Переменные Лагранжа (в гидродинамике)

Возникает предложение использовать при изучении деформации твердого тела понятие о начальных и текущих координатах — -О переменных Лагранжа и переменных Эйлера, ранее введенных в гидродинамике. [c.16]

ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 10.1. Уравнения гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа [c.483]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

При этих обозначениях уравнения гидродинамики (три уравнения гидромеханики и уравнение неразрывности) выражаются в переменных Лагранжа следующим образом [c.58]

Величина а в гидродинамике называется переменной Лагранжа. Теперь скорость жидкости может быть записана в следующей форме [c.56]

Уравнения гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа [c.460]

Показать, что система уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа для одномерного плоского движения имеет решение в виде простых волн Свести эту систему к одному нелинейному уравнению для переменной (x,i)—смещению частиц среды из своего начального положения х [c.125]

Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39]

Уравнение (III. 18) можно частично линеаризовать, если уравнения гидродинамики записать в новых независимых переменных Рг, совпадающих на поверхности контакта с координатами Лагранжа [c.64]

Как видно из основного труда Лагранжа [74], он рассматривал сплошную среду как несвободную систему, сосредоточив внимание на невязкой несжимаемой жидкости. Исходя из общего уравнения динамики и метода множителей, Лагранж получает общие уравнения гидродинамики с множителем %. Здесь Лагранж вводит известные переменные, носящие теперь его имя. Эти переменные индивидуализируют частицы среды, в частности жидкости. Физический смысл множителя X вытекает из заключений, приведенных в основах аналитической механики. Множитель Х — давление, производимое на поверхность выделенного объема жидкости остальной жидкостью [74, с. 312]. [c.8]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Здесь, в пп. 14.30—14.34 приведена линейная теория бесконечно малых стоячих волн. Однако в литературе имеются исследования по теории стоячих волн конечной амплитуды, в которых находятся решения полных уравнений гидродинамики, удовлетворяющие нелинейным граничным условиям. При решении применяются ряды по степеням малого параметра и переменные Лагранжа при этом в качестве первого члена берется данное решение линейной теория. Показано, что, удовлетворяя всем условиям, можно построить любое приближение, однако сходимость рядов не доказана. Установлен ряд свойств стоячей волны конечной амплитуды, отличающих ее от волны линейной теории. Основные результаты в этой теории получены Я. И. Секерж-Зеньковичем в его работах, опубликованных в 1947—1959 гг. первая из них называется К тео]рии стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости , ДАН СССР, 8, № 4 (1947), 551—553. Темы многих последующих работ того же автора и других авторов можно найти в статье Вейхаузена (см. прим. перев. на стр. 409) и в вводной статье к с эрнику переводов (указанных там же). Тот же автор рассмотрел конечные колебания поверхности раздела двух неограниченных жидкостей разных плотностей, расположенных одна над другой (см. ДАН СССР, 136, № 1 (1961), 51—59 Труды Морского гидрофизического института АН СССР, ХХШ (т ), Ъ—43.—Прим. перев. [c.378]

Читатели, знакомые с гидродинамикой, могут вообразить себе непрерывную деформируемую среду, заполняюш.ую фазовое пространство (или некоторую его часть),— фазовую жидкость . Начальные значения канонических переменных можно принять за параметры Лагранжа (см. гл. I, 3). При таком представлении уравнение (5.154) можно истолковать как уравнение неразрывности (условие несжимаемости) в переменных Лагранжа. Для реальной несжимаемой жидкости уравнение неразрывности, записанное в декартовых координатах, имеет вид [c.330]

Существуют два теоретически эквивалентных подхода к решению задач механики сплошной среды лагранжев (материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в качестве основных переменных используются 0, а при эйлеровом — 0, Эйлеров подход применяется в основном в исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...