Величина контравариантная

Сравнивая (1-4.2) с (1-2.10), замечаем, что величины dx должны быть контравариантными компонентами некоторого вектора. Чтобы найти этот неизвестный вектор, мы можем выбрать декартову систему, так что сразу станет ясно, что этим вектором является dX. [c.31]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

Возьмем теперь криволинейную систему координат и пусть обозначает контравариантный вектор, определяющий в системе координат х вектор а - Учитывая, что величина является скаляром, будем иметь [c.28]

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины (укт составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор о называется контравариантным тензором напряжений. [c.36]

Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной [c.208]

Если на фронте волны терпит разрыв функция, описывающая состояние среды, то говорят о разрыве нулевого порядка. Если функция и ее производные до (т—1)-го порядка непрерывны, а т-е производные испытывают разрыв, то говорят о разрыве /и-го порядка. Мы используем эйлеровы переменные х х , X и лагранжевы переменные a , а , а (беря в качестве них начальные координаты частицы). Как обычно, верхними индексами обозначаются контравариантные величины, нижними — ковариантные (при этом х = дгг). [c.6]

Величины q являются прототипом контравариантного вектора. Зависящие от q коэффициенты в форме 27 имеют ковариантный характер они образуют ковариантный фундаментальный тензор. Величина 27 является контравариантной формой, соответствующей форме 27, так как импульсы образуют компоненты ковариантного вектора, соответствующего контра-вариантному вектору q . Левая сторона уравнения (Г) представляет, следовательно, просто-напросто контравариантную фундаментальную форму, в [c.680]

Удобно обозначить новые координаты через др (а не д ) для преобразований, сохраняющих форму (101.10), не существует различия между контравариантными и ковариантными величинами. [c.359]

Как преобразуются приращения координат Что такое контравариантные величины [c.25]

Ковариантные производные являются тензорными величинами. Например, ковариантные производные контравариантных компонент вектора есть [c.61]

В последующем требуется тщательное различение операций в ц- и в V-объемах действия и величины, относящиеся к 1/-объ-ему, указываются знаком тильды ( ). Например, вектор может быть задан его компонентами в базисах v- и 1/-объемов его ковариантные и контравариантные компоненты в векторном базисе и-объема обозначаются, как обычно, и а , но в векторном базисе 1/-объема — через а , а [c.70]

Величины а называют контравариантными, Us — ковариантны-ми компонентами а. Они равны произведениям проекций вектора а на векторы взаимного и соответственно основного базисов на модули этих векторов [c.871]

Величина в скобках — тензор второго ранга, представленный его контравариантными компонентами. Учитывая (V. 3. 10), имеем [c.890]

Нетрудно проверить, что g = е -е так что величины ч" являются компонентами метрического тензора, но связанного с взаимным базисом они называются контравариантными компонентами. Из (2) следует также, что e -ey = 6J, где 6J—символ Кронекера, определяемый равенствами 6 = 1, 6j = 0 при i Ф /. [c.208]

Величины of называются контравариантными, а at — ковариант-ными компонентами вектора а они связаны между собой соотношениями [c.209]

Величины V/ai(V/a ) называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида [c.212]

Задача I. Докажите, что величины v , определенные в (4.15), и Vx, определенные в (4.18), являются контравариантным и ко-вариантным векторами соответственно. [c.479]

Задача 2. Докажите, что величины g) , определенные в (4.6), и определенные в (4.7), являются ковариантным и контравариантным тензорами второго ранга соответственно. [c.479]

Рассмотрим теперь изображенный на рис. А. 1,6 тот же вектор V в Z для осей, перпендикулярных С2 и определенных при помощи базисных векторов и е . В общем трехмерном случае ортогонален плоскости (ег, вд) и т. д. Компоненты вектора V, построенные по правилу параллелограмма (в этом случае они фактически являются компонентами разложения вектора V по осям i и Сг рис. А. 1,6), обозначаются через (eVi, e Vz), величины Vi и Vz называются ко-вариантными тензорными компонентами V. Ясно, что в ортогональных декартовых координатах V V t и различия между ко- и контравариантными компонентами нет, тогда как в общей системе координат оно обязательно имеется. [c.469]

Последнее равенство справедливо, так как произведения g Hg g являются соответственно контравариантной и ковариантной составляющими вектора базиса g в системе Х , g g = (g%, g( g = (sT- Величина (g ) (g )a как скалярное произведение векторов базиса равна метрическому тензору. Полученное выше тождество показывает, что определенный (4.24) тензор ортогональный. [c.35]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Величина, стоящая в последнем выражении в скобках, обозначается V/Ш и называется ковариашпной производной контравариантных компонентов векторного поля а (х) [c.322]

Отсюда заключаем, что величины gi являются компонентами кон-травариантного тензора. Тензор называется контравариантным [c.14]

Величины gij представляют собой компоненты ковариантного тензора второго ранга, который называется метрическим тензором. Аналогично, (g ) — контравариантный метрический тензор, (g j) — кон-траковарЯантный метрический тензор и (gj ) — коконтравариантный метрический тензор. [c.410]

Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контра-вариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по-разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или кова-риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариант-ные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е -ковариант-ный вектор, е -контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. [c.132]

Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразить либо только через ковариантные, либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между кова-риантными и кот равариантными векторами. [c.132]

Тензор gai (или gi ) называют метрическим те.нзором, gas — ero ковариантные компоненты. Контравариантные компоненты метрического тензора g равны алгебраическим дополнениям элемента gsa в определителе ligsall, деленным на величину определителя. [c.128]

Найдем величины — алгебраические дополнения к элементам gmk, деленные на величину определителя g mll. Определитель llgimll равен определителю llgapll и, следовательно, отличен от нуля. Контравариантные компоненты метрического тензора [c.130]

Согласно принятым в общей теории относительности обозначениям, индексы у контраградиентных (или контравариантных) величин Q, р пишутся сверху, в отличие от ковариантных величин qj . Однако для наших целей нам нет необходимости вводить разные обозначения для ковариантных и контравариантных величин. [c.268]

Величины, преобразующиеся с помощью матрицы обратного преобразования, называются контравариантными. Таким образом, приращения координат dx , dx — контравариантные величины. Признаком их является верхнее расположение индексов в их обозначениях. [c.21]

IV. 3. Метрический тензор. Из формул (IV. 2.6) следует, что величины gskig ) являются коэффициентами инвариантной квадратичной формы переменных (или й ,), а отсюда по сказанному в п. I. 4 следует заключить, что этими величинами определен симметричный тензор второго ранга, обозначаемый g gsk и g — его ко- и контравариантные компоненты его смешанные компоненты g суть коэффициенты билинейной формы переменных as, а . Тензор g определяет в принятом базисе квадрат длины. Это объясняет его наименование — метрический тензор. Диадное представление тензора g- записывается в одном из трех видов [c.872]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Следует пояснить некоторые введенные нами обозначения. Верхние и нижние индексы используются для обозначения различных величин. Так, i —символы различных переменных. Вектор е который будет введен в следующем параграфе, отличается от ei. Применение верхних и нижних индексов не только в значительной мере способствует ясности последующего изложения, но имеет также более глубокий смысл в связи с понятиями ковариантности и контравариантности. Более полное обсуждение этих понятий выходит за рамки данной книги (за исключением главы 12). Чтобы не смешивать верхний индекс со степенью, мы будем при необходимости заключать в скобки величину, возводимую в степень. Так, например, (g ) обозначает квадрат а (ез) — куб сг. Если встречающийся в тексте символ, например г, используется без верхнего индекса, то необходимость в скобках отпадает и тогда, например, r будет, как обычно, обозначать квадрат г. [c.21]

На основании (3.4) устанавливаем физический смысл величин (3.2) и (3.3) Г - — контравариантные компоненты двойного тензора усилий М — контравариантные компоненты двойного тензора моментов, причем в формировании второго векторного базиса использована операция векторного умножения Т — величины, на-зьшаемые перерезывающими усилиями. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...