Асимптотическая поверхность

Через траектории решений (5.1) проходят две двумерные инвариантные асимптотические поверхности с уравнениями [c.99]

Рассмотрим поведение асимптотических поверхностей [c.99]

Теорема 6. Если центр тяжести тела находится на средней оси инерции, то асимптотические поверхности (5.2) расщепляются при малых значениях параметра [c.100]

Уравнения асимптотической поверхности, проходящей через траекторию возмущенного периодического решения Fi, можно представить в виде [c.100]

Аналогично можно записать уравнения для асимптотической поверхности, проходящей через траекторию возмущенного периодического решения Гг [c.102]

Если /X = О, уровни интеграла энергии и частного интеграла (6.1) высекают в фазовом пространстве асимптотическую поверхность к периодическим решениям — постоянным вращениям вокруг средней оси инерции. Покажем, что эта инвариантная поверхность не распадается при малых значениях параметра /х. Будем рассматривать только невертикальные постоянные вращения, так как в противном случае периодические решения вырождаются в положения равновесия и задача о сепаратрисах теряет смысл. [c.105]

В общем случае, когда не все собственные числа Л1,..., Л чисто мнимые, также можно привести уравнения Гамильтона к нормальной форме Биркгофа. Детальное обсуждение этих вопросов содержится, например, в книге [230]. В общем случае уравнения Гамильтона имеют инвариантные асимптотические поверхности Е, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к положениям равновесия при I —> оо. Оказывается, преобразование Биркгофа может задаваться расходящимися степенными рядами, однако эти ряды сходятся в точках из Е. [c.130]

Следуя общим идеям 2 гл. П, будем искать п-мерную инвариантную асимптотическую поверхность 17 в виде [c.130]

Многоточие означает члены порядка 2. Так как Л , > О, то все решения (11.10) стремятся к точке ж = О при I —> -оо. Для того, чтобы получить асимптотическую поверхность с траекториями, приближающимися к положению равновесия при I —> - -оо, достаточно поменять ролями группы переменных х и у. [c.131]

Одна из асимптотических поверхностей задается уравнениями 771 =. .. = 7 = О, подставляя которые в (11.11) и (11.12), получим уже известные нам соотношения (11.5) и (11.6), определяющие эту асимптотическую поверхность. В частности, нормализующее преобразование Биркгофа (11.11) сходится при г/ = 0. Аналогичный результат справедлив и для другой асимптотической поверхности. [c.132]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Согласно результатам KAM-теории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при t — +00 или t — -00. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующей главе. [c.230]

РАСЩЕПЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ [c.252]

В этой главе изложены восходящие к А. Пуанкаре способы доказательства неинтегрируемости, основанные на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от вполне интегрируемых. [c.252]

Асимптотические поверхности и условия их расщепления [c.252]

Асимптотические поверхности и их расщепление [c.253]

В случае двух степеней свободы мы имеем двумерные асимптотические поверхности, лежащие на трехмерном уровне интеграла. энергии. Как правило, в интегрируемых системах эти поверхности разделяют области с различным топологическим типом фазовых траекторий (вспомним фазовый портрет простого маятника). Поэтому асимптотические поверхности иногда называются сепаратрисами. [c.254]

Как заметил впервые Пуанкаре [225], в типичной ситуации при малых значениях параметра е О возмущенные поверхности Л+ и Л , рассматриваемые как подмножества в М ", уже не будут совпадать. Это явление называется расщеплением асимптотических поверхностей. Оно препятствует интегрируемости возмущенной гамильтоновой системы (см. 2). [c.255]

Возмущенные асимптотические поверхности в специальных канонических координатах для поверхности имеют вид [c.256]

Согласно предположению п. 1, асимптотические поверхности Л лежат на одной энергетической поверхности Н = Но р,д)- -- -еЯ1(р, д)- -о е) = Н е). Следовательно, функции 3" д,е) удовлет- [c.256]

Асимптотические поверхности и их расщепление + 1(7(0) = 1- Следовательно, [c.257]

Предположим, что асимптотические поверхности Л+ и К совпадают. Тогда — Sq) = 0. Функции зависят лишь от 5, поэтому [c.257]

Докажем теперь лемму 1. В окрестности гиперболического тора Г выберем на асимптотической поверхности координаты д = х, z" ), р = у, z ) -Ь 02 z" )- В окрестности имеем [c.258]

Наибольший интерес для приложений представляет случай m = 1, рассматривавшийся еще Пуанкаре [146]. Обсудим кратко задачу о расщеплении асимптотических поверхностей для неавтономных гамильтоновых систем, периодически зависящих от времени. Пусть Я = Ho x,y) + eHi x,y, t) + o e). Возмущающая функция Hi периодична по i с периодом т. Предположим, что имеются две критические точки х ,у ) и функции Яо, в которых [c.259]

Пусть Aq (Aq ) — устойчивое (неустойчивое) асимптотическое многообразие в фазовом пространстве невозмущенной системы, проходящее через точку (ж+,у+) (соответственно х ,у )). В расширенном фазовом пространстве прямое произведение Ар х будет асимптотической поверхностью соответствующего т-пе-риодического гиперболического решения. [c.259]

Для решения задачи о расщеплении возмущенных асимптотических поверхностей Пуанкаре ввел г-периодическую функцию [c.259]

Достаточное условие трансверсального пересечения возмущенных асимптотических поверхностей найдено С. В. Болотиным [28] [c.260]

Формулы, удобные для решения задачи о расщеплении асимптотических поверхностей гиперболических периодических решений в автономном случае, указаны в работах [86, 88]. [c.260]

Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический ангшиз причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированых периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики. [c.2]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Существование лагранжевых асимптотических поверхностей для гиперболических положений равновесия с разной степенью общности было установлено Ляпуновым, Кнезером, Болем. Случай гиперболических периодических решений рассмотрен впервые Пуанкаре [146, гл. УП]. [c.254]

Может, конечно, оказаться, что возмущенные гиперболические торы Г1(е) и Гг(е) лежат на разных энергетических поверхностях. Поскольку асимптотические поверхности расположены на тех же энергетических уровнях, что и соответствующие гиперболические торы, то в этом случае задача о расщеплении поверхностей Л+ и Л тривиальна. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что торы Г1(е) и Гг(е) лежат на одной и той же (2п — 1)-мерной поверхности уровня интеграла энергии. В гомоклинном случае это, условие, очевидно, выполнено автоматически. [c.255]

Пуанкаре получил условия расщепления асимптотических поверхностей для т = 1. Излагаемый ниже анализ задачи о расщеплении выполнен Д. В. Трещёвым. [c.255]

Предположим, что имеются две гиперболические траектории 71 и 72 (не исключается случай, когда 71 и 72 совпадают). Через (Л2 ) обозначим устойчивую (неустойчивую) асимптотическую поверхность траектории 71 (72). Папомним, что эти поверхности регулярны и аналитичны. Однако они могут быть вложены в М довольно сложным образом. [c.261]

Предположим, что система (2.1) допускает аналитический интеграл Г. Пусть / — ограничение функции F на тт. Ввиду регулярности тг, функция / аналитична на тт. Хорошо известно, что функция Г постоянна на траекториях 71 и 72, а также на асимптотических поверхностях и Aj, следовательно, постоянна на множестве (2.2). Поскольку это множество ключевое, то / = onst на поверхности тт. Варьируя поверхность тг, получим, что Г = onst на всем многообразии М. [c.262]

Отсутствие аналитических интегралов в предположении о несовпадении пересекающихся асимптотических поверхностей фактически доказано Р. Кашменом [189] (он, правда, рассматривал неавтономные гамильтоновы системы с одной степенью свободы). Несуществование нетривиальных групп симметрий установлено в [101]. Ясно, что в гамильтоновом случае из результата об отсутствии групп симметрий вытекает результат об отсутствии новых интегралов. [c.262]

В гомоклинном случае второе условие можно снять. Действительно, как показал Пуанкаре [146], при малых е возмущенная задача всегда имеет гомоклинные решения (если, конечно, они были при = 0). Рассуждение Пуанкаре использует результат о сохранении площади при отображении за период гамильтоновой системы (рис. 18). Пусть —линии пересечения асимптотических поверхностей с плоскостью t= 0. Предположим, что при некотором достаточно малом е ф О эти линии не пересекаются между ними имеется небольшой зазор. Пусть Д — некоторый небольшой отрезок, соединяющий две близкие точки, лежащие на W+ и (см. рис. 18). При отображении за период g отрезок Д сдвинется в направлении, отмеченном стрелкой. Так как ин- [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...