Асимптотическая поверхность устойчивая

Пусть Aq (Aq ) — устойчивое (неустойчивое) асимптотическое многообразие в фазовом пространстве невозмущенной системы, проходящее через точку (ж+,у+) (соответственно х ,у )). В расширенном фазовом пространстве прямое произведение Ар х будет асимптотической поверхностью соответствующего т-пе-риодического гиперболического решения. [c.259]

Устойчивые и неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (3.4) можно представить как пересечение многообразия гиперплоскостями [c.269]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Покажем, что система (2.17), асимптотически устойчивая в малом, не является устойчивой в целом. Для этого рассмотрим поверхности [c.47]

Покажем, что 6 = О, т. е. поверхность V = Ь вырождается в точку XI = Х2 =. .. = Хт = о и, следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Предположим обратное, т. е. что Ь 0. [c.523]

Рассматривается ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек. Круг обсуждаемых вопросов ограничен случаями, которые приводятся к решению линейных краевых задач и в которых применение асимптотических методов позволяет получить приближенное решение либо существенно упростить последующее числовое решение. Исследуется зависимость форм потери устойчивости от характера начального напряженного состояния, геометрии оболочки, ее закрепления и других факторов. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестностях линий или точек на срединной поверхности. Отдельно рассматриваются цилиндрическая и коническая оболочки. [c.2]

Ниже рассмотрен достаточно узкий класс задач устойчивости тонких гладких упругих оболочек, находящихся под действием консервативной поверхностной и краевой нагрузки. Использование статического критерия устойчивости приводит к линейным краевым задачам на собственные значения, для решения которых эффективно применяются асимптотические методы. В результате построены приближенные асимптотические формулы для ожидаемых форм потери устойчивости и соответствующих им критических нагрузок. Рассматриваются оболочки с различной формой срединной поверхности, находящиеся в различных условиях нагружения и закрепления. [c.13]

При асимптотическом интегрировании уравнений с переменными коэффициентам-и характерной является ситуация, когда в области интегрирования появляются переходные линии (в акустике они называются каустиками), которые делят эту область на части с качественно различным поведением решения. В задачах устойчивости оболочек переходные линии выделяют часть срединной поверхности, на которой расположены вмятины при потере устойчивости. Интересующему нас наименьшему собственному значению соответствует форма потери устойчивости, у которой вмятины занимают лишь небольшую часть срединной по- [c.14]

В этой главе рассматривается устойчивость безмоментного осесимметричного напряженного состояния оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны. В предположении, что гауссова кривизна не является малой, формы потери устойчивости таких оболочек существенно отличаются от форм для оболочек положительной и нулевой гауссовой кривизны. Для оболочек положительной кривизны характерна локализация прогиба в окрестности линий гл. 4) или точек гл. 6). Для оболочек нулевой кривизны находящихся, например, под действием внешнего нормального давления, характерны формы прогиба, вытянутые вдоль образующих гл.7 — 10). Последнее обстоятельство связано с тем, что прогибы имеют тенденцию распространяться вдоль асимптотических линий срединной поверхности. Оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны имеют две системы асимптотических линий. В связи с этим форма потери устойчивости такой оболочки при осесимметричном нагружении охватывает всю срединную поверхность, а система вмятин напоминает шахматную доску. [c.209]

Теорема /3.2. Инвариантная поверхность 2 , существование которой доказывается теоремой 13.1, асимптотически устойчива по Ляпунову. [c.214]

Сейчас мы будем предполагать, что на поверхности ц располагаются йш-периодические (к — целое) решения системы (14.1) с е = 0 и что оба характеристических показателя каждого из этих решений отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что инвариантная поверхность Ед асимптотически устойчива. [c.219]

Для системы цилиндрических штампов с плоским основанием задача сведена к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа для определения перераспределения усилий между штампами Pj(t) [9]. Доказана асимптотическая устойчивость стационарного решения системы для случаев постоянной скорости сближения и постоянной нагрузки, действующей на систему штампов. Показано, что установившееся решение характеризуется одинаковой скоростью изнашивания каждого штампа, из чего следует существование установившейся формы изношенной поверхности системы штампов (соотношения между высотами штампов в установившемся режиме изнашивания). [c.428]

В частности, показано [Карапетян, 1981], что в задаче устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали кельтских камней, движущихся на абсолютно шероховатой поверхности, возникает интересное явление частичной асимптотической устойчивости несмотря на отсутствие активных диссипативных сил имеет место не только устойчивость по Ляпунову, но и асимптотическая устойчивость по части переменных. Асимптотически устойчивые переменные являются основными для данной задачи и характеризуют отклонение оси вращения тела от вертикали. Подобного явления не возникает при движении на абсолютно гладкой поверхности. [c.27]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

Таким образом, получаемые линеаризованные уравнения дают возможность исследовать устойчивость каждой точки поверхности состояний равновесия и тем самым позволяют выделить на поверхности От области устойчивости, в то время как линеаризованные уравнения п. 1 дают возможность определить устойчивость лишь одной точки (О, О,. .., 0). Оценка решения уравнений (2.14) позволяет высказать суждение об асимптотическом поведении системы в малой окрестности поверхности От- [c.273]

Теорема об асимптотической устойчивости поверхности состояний равновесия неголономной системы. Как было уже выяснено, изучать устойчивость состояний равновесия неголономной системы имеет смысл лишь по отношению к малым отклонениям от поверхности От- Временно трактуя переменные 1, щ,. .., Нт как параметры, естественно рассматривать вторую группу уравнений (2.14) независимо от первой группы. Характеристический полином этой вспомогательной системы определяется выражением (2.16). [c.273]

Это означает, что при достаточно малом б фазовая точка ( 1, Ит, 1, г 2(/г-т)), движение которой описывается уравнениями (2.28), до тех пор пока переменные. .., Пщ принадлежат области асимптотической устойчивости С, не покидает 28В окрестности поверхности состояний равновесия, что доказывает первое утверждение теоремы. [c.276]

В соответствии с теоремой об асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия неголономной системы, при отклонении изображающей точки от устойчивой поверхности состояний равновесия она возвратиться на эту поверхность, но уже в другую. [c.279]

Пересечение поверхности (3.29) с поверхностью (3.25) стационарных движений определяет на поверхности (3.25) границу области устойчивости, которая показана, на рис. 5.23. Смысл асимптотической устойчивости состоит в том, что при возмущении асимптотически устойчивого стационарного движения в системе возникает переходной режим затухающих колебаний (или экспоненциально затухающий процесс), в результате которого устанавливается стационарное движение, отличное, вообще говоря, от первоначального. Так, например, при возмущении прямолинейного качения диска установится в общем случае такое стационарное движение, при котором точка соприкосновения диска с горизонтальной плоскостью будет двигаться по окружности некоторого радиуса R оо. [c.308]

Существуют строгие доказательства асимптотической устойчивости стационарных состояний диссипативных систем по Ляпунову. В терминах и понятиях теории трения и изнащивания В.В. Шульц [33] сформулировал частный принцип самоорганизации фрикционного контакта следующим образом устойчивой будет лишь та форма поверхности изнашивающегося контакта, которая соответствует энергетическому минимуму в заданном относительном движении при установившемся про- [c.496]

Предположим, что имеются две гиперболические траектории 71 и 72 (не исключается случай, когда 71 и 72 совпадают). Через (Л2 ) обозначим устойчивую (неустойчивую) асимптотическую поверхность траектории 71 (72). Папомним, что эти поверхности регулярны и аналитичны. Однако они могут быть вложены в М довольно сложным образом. [c.261]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

В гл. V было показано, что устойчивая и неустойчивая асимптотические поверхности Л+ и могут трансверсально пересекаться в действительной области, и это приводит к отсутствию аналити- [c.333]

Из неравенства М, е М, М ) ( е, е ) и независимости первых интегралов на Мн. с вытекает, что а >0. Устойчивые II неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (17) можно представить как пересечения много-образия ЛЬ,, с гиперплоскостями Aij Мз У аз—=0. [c.244]

Характер изменения функций а t) пли С (t), полученных в результате интегрирования (1.5.12) или (1.5.14), определяет закон развития начальных возмущений поверхности пузырька во времени. Если возмущения с течением времени затухают до нуля или до некоторого постоян1юго значения, то движение стенки пузырька устойчиво асимптотически или неасимптотически. [c.53]

Можно доказать, что Ш.п.-в.— единственное статическое вакуумное асимптотически-плоское решение ур-ний обшей теории относительности. Ш.п.-в., описывающее чёрную дыру, устойчиво малые возмущения метрики (1) общего вида затухают по степенному закону при f-юз (показатель степени определяется мультипольностью возмущения). Гравитационная энергия связи тел массой т М, двигающихся по устойчивым круговым орбитам в Ш.п.-в., может достигать а6% от энергии покоя (С. Л. Каплан, 1949), Частицы, падаюидие в чёрную дыру, достигают поверхности горизонта событий за конечное собственное время -rj , но за бесконечный интервал времени t с точки зрения любого внеш. наблюдателя, не падающего в чёрную дыру. Это утверждение остаётся верным и в случае нестационарной чёрной дыры, масса к-рой растёт из-за поглощения (аккреции) ею окружающего вещества [при этом, однако, следует помнить, что в случае аккреции на чёрную дыру радиус поверхности горизонта событий r (f) всегда несколько больше текущего гравитационного радиуса г, (01-После пересечения горизонта событий частицы достигают сингулярности г = 0 также за конечный интервал собственного времени. Внеш. наблюдатель этого не увидит никогда. [c.460]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

Как было показано в данной главе, при стационарных внешних воздействиях (постоянная внешняя нагрузка, стационарное циклическое нагружение) изменение вектора самоуравновешенных напряжений pj, является всегда направленным. Устойчивость идеально вязкой конструкции и связанная с ней выпуклость потенциала ползучести определяют стремление к стабилизации процесса деформирования, постепенное (в общем случае асимптотическое) приближение к состоянию, при котором приращение неупругой деформации становится совместным в любой момент времени (при неизменяю-щейся нагрузке) либо в целом за цикл (циклическое нагружение). Заметим, что аналогичная тенденция к стабилизации процесса деформирования была отмечена в гл. 4 (при выходе на прямолинейный участок после поворота траектории в девиаторном пространстве на некоторый угол). Указанная закономерность вытекает из закона градиентальности скорости неупругой деформации к поверхностям [c.204]

В книге рассмотрены лишь задачи устойчивости, которые могут быть решены исходя из линеаризованных уравнений. В дополнение к цитированным в основном тексте отметим недавно опубликованные работы 24, 38, 161, 163, 165, 174, 178], в которых исследование устойчивости сводится к существенно нелинейным краевым задачам. В том числе в работах [165, 174, 178] методами асимптотического интегрирования исследуются закритические деформации оболоче1< вращения, близкие к зеркальному отражению срединной поверхности от плоскости, перпендикулярной оси вращения (см. также работы А.В.Погорелова [97, 98]). [c.309]

На рис. 7.17 изображен общий вид фазового пространства и секущей 2 при значениях параметра г, несколько меньших 1.3,92. НанЬмним, что остальные параметры а и Ь предполагаются ради определенности фиксированными о = 10, Ь = 8/3. При возрастании г вплоть до значения г = 13,92 вторые точки пересечения Л, и N2 интегральных кривых и 5 с секущей плоскостью 2 приходят на линию разрыва Я. Это соответствует появлению у состояния равповесия О двух петель и 5 , показанных на рис. 7.15. Напомним, что эти петли лежат на интегральной поверхности состояния равновесия О, а точечное отображение на секущей плоскости 2 при этом имеет вид, условно изображенный на рис. 7.18 (условно в том смысле, что на рис. 7.18 представлен отдельный его фрагмент, а не глобальная картина, которая в целом достаточно сложна). На рис. 7.18 по разные стороны от кривой Я определены разные отображения Г, и Т2. Они симметричны. Кривые Р, и Рг они преобразуют в кривую Я, а кривую Я в точки М, и Л/г, которые, в свою очередь, преобразуются в точки ж, и N2 кривой я. Области, лежащие между кривыми Р, и / , Рг и Я, стягиваются соответственно к неподвижным устойчивым точкам О, и Ог. Сказанное означает, что любая внутренняя точка этих областей при последовательных преобразованиях асимптотически приближается соответственно к неподвижной точке либо О,, либо Ог. [c.188]

Из предположения о том, что любое периодическое ре-н1сние, лежащее на Но. имеет характеристические показатели, отличные от нуля, следует, что на Но имеется лишь конечное число периодических решений. Действительно, ссли бы на Е было бесконечно много периодических решеиий, то среди них имелось бы такое, в каждой окрестности которого сунюствомпло бы периодическое решение, отличное от него самого. Эго противоречит тому, что оба характеристических показателя этого решения отличны от нуля. Так как поверхность Ец асимптотически устойчива, то хотя бы один из характеристических показателей периодического решения, лежащего на Ео. отрицателен. Действительно, если бы это было не так, т. е. если бы существовало периодическое решение с положительными характеристическими показателями, то существовали бы решения, стремящиеся к Но при — оо и не лежащие на Иц. Это невозможно из-за устойчивости [c.221]

Это утверждение вытекает из того факта, что равновесие т = О s < п), т = onst ф О асимптотически устойчиво (при t —> - -оо или t —> —оо) на соответствующей поверхности интеграла энергии. [c.33]

Теорема. В области G асимптотической устойчивости состоя-ний равновесия для любого е О можно указать такое 6 0, что для любых постоянно действующих возмущений, жньших б, фазовая точка, пока ее и-компоненты находятся в О, не покидает г-окрестности множества состояний равновесия и всегда найдутся такие сколь угодно малые постоянно действующие возмущения, при которых фазовая точка будет перемещаться вдоль поверхности соспюяний равновесия по любой наперед заданной в области G кривой. [c.275]

Второй случай имеет место, если выполнено некоторое неравенство, и тогда нулевое решение будет либо асимптотически устойчивым либо неустойчивым (асимптотически устойчивым цри t — оо). Этот результат Ляпунов доказал вторым методом и не дал в этом случае построения решения для промежутка t >> to. Первый случай имеет место, если выполнено бесконечное число некоторых равенств, и тогда в окрестности начала координат Ляпунов строил одпопараметрическое семейство интегральных поверхностей [c.72]

Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от ) Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либй неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности — интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бьг построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова [c.73]

На каждой из этих интегральных поверхностей при достаточно малом с находится одно из периодических решений (16). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчивость периодических решений (16) в классе тех решений, которые начинаются вблизи этих периодических решений и расположены на одной поверхности с соответствующим периодическим решением. Как видим, он здесь воспользовался первым методом, так как строил периодические решения (16), но не построил общего решения в окрестности нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы (не обращаясь ко второму методу) построить общее решение по первому методу, откуда получил бы и факт неасимптотической устойчивости нулевого решения. [c.77]

Естественно, далее, поставить вопрос об устойчивости катяш,ихся волн. Ю. П. Иванилов и Л. В. Пашинина (1965) показали, что эти волны более устойчивы, нежели равномерный пуазейлев поток. Зависимость критического значения числа Рейнольдса от длины волны изображена на рис. 7. Разумеется, смысл имеет только та часть кривой, которая соответствует большим значениям длины волны Я, поскольку все эти результаты получены методами асимптотической теории. Аналогичные результаты были опубликованы Л. В. Пашининой (1966), которая изучала гидродинамику тонкой пленки, подверженной также действию касательных напряжений, приложенных к ее свободной поверхности. [c.75]

При реально встречающихся типах уравнения состояния веществ ударные волны всегда устойчивы. В частном случае идеального газа с показателем адиабаты у = Vs Н. К. Фриман (Ргос. Roy. So . London, 1955, А228 1174, 341—362) исследовал затухание возмущений в случае устойчивой ударной волны, порождаемой поршнем со слабо искривленной поверхностью. Оказалось, что возмущения, осциллируя, затухают асимптотически по степенному закону i . Для сильной ударной волны а — /г, при отличном от нуля начальном давлении а = 2- [c.261]

Особенно быстро уменьшается амплитуда возмущения в момент появления особенности О на поверхности фронта. С течением времени скорость уменьшения амплитуды надает и асимптотически приближается к нулю. Между прочим, очень медленное выравнивание возмущения на последней стадии приводит к интересному явлению. На сферическом пламени можно часто наблюдат] структуру, напоминающую поверхность футбольного мяча. Возмущения на поверхности пламени, когда оно устойчиво, быстро уменьшаются на начальной [c.371]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...