Уравнения в лагранжевых переменных

Далее, в отличие от предыдущих параграфов, дан вывод основных уравнений в лагранжевых переменных. Их использование позволяет проще реализовать численное решение одномерных задач о движении односкоростной среды с контактными границами. [c.141]

В 1950 г. была опубликована классическая работа фон Неймана и Рихтмайера, в которой была выдвинута идея явного введения искусственной вязкости. Для стабилизации расчета одномерного распространения ударной волны в невязком газе при использовании неконсервативной формы уравнений в лагранжевых переменных эти авторы ввели искусственную добавку в давление. Однако понять этот метод проще, если интерпретировать этот добавочный член как член с вязкостью интерпретируя этот член как член с объемной вязкостью щ, получаем очевидное обобщение па многомерный случай. [c.345]

Выделим произвольную подобласть Ою в теле в начальный момент времени t = to, использовав определение плотности to = = То Vo поверхностных усилий на единицу площади недеформи-рованного тела и повторив приведенные выше рассуждения, получим уравнение движения в лагранжевых переменных [c.23]

Это и сеть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных-, его было бы правильнее называть уравнением сохранении массы. [c.91]

В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой жидкости — р = Ро и уравнение (16) принимает форму уравнения несжимаемости в лагранжевых переменных. [c.91]

Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжевых переменных t, а, Ъ, с ( 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение иа его лагранжево выражение [c.126]

Это равенство играет роль уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости в лагранжевых переменных. [c.486]

Для того чтобы помимо плоского одномерного (V = 1) течения пузырьковой жидкости в лагранжевых переменных г ж I описать течения с цилиндрической (V = 2) и сферической (V = 3) симметриями, необходимо вместо (6.7.2) и первых трех уравнений (6.7.3) использовать их обобщения, следующие из (1.10.14) или (1.10.15) [c.111]

Отсюда, в предположении непрерывности подынтегральных функций в силу произвольности 1 0 получаем уравнение неразрывности в лагранжевых переменных [c.307]

Тогда, учитывая уравнение неразрывности Ро получаем уравнение изменения количества движения в лагранжевых переменных [c.308]

Учитывая, что Ц =ах./а , можно записать и уравнение энергии (например в форме (2.54)) в лагранжевых переменных. [c.309]

Здесь использовано уравнение неразрывности в лагранжевых переменных, а именно Ро = р7 (см. 13), из которого следует SJ = [c.455]

В лагранжевых переменных компоненты тензора множителей Лагранжа А, определяются формулой (2.77). Трехмерная часть тензора посредством определяющих уравнений, выражающих, например, обобщенный закон Гука, связывается производными по позиционным координатам с переменными поля первого рода. Четырехмерное окаймление матрицы (2.77) выражено через производные от переменных поля первого рода по лг и плотность р. Условия (2.57) относятся лишь к трехмерной части тензора Условия для остальных компонент тензора [c.102]

Система одномерных дифференциальных уравнений теории упругости в лагранжевых переменных в декартовой системе осей начального состояния имеет вид [c.127]

Уравнения движения (1.39), записанные в эйлеровых координатах X, t, называются уравнениями Эйлера. Обращая внимание на физический смысл отдельных членов в (1.39), отметим, что правая его часть дает выражение для полного ускорения в виде двух составных частей ускорения, которое вызывает массовые силы, и добавочного ускорения, учитывающего действие сил гидродинамического давления. Уравнение (1.39) можно записать в лагранжевых переменных [c.30]

В лагранжевых переменных уравнение сохранения массы получается при сравнении объемов жидкого элемента в начальном и текущем состояниях и имеет вид [c.31]

Это равенство и играет роль уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (вязкой или идеальной, безразлично) в лагранжевых переменных. [c.464]

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79]

Нелинейные волны. Для численного анализа задачи об эволюции нелинейных волн в жидкости при наличии пузырьковой завесы удобнее пользоваться системой уравнений (1.1)-(1.9), записанных в лагранжевых переменных. Это, в частности, связано с тем, что в лагранжевых координатах завеса "неподвижна". После некоторых преобразований получим систему [c.139]

Метод численного расчета. Для численного анализа задачи об эволюции волн в жидкости при наличии в ней пузырьковой области удобнее пользоваться системой уравнений, приведенной в разд. 1, записанной в лагранжевых переменных. Это, в частности, связано с тем, что в лагранжевых координатах пузырьковая область неподвижна. Из уравнений (1.1), после некоторых преобразований, можно получить следующую систему в лагранжевых переменных [c.141]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

Мы используем лагранжевы переменные а . Преимущество лагранжевых переменных заключается в том, что при использовании их вид волнового акустического уравнения не меняется независимо от того, движется ли среда или покоится. Введем координаты х, такие, что скорость ударной волны направлена вдоль оси х, а фронт волны параллелен оси х . В невозмущенной среде [c.50]

Исключение циклических переменных. Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме. [c.214]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах г (/с = 1, 2, 3), так что г (г , г , г ) определяет положение частицы среды в начальный момент времени. Текущее положение частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами х плп концом вектора х(.г , х ), для которг.тх имеется уравнение перемещения [c.141]

Рассмотрим на основе уравнений 4 (см. также б гл. 1) нелинейную задачу о тепловом и динамическом взаимодействии одиночного газового пузырька (гф = 0) с окружающей безграничной жидкостью. Эту задачу пз-за переменности a t) и отсутствия фазовых иереходов ( g=g( = 0) удобнее решать в лагранжевых переменных х, t), где а — расстояние частицы до центра в начальный момент времени t = Q. При этом уравнения (2.4.30) приводятся к виду О <. г До. [c.185]

Значительно сложнее будут соотношения в сдучае неоднородных жидкостей, например при мвлениях колебания расположенных друг над другом растворов соли неодинаковой концентрации. Здесь в качестве новой переменной появляется степень концентрации, которая к тому же связана с определенной частицей р = /(р , а, 6, с). Рассмотрение таких движений жидкостей приводит к основному гидродинамическому уравнению в лагранжевом представлении. Для полноты выведем и это уравнение. Замечая, что субстанциальная производная скорости в ла-гранжевом представлении имеет вид получаем из основного урав- [c.100]

Отметим принципиально важную особенность, относящуюся только к идеальной жидкости. Как следует из уравнений Эйлера (1.39), для консервативных внешних сил и при несжимаемости жидкости имеем уравнение rot а — 0. Оно называется условием Д Аламбера — Эйлера и в эйлеровых координатах необходимо и достаточно для движения, сохраняющего циркуляцию. В лагранжевых переменных его аналогом выступает условие Ханкеля — Аппеля Rot (Grad х а) — 0. Приняв эти уравнения в качестве аксиом, были решены мнсие задачи динамики завихренности для несжимаемой жидкости путем последовательного кинематического анализа без помощи динамических уравнений [250]. Несмотря на некоторую неизбежную формальность и искусственность, красоту такого построения стоит оценить и сейчас. [c.39]

Схема Годунова [1959] (см. также Годунов с соавторами [1961]) является двухшаговой схемой первого порядка и дает размытые скачки. Как и в двухшаговой схеме Рихтмайера и других схемах, описанных в разд. 5.5.6, второй шаг в ней проводится ио схеме чехарда . Однако проведение первого предварительного шага осуществляется очень интересно. В лагранжевых переменных необходимо вычисление предварительных значений и на (п 1) М шаге по времени (рассчитывать Е не обязательно). Эти предварительные значения определяются ири помощи решения задачи Римана о распаде разрыва (см., например, Овчарек [1964]) на границе расчетной ячейки. Данная схема довольно сложна, однако любые разрывы в течении (включая и контактные разрывы) трактуются в ней более физично, чем в схемах с искусственной вязкостью. Двумерный вариант схемы применяли Годунов с соавторами [1961] и Мессой с соавторами [1969]. Мессон [1968] численно решал по этой схеме пространственные задачи по упрощенным уравнениям (в предположении малости иоперечных потоков). [c.381]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

С уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция L, представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Н, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду piqi и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразовании, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона Н. [c.226]

Точечные преобразования Лагранжа. В лагранжевой механике позиционными координатами являются величины qi. Уравнения движения Лагранжа остаются инвариантными по отношению к произвольным точечным преобразованиям этих координат. В гамнльтоновой механике мы снова встречаемся с задачей Лагранжа, но уже при наличии 2п переменных qi и pi. Пространством конфигураций гамильтоновой механики является 2л-мерное фазовое пространство. На первый взгляд может показаться, что в нашем распоря- [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...