейным устанавливаются понятия полных и общих решений, причем последние выводятся и . первых, и даются методы для нахождения полных решений. Но всё ограничивается только случаем трех переменных, из которых две не зависят друг от друга. Метод Лагранжа заключается в следующем [c.148]

Если стержень нерастяжим, то w зависит тольк от времени. Если стержень растяжимый, то продольная скорость w зависит и от времени, и от координаты s. В последнем случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками Л и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А иВ в целом, а не движение индивидуальных точек. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке (см. рис. 4.4). Для описания движения достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне в фиксированном сечении трубки. Таког разделение дви жения на переносное (скорость I ) и относительное (скорость w) весьма эффективно при изучении динамики шлангов (абсолютно гибких стержней) и Стержней, заполненных движущейся жидкостью (рис. 4.6). [c.95]

И. П. Власовой [22] в рамках модели унругонластической среды, предложенной С. С. Григоряном [30], разработан алгоритм численного исследования процесса проникания жесткого тела вращения в грунт. Движение последнего представляется в переменных Лагранжа. Для интегрирования соответствующих уравнений используется метод Уилкинса. В качестве тестового примера рассмотрен вертикальный удар жесткого шара об упругое полупространство. [c.411]

В. Д. Мак-Миллан [1] применил к задаче метод разделения переменных и решил этим методом задачу в случае Лагранжа. Возникает вопрос нет ли других общих случаев, решаемых методом разделения переменных Ответу на этот вопрос и посвящена данная работа. [c.75]

Другой метод вывода уравнения неразрывности. Предыдущий вывод уравнения неразрывности в переменных Эйлера представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменеиия плотности и объема в некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора рг сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность 5 произвольной формы. Этот поток, на основании теоремы Гаусса, может быть представлен объемным интегралом [c.25]

Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407]

Таким образом, независимыми переменными в методе Лагранжа (лаг-ранжевыми переменными) являются величины I, а.для пол- [c.39]

Кроме того, при определении главных напряжений нормальное напряжение Ог полагается равным нулю. Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собственные значения применяется метод разделения переменных в сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому искомые функции для произвольного малого интервала вдоль меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени с непрерывными функциями и их первыми производными в концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают систему 14(Л -М) однородных алгебраических уравнений относительно 14(Л -Ы) неизвестных, где N — число интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой системы дает условия для определения собственных частот, а затем и форм колебаний. Описанная вььше методика была применена к исследованию неосесимметричных (т=1 и м = = 2,3,4 п и т — число окружных и продольных полуволн) по- [c.197]

Задача о вынужденных стоячих колебаниях конечно) амплитуды трз бы, открытой с одного конца, решалась в [14] методом последовательных приближений в переменных Лагранжа. Если Ца, 1) — смещение поршня, р — невозмущенная плотность среды, р а, 1) и р (а, 1) — плотность и давление, то для адиабатического распространения звука р=ра(р1раУ И волновов уравнение в переменных Лагранжа будет, согласно (1.1.8) и (1.1.9), [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...