Равновесие механическое устойчивое

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Устойчивость равновесия механических систем [c.270]

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.273]

Жидкость может находиться в механическом равновесии (т. е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение (3,1), являющееся условием механического равновесия, мол<ет быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение носит название конвекции. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции. Оно может быть выведено следующим образом. [c.22]

На основе такого представления, рассматривая выход системы из состояния равновесия как результат виртуальных отклонений внутренних параметров от их равновесных значений, можно, пользуясь основным неравенством термодинамики (3.59) для нестатических процессов, получить общие (т. е. для любых систем) условия термодинамического равновесия и устойчивости. При этом, поскольку состояние термодинамических систем определяется не только механическими параметрами, но и специально термодинамическими (температура, энтропия и др.) и другими параметрами, вместо одного общего условия равновесия для механических систем (6.2) для термодинамических систем их будет несколько в зависимости от отношения системы к внешним телам (адиабатная система, изотермическая система и др.). [c.100]

Из первого неравенства (3.44), называемого также условием механической устойчивости, следует, что увеличение объема тела при постоянной температуре всегда сопровождается уменьшением давления. Это условие вполне очевидно, так как в противном случае, т. е. при др дУ)т >0, состояние тела было бы абсолютно неустойчивым, поскольку малейшее уменьшение объема, например, при случайном изменении внешнего давления, приводило бы не к возрастанию давления тела (и тем самым к противодействию внешнему воздействию, как это должно иметь место в состоянии устойчивого равновесия), а к уменьшению собственного давления тела, в результате чего превосходящим давлением окружающей среды тело было бы сжато до предельного объема. [c.115]

Принцип возможных перемещений позволяет найти положения равновесия механической системы, ио он ничего не говорит о том, будет ли то или иное положение равновесия устойчивым п.те не- [c.309]

Пусть известно положение равновесия механической системы. Выберем лагранжевы координаты q . так, чтобы они в этом положении равнялись нулю. (Или q могут обозначать, как здесь, явные координаты в гироскопической системе имеется положение кажущегося равновесия, и q выбираются так, чтобы в этом положении они равнялись нулю.) Требуется определить, является ли положение равновесия Q = О устойчивым иными словами, если [c.170]

Физическая связь может быть проиллюстрирована таким примером положение устойчивого равновесия механической системы есть положение, отвечающее минимуму ее потенциальной энергии (шарик на дне чаши). [c.438]

Итак определение критической силы для системы с несколькими степенями свободы сводится к математической задаче об определении наименьшего собственного числа матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений равновесия механической системы в отклоненном от ее первоначальной формы положении. Сформулированное положение является статическим критерием устойчивости. [c.327]

Для того чтобы решить устойчиво или неустойчиво равновесие механической системы, необходимо использовать аналитические признаки устойчивости. Наиболее общим подходом к изучению устойчивости положения равновесия в механике является энергетический подход, основанный на исследовании изменения полной потенциальной энергии системы при отклонениях от положения равновесия. [c.11]

В ряде случаев колебания возникают и при отсутствии периодического возбуждения. Таковы, например, сравнительно простые процессы свободных колебаний, развивающихся после мгновенного нарушения состояния устойчивого равновесия механической системы, а также более сложные и в то же время менее изученные процессы, например автоколебания. [c.4]

Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Свойства устойчивости движения связаны с множителем если < О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима. Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. [c.155]

Критерий стабильности, т. е. устойчивого равновесия механической системы, может быть сформулирован следующим образом механическая система находится в состояния устойчивого равновесия, если для всех возможных вариаций необходима затрата работы. Так, например, если для системы чаши и шарика имеется возможная вариация с уменьшением скорости или со снижением положе,ния шарика, то система может производить работу с помощью соответствующего механизма для уменьшения скорости или снижения положения шарика. Поэтому система в подобном состоянии не является стабильной. Если же, с другой стороны, шарик находится в состоянии покоя на дне чаши, то для всех возможных вариаций в положении или скорости шара работа должна совершаться над системой. [c.217]

Состояние механического устойчивого равновесия [c.28]

Наличие поля силы тяжести также налагает определенное ограничение на систему, поскольку положение и скорость маятника могут принимать только такие значения, которые допускаются законами механики в присутствии данного поля. В частности, можно отметить, что существует лишь единственное положение покоя маятника, в которое он возвращается после начального отклонения за счет вязкого затухания колебаний в воздухе. Это состояние покоя, в котором шарик находится вертикально под точкой подвеса, является единственным состоянием механического устойчивого равновесия маятника при наличии связи, реализуемой данным гравитационным полем. Следовательно, это поле выступает как внешняя связь по отношению к определенной нами системе. [c.28]

При анализе устойчивости состояния равновесия механической системы обычно стараются выяснить пределы измерения параметров нагрузки, при которых данная система имеет единственную форму равновесия. Эйлер, исследуя продольный изгиб стержня, указал путь отыскания этих пределов на основе перехода к задаче Штурма—Лиувилля. [c.137]

Основой для написания книги явились лекции по сопротивлению материалов, читавшиеся авторами в течение нескольких лет на механико-математическом факультете Московского университета, причем реализовано второе направление развития сопротивления материалов. Не претендуя на полноту охвата, книга наряду с задачами о равновесии и устойчивости простейших элементов конструкций при упругих и упруго-пластических деформациях содержит также сведения о пластических течениях при обработке материалов давлением, о ползучести материалов, о динамическом сопротивлении, о колебаниях и о распространении упругих и пластических волн, о влиянии температуры, скорости деформации, радиоактивных облучений и т. п. на прочность и пластичность материалов. Дается описание экспериментальной техники, применяемой при исследовании механических свойств материалов. [c.5]

Общие критерии равновесия и устойчивости, выражающие максимальность энтропии для изолированной системы, неудобны в том отношении, что в них одной из независимых переменных является энергия, величина экстенсивная, значения которой у находящихся во взаимном равновесии систем не связаны друг с другом никакой простой зависимостью. Было бы гораздо удобнее брать в качестве независимой переменной температуру. Ее связь с энергией при постоянных механических и внутренних параметрах взаимно-однозначна [c.112]

Новую форму критериев равновесия и устойчивости можно получить и другим, физически более наглядным способом, если с самого начала рассматривать систему (Е) в среде, т. е. в соприкосновении с очень большой системой, настолько большой, что при всех изменениях ее равновесие не нарушается заметным образом и ее температура все время остается равной Т. Энергия среды (Е) может меняться, но изменение это настолько мало по сравнению со всей энергией среды, что не сказывается на ее температуре. Если механические параметры постоянны, то при изменении состояния среды мы будем иметь для ее энтропии выражение [c.116]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

Каков критерий устойчивости равновесия голономной механической системы 5. В чем заключается метод виртуальных перемещений при решении задач аналитической статики 6. В чем заключается метод неопределенных множителей Лагранжа при исследовании равновесия механической системы [c.93]

Малые колебания механической системы с одной степенью свободы. Потенциальная и кинетическая энергия системы при малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия. Критерий устойчивости положения равновесия. Свободные, затухающие и вынужденные колебания гармонического осциллятора. Явление резонанса. [c.150]

Другой предельный случай — спиральные возмущения к = О, ку к. Из (16.10), (16.11) тогда выделяется спектральная задача для амплитуд горизонтальных компонент векторов у и IV, а также р и 0. Эта задача не содержит скорости основного течения и совпадает с задачей устойчивости механического квазиравновесия в невесомости при наличии поперечной разности температур и вибрации в плоскости слоя. Как уже говорилось выше, это равновесие теряет устойчивость при критическом числе Рэлея Кау = 133,1. Таким образом, спиральная мода пространственной задачи [c.114]

Решение у = 0, Г=0, соответствующее механическому равновесию, теряет устойчивость по отношению к монотонным возмущениям, когда число Рэлея превосходит критическое значение Ка . [c.261]

Задача об устойчивости положения равновесия механической системы в зависимости от структуры действующих сил является классической задачей. В случае явной зависимости действующих сил от времени эта задача до настоящего времени остается малоисследованной. Определенные результаты можно найти в статьях 1-5]. Целью настоящей работы является развитие и обобщение этих результатов. [c.87]

Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэтому исследование, собственных колебаний нужно начинать с отыскания таких положений. Прежде всего напомним, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы с голономными идеальными связями является обращение в нуль всех обобщенных сил в некотором положении — положении равновесия ( 7 )ед (/= 1, 2,. .., 5) (см. (5.54)). приведем это условие [c.262]

А. Определение условия уетойчивоспш заданного состояния покоц (равновесия) механической системы с одной степенью свободы. Определить условие устойчивости заданного состояния покоя механической системы с одной степенью свэбоды, пренебрегая массами упругих элементов. [c.332]

Сформулиру11те теорему Лагранжа — Дирихле, дающую достаточное условие устойчивости положения равновесия механической системы. При каких свя.зях справедлива теоре.ма [c.314]

Различают устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия механических систем. В принципе для решения вопроса об устойчивости состояния равновесия нужно исследовать результаты возможного нарушения этого состояния, т. е., иными словами, изучить общие евойства движения, которое возникает вследствие сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия такое движение называетея возмущенным. Если, совершая возмущенное движение, система удаляется от состояния равновесия (монотонный уход или колебания с возрастающими пиковыми значениями), то такое состояние следует считать неустойчивым. Если же в возмущенном движении система остается в непосредственной близости к равновесному состоянию (например, еоверщает гармонические колебания) или, тем более, постепенно приближается в этому состоянию (монотонное приближение, или колебания с убывающими пиковыми значениями), то такое состояние устойчиво. [c.152]

Решение рассмотренной задачи используется при расчете устойчивости сооружений с плоской подошвой на едвиг эксцентричной силой (см. тaтью где рассмотрен случай прямоугольной площадки ш). Прикладные задачи равновесия механической системы с трением (и, в частности, вопросы взаимодействия гусеничного самохода с опорной поверхностью) рассматривались в книге . [c.217]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Проблема устойчивости конвективных течений была поставлена в пятидесятых годах и интенсивно разрабатывалась в течение двух последних десятилетий. Исследовалось влияние на устойчивость различных осложняю-пщх факторов, вьслючая внешние воздействия и всякого рода особенности, обусловленные внутренними свойствами жидкостей, изучалась устойчивость новых типов конвективных течений. В имеющихся монографиях по гидродинамической устойчивости [1—9] конвективные течения практически не рассматриваются. Изданная в 1972 г. книга [10] посвящена в основном конвективной устойчивости механического равновесия вопросам устойчивости течений посвящена лишь одна глава, естественно, не отражающая современного состояния проблемы. [c.5]

Задача решалась численно методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Предельный спучай г = О (отсутствует продольный градиент температуры) соответствует, как уже говорилось, равновесной ситуации в плоском слое с поперечной разностью температур и продольной осью вибрации. Устойчивость такого механического квазиравновесия уже обсуждалась в 16. Это равновесие теряет устойчивость при критическом значении вибрационного числа Рэлея Яа = Сг Рг при этом возникает вибрационная конвекция в виде периодической системы конвективных валов. На основном уровне неустойчивости критические параметры таковы СГиш = 11,54/Рг — минимизированное по к критическое число Грасгофа [c.215]

Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения, и в частности устойчивости равновесия. Наличие устойчивости положений равновесия консервативной механической системы в случае минимума потенциальной энергии системы было известно еще Лагранжу. Строгое доказательство этой теоремы, приводимой в большинстве современных курсов механики, дано Лежен Дирихле (1805—1859), [c.35]

Пример 7. Частный случай обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости положения равновесия механических систем и теорема Ирншоу о неустойчивости равновесия точечного заряда в электростатическом поле. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...