Устойчивость асимптотическая по малому параметру

Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближенные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням (i,. В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристических показателей должны быть отрицательны. Отрезки границ областей неустойчивости, примыкающие к частоте найдем, приравняв нулю действительные части соответствующих характеристических показателей. [c.127]

Теория оболочек является асимптотической теорией, существенно опирающейся на малость относительной толщины Л. С этим обстоятельством связаны положенные в основу вывода двухмерных уравнений гипотезы Кирхгофа-Лява и их модификации [80] для случая больших деформаций оболочек из нелинейно-упругого материала. Система двухмерных уравнений теории оболочек является сингулярно возмущенной — она содержит малый параметр Л при старших производных. В результате асимптотического анализа этой системы (главным образом, в линейном приближении) получены решения многих задач статики (см. [13, 52] и др.), динамики [3, 5, 14, 30, 89] и устойчивости [16, 65, 67, 71]. [c.328]

С точки зрения асимптотического интегрирования задачи свободных колебаний и устойчивости оболочек имеют много общего, ибо в обоих случаях приходим к краевой задаче на собственные значения, содержащей малый параметр при старших производных. Основное различие заключается в том, что в задачах устойчивости интерес представляют лишь наименьшие (и, быть может, близкие к ним) собственные значения упомянутой краевой задачи. [c.14]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Асимптотические разложения специального вида, позволяющие построить собственные функции и вычислить собственные значения в задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях, заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое. [c.112]

Следует отметить, что предположение о больших числах Рейнольдса является здесь не просто необходимым условием существования исходного пограничного слоя, устойчивость которого исследуется, а означает возникновение многоярусной структуры возмущенного течения внутри него. Оценки таких величин, как толщина пристеночного и критического подслоев, а также расстояние между ними, вводятся как асимптотические в терминах малых параметров, связанных не только с пространственно-временными характеристиками изучаемых пульсаций, но и с числом Рейнольдса. [c.112]

Оказывается, что все собственные числа (1.8) по крайней мере двукратны и каждому переходу бифуркационного параметра А, через значение соответствует бифуркация рождения однопараметрического семейства стационарных режимов. В [5] показано, что первое критическое значение А,], всегда двукратно и при А, = Л,ц от состояния покоя ответвляется цикл устойчивых стационарных режимов. В этой же работе с помощью метода Ляпунова - Шмидта дано аналитическое выражение семейства и проведен анализ его устойчивости при малых надкритичностях. Все равновесия семейства нейтрально устойчивы вдоль цикла и асимптотически устойчивы в трансверсальных к нему направлениях и их спектр зависит от координат равновесия. Зависимость собственных значений равновесий вдоль семейства от координат стационаров говорит о том, что это семейство не может быть результатом действия никакой группы симметрий [5]. Каждому переходу Я через последующие критические значения соответствует бифуркация рождения цикла неустойчивых стационаров. [c.55]

Здесь знак плюс соответствует "целым" решениям, а знак минус - "полуцелым". Решение уравнения (2.8) асимптотическими методами при малых Q. позволило определить карту устойчивости в пространстве параметров. При численном решении этого уравнения были найдены нейтральные кривые в плоскости (г, 1/0) при фиксированных R, R ,y. В случае модуляции градиента концентрации задача решается аналогично. [c.121]

Для широкого класса операторов с помощью (7.1.1) и (7.1.2) можно показать, что при внешних нагрузках, исчезающих с течением времени, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, т.е. возмущения при t со стремятся к нулю. Это, однако, не означает, что возмущения остаются произвольно малыми в любой момент времени. При некоторых условиях амплитуды возмущений на этапе переходного процесса могут стать достаточно большими. Таким образом, на практике критерий устойчивости должен заключаться в назначении верхней границы для тех или иных параметров напряженно-деформированного состояния. Этот подход идентичен концепции устойчивости на конечном интервале времени. [c.511]

Плоские и осесимметричные контактные задачи для физически нелинейного (линейного геометрически) и геометрически нелинейного (гармонического типа) материала исследовались И. В. Воротынцевой [13] совместно с В. М. Александровым [3] и с Е. В. Коваленко [14]. С помощью соответствующих интегральных преобразований задачи сведены к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости, а свойства символов их ядер позволяют использовать для решения асимптотические методы больших и малых Л , развитые в работах В. М. Александрова. Влияние нелинейных свойств среды и начальных напряжений на контактную жесткость, функцию распределения контактных напряжений и величину вдавливающей силы в плоском случае исследовано в [13], в осесимметричном случае — в [3,14]. В работах установлено, что начальные напряжения не влияют на порядок особенности на краях штампа, но влияют на проникающую составляющую решения как в области контакта, так и вне ее. Исследованы условия потери внутренней устойчивости среды в зависимости от начальных напряжений. Для ряда конкретных нелинейно-упругих сред построены области эллиптичности линеаризованных уравнений, при переходе через границу которых происходит либо потеря поверхностной устойчивости, либо потеря поверхностной деформируемости, связанные с потерей эллиптичности. В работе установлено, что при стыковке решений, полученных методами больших и малых Л , значение относительной толщины Л, на которой стыкуются эти методы, существенно зависит от параметров начального напряженного состояния среды. [c.237]

Предельный случай a = -90° соответствует устойчивости механического равновесия пористого слоя, подогреваемого снизу критические параметры известны ([73] см. [12]) Ra = тг к = тг/2. Для случая малого наклона слоя к горизонтали Вебер [74] провел асимптотический анализ. [c.160]

Теорема об асимптотической устойчивости поверхности состояний равновесия неголономной системы. Как было уже выяснено, изучать устойчивость состояний равновесия неголономной системы имеет смысл лишь по отношению к малым отклонениям от поверхности От- Временно трактуя переменные 1, щ,. .., Нт как параметры, естественно рассматривать вторую группу уравнений (2.14) независимо от первой группы. Характеристический полином этой вспомогательной системы определяется выражением (2.16). [c.273]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Используя метод теории ветвления, развитый Юдови-чем [256] для задачи об устойчивости потоков с произвольным периодическим профилем U (у), можно показать, что (13) является первым членом асимптотического разложения точного решения в ряд по малому параметру (Re —Re p) в окрестности Re p при профиле (3). Детальное исследование свойств вторичного течения (13) при различных значениях Re иа выполнено в [13]. Оказывается, что существуют характерные значения чисел Рейнольдса [c.107]

В предлагаемой работе подытоживаются исследования [40-42, 52, 53, 176, 177, 209, 213-216, 233-253] различных аспектов нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком в условиях до- и сверхзвукового обтекания, включая трансзвуковой диапазон скоростей. Применяемая нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Решение начальнокраевых задач, поставленных для уравнений Навье-Стокса, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса. Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах отрицательных степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данный подход существенно дополняет имеющиеся представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. [c.16]

Цифровые адаптивные системы программного управления роботов, реализуемые на базе микроЭВМ и микропроцессоров, принципиально отличаются от обычных систем индивидуального программного управления оборудованием РТК. Во-первых, они обеспечивают (при соответствующем выборе структуры и параметров программатора, эстиматора, адаптатора и регулятора) асимптотическую устойчивость ПД в целом, в то время как локальные системы программного управления в лучшем случае обеспечивает лишь устойчивость ПД в малом (последнее означает, что работоспособность РТК сохраняется лишь при небольших отклонениях реального и программного движений). Во-вторых, цифровая адаптивная система управления способна обеспечить желаемый характер переходных процессов при любом уровне параметрической неопределенности и внешних возмуш,ений, а системы программного управления адаптивны лишь при достаточно малых возмущениях. Вследствие этого качество и надежность индивидуальных систем адаптивного управления существенно выше, чем у аналогичных систем программного управления. [c.102]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Выше мы уже отмечали, что, строго говоря, плоскопараллельный поток вязкой жидкости может быть лийь комбинацией течений Куэтта и Пуазейля. В настоящее время мало кто сомневается в том, что плоское течение Куэтта является устойчивым по отношению к любым бесконечно малым возмущениям но строго этот факт, по-видимому, до сих пор никем не был доказан. Большинство относящихся сюда исследований использует некоторые асимптотические соотношения для рассмотрения предельных случаев (обычно случаен очень большого числа Рейнольдса), в то время как для не слишком больших значений параметров применяется прямой численный расчет собственных значений соответствующего уравнения [c.126]

Значения безразмерных поправочных функций, входящих в равенства (21.97) и (21.98), в принципе можно определить эмпирически по данным специальных измерений (отсутствующих в настоящее время). Для случая устойчивой стратификации некоторые гипотезы, касающиеся асимптотической формы этих функций в области волновых чисел, много меньших l/ (т. е. масштабов, много больших ), были высказаны Болджиано (1959, 1962). При устойчивой стратификации энергия, передаваемая возмущениями масштаба I меньшим возмущениям, должна быть гораздо больше, чем е, так как подавляющая часть этой энергии затрачивается на работу против архимедовых сил и лишь очень небольшая ее доля доходит до мельчайших возмущений, в которых сосредоточена вязкая диссипация. Исходя отсюда, можно думать, что даже значительное изменение параметра е будет мало влиять на форму спектров турбулентности в области k 1/L . Это соображение заставило Болджиано предположить, что асимптотическая форма спектров Е (k), Ej.j. (k) и Е . (k) при k l/L в случае устойчивой [c.359]

Значения скоростей V (или, эквивалентно, медленностей 5 S 1/]/) задаются на трехмерной картезианской сетке. На уровне Zq О в узлах сетки, относящихся к источникам, задаются начальные времена, вектора медленности и амплитуды для лучей, подлежащих трассированию. С уровня Zq лучи трассируются вниз на уровень 0 + Так как при этом очередной луч не обязательно попадет в узел сетки на этом новом уровне, параметры луча, включая компоненты его вектора медленности, линейно интерполируются на ближайшие узлы сетки. В результате на каждом очередном уровне образуется новая система лучей, которая играет роль начальных условий для трассирования на следующий уровень, и т. д. Времена рассчитываются интегрированием компонент вектора медленности, а амплитуды получаются из выражений нулевого приближения асимптотического лучевого метода (Червени и др., 1972). Устойчивость обеспечивается, во-первых, в силу того, что направление распространения мало отличается от очередного начального значения (заданного на предыдущем уровне). Во-вторых, если два луча подходят слишком близко друг к другу или пересекаются, один из них [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...