Модуль упругости комплексный

Использовав эту теорему и применив преобразования (5.119) ко всем условиям и уравнениям краевой задачи линейной теории вязкоупругости для нестареющих изотропных сред, получим краевую задачу в изображениях, формально совпадающую с обычной краевой задачей линейной теории упругости отличие от обычной задачи состоит в том, что все заданные и искомые функции, а также модули упругости зависят от комплексной переменной р как от параметра. [c.241]

Определим теперь комплексный модуль упругости E + tE", зависящий от частоты ш. Действительная и мнимая части комплексного модуля выражаются формулами [c.596]

Для расчета вязкоупругого поведения слоистых композитов и композитов с более общими схемами армирования при нагружении по программе, зависящей от времени, можно использовать методы, описанные в [1]. Например, чтобы предсказать,поведение слоистого композита при действии постоянных во времени нагрузок, используют упругую теорию слоистых плит и уравнения (5.1) — (5.7). При действии зависящих от времени нагрузок обобщают предыдущий расчет, используя принцип суперпозиции Больцмана [1]. Существует и другой вариант, когда используют комплексные модули, упругие решения и суперпозицию Фурье. [c.190]

Основные обозначения ф — угол между осью Ох и главным направлением ортотропии J — момент инерции площади поперечного сечения полосы ii, Ц2 — комплексные параметры, зависящие от модулей упругости материала балки в двух взаимно перпендикулярных направлениях = . Размер г таков, что теоретически полосу можно считать неограниченной. [c.296]

Комплексное изучение механических характеристик при 4 К включает определение свойств при испытании на растяжение и на усталость. Во многих случаях [1] важнейшей расчетной характеристикой является модуль упругости. Поэтому предусматривается определение всех упругих констант (модуля Юнга, модуля сдвига, модуля всестороннего сжатия и коэффициента Пуассона) конструкционных [c.30]

Приняв во внимание, что максимальное значение потенциальной энергии определяется действительной частью жесткости и равно ТУо = Со мо . /2, с помощью (7.7) получаем С = г. Таким образом, комплексная жесткость (а также комплексные модули упругости) всегда имеет вид [c.212]

Вводя в рассмотрение комплексные модули упругости — = Хр(1 З-г] ), р-1 = Р о (1-Ь Фъ) и комп.лексные напряжения [c.22]

В демпфированных системах модули упругости полагаются комплексными [c.62]

Вибрационные напряжения деталей, особенно в области средних и высоких частот, как правило, не превышают 20 кгс/см. При таких напряжениях машиностроительную конструкцию можно рассматривать как линеаризированную упруговязкую систему, расчетные коэффициенты поглощения материала которой учитывают потери в материале и соединениях деталей. Как было показано в главе 1, расчет колебаний демпфированных конструкций может производиться разложением амплитудной функции в ряд по собственным формам недемпфированной системы или методом динамических податливостей и жесткостей с комплексными модулями упругости. Последние методы особенно предпочтительны для неоднородных систем, с различными коэффициентами поглощения в подсистемах (например, амортизированные балочные конструкции). [c.101]

Демпфирование можно учесть введением комплексного динамического модуля упругости [c.225]

Г а л и н Л. А. Контактные задачи для тел с переменным модулем упругости. В сб.г Всесоюзное совещание по применению методов теории функций комплексного переменного к задачам математической физики. Тезисы докладов , Тбилиси, 1961. [c.158]

В гл. 1 обсуждаются основы теории колебаний и виды демпфирования. В гл. 2 и 3 вводятся основные понятия о том, как описывается явление демпфирования, причем особое внимание уделяется вязкоупругому демпфированию, определяющему поведение полимерных и стекловидных материалов, а также эластомеров. В гл. 4 описывается влияние вязкоупругого демпфирования на динамическое поведение конструкций, причем основной упор сделан на описании важного для практики случая системы с одной степенью свободы. В гл. 5 рассматривается тот же вопрос применительно к исследованию влияния дискретных демпфирующих устройств типа настроенных демпферов на динамическое поведение конструкции. В гл. 6 описано влияние обширного класса демпфирующих устройств типа систем с поверхностными покрытиями или слоистой структурой, в гл. 7 приведены диаграммы для определения комплексных модулей упругости для большого числа интересных с точки зрения конструктора материалов. В каждую главу включены иллюстрации, примеры и случаи из практики, с тем чтобы показать читателю, как можно использовать теорию и справочные данные при решении практических задач подавления колебаний и шумов. [c.9]

Соотношения между модулями в классической теории упругости переносятся на случай вязкопластических материалов простой заменой действительных модулей соответствующими комплексными величинами. Для однородных изотропных материалов требуются только три модуля упругости, для того чтобы описать [c.94]

Модуль упругости при растяжении. Комплексный модуль Юнга в случае вязкоупругого материала Ё = Е iE" = = Е ir e) является аналогом классического модуля упругости Юнга. Для образца с начальной длиной L и начальной площадью поперечного сечения S, растягиваемого двумя осевыми силами, напряжение при растяжении равно отношению силы и площади поперечного сечения возникающая при растяжении деформация ee = AL/Z, и связана с напряжением соотношением [c.95]

Используя комплексное представление для модуля упругости, описанное ранее, модуль Юнга для резиноподобного материала можно записать в виде [c.113]

Используя комплексный модуль упругости для описания демпфирующих характеристик резиноподобных материалов, из формулы (3.26) получим [c.125]

Когда демпфирующий элемент в колеблющейся системе не является вязким, как это имеет место в вязкоупругой системе с комплексной жесткостью (l + i n), простейшими методами получить рещения уравнений движения не удается, поэтому не-, обходимо применять методы преобразования. Если для представления жесткостей используется стандартная вязкоупругая модель или модель с дробными производными, то можно воспользоваться преобразованием Лапласа. Когда для представления поведения реальных материалов используются комплексные модули упругости, для которых Й и Т1 являются функциями частоты, единственно приемлемым оказывается метод преобразования Фурье, поскольку уравнения движения можно переписать в пространстве частот колебаний [c.164]

Следовательно, оС равно мнимой части комплексной жесткости, описывающей вязкое демпфирование. Поскольку передаточные матрицы для конструкций с распределенными массами являются функциями частоты колебания, не возникает никаких дополнительных трудностей, связанных с введением в уравнение слагаемых, учитывающих зависимость комплексного модуля упругости от частоты колебаний. [c.185]

Для того чтобы соотношение (6.1) учитывало наличие демпфирующих устройств, необходимо вместо каждого модуля Юнга подставить комплексный модуль упругости. Например, в общем случае необходимо сделать следующие замены [c.274]

Эквивалентный комплексный модуль упругости [c.308]

Значения параметров комплексных модулей упругости определялись с помощью опытов с колеблющимися образцами балочного типа. Зависимости модулей упругости при сдвиге и коэффициентов потерь от температуры при различных частотах колебаний приведены на рис. 7.17—7.19, 7.21. [c.343]

ДИАГРАММЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ КОМПЛЕКСНОГО МОДУЛЯ УПРУГОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ [c.385]

Е — реальная часть комплексного модуля упругости. [c.56]

Расчетную модель опорной конструкции можно представить в виде двух продольных балок или плоских рам переменного поперечного сечения, связанных поперечными связями в виде балок или колец (рис. 1). В частности, такими связями служат корпуса механизмов, установленные на раме. Рама соединяется с фундаментом амортизаторами, каждый из которых в расчете рассматривается как сосредоточенный упруго-вязкий элемент. Балки рамы могут совершать вертикальные и крутильные колебания. Ротор и балки опорной конструкции разбиваются на участки. Расчетная модель участка представляется стержнем постоянного поперечного сечения с распределенными параметрами. К концу стержня присоединяется жестко сосредоточенная масса т -, обладающая моментами инерции к повороту и кручению ll, I]. Масса соединяется упруго с абсолютно жестким фундаментом и сосредоточенной массой т , обладающей моментами инерции /ф, (рис. 2). Упругие связи характеризуются жесткостями Св, Сф, v (/с = 1, 2) в вертикальном, поворотном и крутильном направлениях (на рис. 2 Z = Ь, г з, 7). Демпфирование в системе учитывается комплексными модулями упругости материала стержня и комплексными жесткостями амортизаторов. [c.6]

Модуль упругости 138 --комплексный 143, 144 [c.345]

С" (со. Г) — обобщенная динамическая податливость потерь D—податливость при растяжении E t, Г) — релаксационный модуль пр растяжении Е, Е ю, Г) — динамический комплексный модуль при растяжении , (ш, Т) — динамический модуль упругости (модуль накопления) при растяжении [c.148]

М ш, Т) — обобщенный комплексный динамический модуль М а, Т) — обобщенный динамический модуль упругости (модуль накопления) [c.148]

При деформации растяжения E(t, Т) является релаксационным модулем при растяжении, Е (сл,Т)—динамическим комплексным модулем при растяжении, Е (<й,Т)—динамическим модулем упругости при растяжении и Е"(а),Т)—динамическим модулем потерь при растяжении. Аналогичные понятия используются и для модуля при сдвиге G, объемного модуля К, податливости при растяжении D и сдвиге I и объемной податливости В. Коэффициент Пуассона вязкоупругих тел также зависит от времени или частоты. Так, для динамических измерений х является комплексным динамическим коэффициентом Пуассона, i — совпадающей по фазе компонентой ц, а ц" — не совпадающей по фазе компонентой [д,. [c.150]

Результаты динамических испытаний выражаются обычно через комплексный модуль или комплексную податливость [3, 4]. Ниже будет использоваться обозначение модуля упругости при сдвиге О, однако аналогичные выражения могут быть записаны [c.19]

Полученное решение может быть найдено совершенно формальным путем, в результате простой замены в обычном решении задачи о распространении прогрессивных волн в твердом теле модуля упругости Е комплексным модулем E + iE". Следует заметить, однако, что решения типа (17.13.2) носят весколь-ко условный характер. Предполагается, что волны движутся из точки X = —оо, в этой точке амплитуда бесконечно велика. Именно так должно обстоять дело, если понимать решение (17.13.2) или (17.13.3) в буквальном смысле. На самом деле нужно предположить, что волны возбуждаются где-то достаточно далеко и решение (17.13.3) описывает приближенно скорость прохождения гребня волны через некоторую точку и разницу амплитуд двух соседних гребней. [c.609]

Вибропоглощающие покрытия подразделяются на жесткие и мягкие покрытия. К жестким покрытиям относятся твердые пластмассы (часто с наполнителями) с динамическими модулями упругости, равными 10 —10 Действие этих вибропоглощающих покрытий обусловлено их деформациями в направлении, параллельном рабочей поверхности, на которую оно наносится. Ввиду их относительно большой жесткости они вызывают сдвиг нейтральной оси вибрирующего элемента машины при колебаниях изгиба. Действие подобных покрытий проявляется главным образом на низких и средних звуковых частотах. На вибропоглощение, в данном случае, кроме внутренних потерь, большое влияние оказывает жесткость или упругость материала. Чем больше упругость (жесткость), тем выше потери колебательной энергии. Покрытия такого типа могут быть выполнены в виде однослойных, двухслойных и многослойных конструкций. Последние более эффективны, чем однослойные. Иногда твердые вибропоглощаю-щие материалы применяют в виде комплексных систем (компаундов), состоящих из полимеров, пластификаторов, наполнителей. Каждый компонент придает поглощающему слою определенные свойства. [c.129]

Модуль упругости (или динамическая жесткость) среды определяется как отношение напряжения к деформации или силы к смещению. Для гармонических колебаний эти величины удобно представлять комплексными числами. Полагая /(f) = = /oexp(ifflf) и u t) = lioexp (t(of), для модели Фохта, например, из (7.4) будем иметь /о = Ko( i-f-гсоп), а динамическая жесткость равна С =/о/ио = (1 + гт со). Из формулы (7.7) с помощью (7.3) и выражения для максимального значения потенциальной энергии можно получить т] = Тц. Следовательно, динамическая жесткость в модели Фохта имеет вид С= l (1-f-гт1). Покажем, что такой же вид имеет комплексная жесткость любой линейной среды. Пусть С = Со(1i )— комплексная жесткость среды. Потери за один период равны [c.212]

В частном случае независящего от частоты коэффициента потерь т)((о) = onst вместо частотно зависимого вязкого демпфирования в некоторых отношениях удобнее непосредственно использовать комплексные жесткости (7.8) или соответствующие комплексные модули упругости, которые в данном случае не зависят от частоты. Подставляя их в волновые уравнения тина (5.7) н (5.33), можно получить легко решаемые уравнения с постоянными комплексными коэффициентами. Панример, уравнение продольных колебаний стержня с частотно независимыми потерями записывается в виде [c.216]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Введение комплексных модулей упругости для описания колебаний упруговязкой среды позволяет применять единый подход при рассмотрении вынужденных и собственных колебаний демпфированных и недемпфированных систем. [c.7]

Гистерезисное демпфирование и связанная с ним концепция комплексного модуля могут зачастую эффективно использоваться при исследовании установившихся динамических перемещений. Гистерезисное демпфирование было рассмотрено в работе Бишопа [4.1]. Однако Лазан [4.2] рассмотрел демпфирование применительно к задаче оценки влияния петель гистерезиса и показал, что так называемое не зависящее от скорости линейное демпфирование было бы более полезным. Одно из главных преимуществ предположения о гистерезисном демпфировании состоит в возможности использования указанного принципа в исследовании сложных упругих задач, где вместо действительного модуля упругости можно для учета демпфирова- [c.140]

Когда на поверхность балки или пластины накладываются чередующиеся слои из вязкоупругого клея и металла, то для описания динамического поведения такой слоистой системы можно использовать изложенный выше подход. Однако здесь можно предложить и другой метод, а именно рассмотреть данную структуру как эквивалентную однородную систему, чьи осредненные свойства зависят от конкретных конструктивных особенностей реального покрытия. Такой подход имеет два достоинства из экспериментов выявлено, что комплексный модуль упругости зависит только от параметра поперечного сдвига gN = Е Хп /ЕсНсНвЫ й от безразмерной толщины h = Нс/Ноу поэтому эквивалентное однородное демпфирующее покрытие можно во всех случаях рассматривать как однослойное демпфирующее покрытие, и, следовательно, здесь можно использовать формулы и подход, применяемые для однослойных демпфирующих покрытий, устанавливаемых на подкрепленных и непод-крепленных конструкциях [6.8, 6.12, 6.13]. [c.308]

Опыты по определению эквивалентного комплексного модуля упругости для многослойного демпфирующего покрытия проводились на защемленных по обоим концам или жестко защемленных на одном и свободно на другом конце балках, причем варьировались волновое число п, толщина подкрепляющего слоя Не, толщина клеевого слоя Но, число слоев N, температура Т и частота колебаний to, а в качестве демпфирующего материала использовались слои акриловой смолы. Найденный с помощью эксперимента комплексный модуль упругости клеевого слоя использовался для определения Ев и г в для каждого значения температуры и резонансной частоты колебаний, после чего вычислялся параметр поперечного сдвига gu- Параметр Кп определяется как длина шарнирно опертой балки, имеющей такую же резонансную частоту для соответствующей формы колебаний. По найденным из эксперимента значениям параметра Лл для соответствующей формы колебаний и резонансным частотам со и (о о колебаний соответственно демпфированной и недемпфированной балок с помощью формул Оберста определяются значения Ее и г]е для демпфирующего покрытия. Было обнару- [c.308]

При расчетах каждой формы колебаний следует сначала задаться частотой колебаний. Затем по комплексному модулю упругости, определяемому для материала ЗМ-428А по диаграмме на рис. 7.10, следует найти Ео и цо для заданного параметра формы колебаний (что, конечно, содержит некоторую неопределенность, влияние которой можно оценить путем расчетов для нескольких заданных значений Хпт), и известных значений Ес, he, ho и пт, после чего с помощью графиков на [c.332]

СОСТОЯНИЮ, что позволяет получить оптимальные условия для их работы. Подобные материалы имеют большие значения коэффициента потерь и оптимальный модуль упругости при сдвиге в диапазоне температур, соответствующем области, лежащей между состоянием типа сткеловидного материала при низких температурах и состоянием резиноподобного материала при повышенных температурах. В данном исследовании в качестве демпфирующих материалов использовались чувствительные к давлению клеи, оптимум демпфирующих свойств которых приходился на комнатную температуру. Зависимости параметров комплексного модуля упругости различных материалов от температуры приведены на рис. 7.34 (для материала А) и рис. 7.35 (для материала В). [c.349]

Для изучения физико-механических свойств полученных керамических материалов была разработана комплексная методика, включающая в себя микроструктурные исследования и экспериментальное определение характеристик плотности, твердости и трещиностойкости по параметрам индентирования, модуля упругости, предела прочности при испытаниях на изгиб, методику исследования свойств с построением гистограмм микротвердости. Последние строятся для группы исследуемых материалов и предполагают анализ корреляционных связей между изменениями микроструктуры материала и физико-механическими свойствами. [c.296]

Демпфирование колебаний (1988) -- [ c.22 , c.62 , c.91 , c.92 , c.97 , c.115 , c.125 , c.141 , c.145 , c.274 ]

Вибрации в технике Справочник Том 1 (1978) -- [ c.143 , c.144 ]

Расчет машиностроительных конструкций методом конечных элементов (1989) -- [ c.180 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...