Изгиб Граничная поверхность

Такое напряженное состояние приблизительно осуществляется в тонких пластинах, подвергающихся действию сил, не вызывающих изгиб, т. е. лежащих в срединной плоскости пластины. Считаем составляющую объемных сил R3 — O. Так как граничные поверхности пластины свободны от внешних сил, то [c.132]

В таблице 4.1 приведены результаты численных экспериментов по решению следующей задачи об изгибе толстой плиты. Рассматривается квадратная в плане плита размером аХ Х" - Боковые грани плиты жестко защемлены. По верхней грани приложено единичное нормальное давление. Коэффициент Пуассона равен 1/6. Граничная поверхность разбивалась на 256 элементов, по 64 элемента на горизонтальных гранях и по 32 — на вертикальных. Учитывались две плоскости симметрии (Х] = 0, хг=0). Окончание итерационного процесса наступало при одновременном выполнении двух условий [c.238]

При изгибе вала или оси сопряженные поверхности рабочей ступени и ступицы взаимно смещаются подобно граничным поверхностям составной балки (рис. 11.5, б). В условиях вращения это обусловливает непрерывное возвратно-поступательное перемещение посадочных поверхностей относительно друг друга. Так как силы трения на них достаточно велики, то в результате появляются повреждения посадочных поверхностей — фреттинг-коррозия. Она наибольшая у краев ступиц, где величина и скорость относительного перемещения максимальны. [c.279]

Пусть сплошная круглая пластинка изгибается нормальным давлением, равномерно распределенным по верхней граничной поверхности пластинки (см. рис. 14). [c.29]

При рассмотрении деформаций тонкой оболочки наиболее важным является вопрос о том, подвергается ли растяжению средняя поверхность, т. е. поверхность, расположенная посредине между обеими граничными поверхностями. В первом случае деформацию можно назвать растяжением, и ее потенциальная энергия пропорциональна толщине оболочки, которую мы будем обозначать через 2А. Поскольку инерция оболочки, а следовательно, и кинетическая энергия данного движения также пропорциональны Л, то частоты колебаний в этом случае независимы от Н ( 44). С другой стороны, если никакая линия, проведенная на средней поверхности, не подвергается растяжению, то потенциальная энергия деформации является величиной высшего порядка по отношению к малой величине А. Если предположить, что оболочка разделена на слои, то растяжение каждого слоя пропорционально его расстоянию от средней поверхности, и доля данного слоя в общей потенциальной энергии пропорциональна квадрату этого расстояния. Интегрируя по всей толщине оболочки, найдем, что полная потенциальная энергия пропорциональна /г . Колебания этого рода можно назвать колебаниями без растяжения или колебаниями изгиба, и их частоты пропорциональны /г( 44), так что по мере уменьшения толщины звуки неограниченно понижаются. [c.412]

С возникающими в стержне внутренними напряжениями и потому могут быть положены (при отыскании граничных условий) равными нулю. Это обстоятельство в точности аналогично тому, что мы имели при рассмотрении изгиба тонких пластинок. Таким образом, на боковой поверхности стержня должно быть = 0 поскольку ось 2 направлена по оси стержня, то вектор нормали п имеет только компоненты п , Пу, так что написанное уравнение сводится к условию [c.89]

Аналогично тому, что мы имели в случае изгиба пластинок и кручения стержней, и при изгибе тонких стержней внешние силы, действующие на боковую поверхность стержня, малы по сравнению с возникающими внутри стержня напряжениями, и при определении граничных условий на этой поверхности их [c.93]

Уравнения равновесия, совместности деформаций и граничные условия при изгибе пластины поперечной нагрузкой Р будут удовлетворены, если при решении задачи будет выбрана функция прогибов срединной поверхности пластины т в соответствии с уравнением (1У.21) [c.66]

Так, в отдельных задачах разыскивается такое приближенное решение, при котором то ли граничные условия не совпадают с действительными в каждой точке наружной поверхности тела, но в интегральном смысле по всей наружной поверхности тела (или, что лучше, на отдельных участках этой поверхности) условия равновесия выполняются то ли условия равновесия для отдельных внутренних точек тела не выполняются точно, но для всего поперечного сечения (такое положение имеется в задачах сопротивления материалов при расчете на изгиб балок) или в пределах любой толщины плиты или оболочки, хотя бы и в пределах любой бесконечно малой ширины (такое положение имеет место в прикладной теории расчета тонких пластинок и оболочек и т.п.) в интегральном смысле условия равновесия выполняются. [c.58]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Это позволяет выразить правую часть уравнения (5.27) через функции fi х, у) и коэффициенты С . Обратим внимание на следующее обстоятельство. При известной правой части уравнения (5.27) задача определения функции усилий сра х, у) оказывается эквивалентной обычной линейной задаче определения поперечного прогиба защемленной по контуру пластины. Действительно, уравнение (5.27) аналогично обычному уравнению изгиба пластины, если правую часть, пропорциональную гауссовой кривизне деформированной срединной поверхности пластины, рассматривать как заданную поперечную нагрузку. Граничные условия (5.29) соответствуют условиям защемления. Поэтому, пользуясь хорошо разработанными методами линейной теории изгиба пластин, с любой степенью точности функцию усилий фа (х, у) можно выразить через выбранную функцию Wi х, у). [c.192]

Если при потере устойчивости срединная плоскость пластины изгибается по развертывающейся поверхности и /( = О, то решению уравнения (5.27) с граничными условиями (5.29) соответствуют П =0, Гу = О, S" = 0. [c.193]

Оценка тепловой инерционности защитного устройства тензодатчика может быть проведена следующим методом. Стенка корпуса турбины с установленным на внутренней поверхности Защитным устройством рассматривается как пластинка с осесимметричным распределением температур относительно оси защитного устройства. Решая дифференциальные уравнения изгиба пластины толщиной h и радиусом R с осесимметричным распределением температур [81 при соответствующих граничных условиях, получим для температурного поля t(r, z) [c.146]

Модель, введенная в [1], основана на классической теории изгиба пластин. Здесь нет необходимости входить в детальное обсуждение вопроса об использовании теории пластин (или оболочек) высокого порядка для исследования трещин (см., например, [2—4]). Достаточно отметить, что поле напряжений, асимптотически стремящееся к вершине трещины и определенное с помощью классической теории пластин, не соответствует решениям, полученным в теории упругости. В то же время момент-ная теория (например, теория Рейсснера [5,6]) в состоянии учесть результирующие всех напряжений и моментов, действующих на поверхность трещины в отдельности (т. е. три граничных [c.244]

Для пояснения техники нормализации физических уравнений рассмотрим пример изгиба пологой цилиндрической оболочки при действии на поверхности нормального давления интенсивностью Рп х, у). На рис. 4.2 представлены необходимые обозначения, схема нагружения и размеры оболочки. В качестве граничных условий рассматривается случай защемления краев оболочки на жестком контуре при сохранении возможности аксиальных перемещений одного из торцовых сечений. [c.74]

Задача изгиба кольцевого слоя. Граничные условия на лицевых поверхностях [/+ = U = - V = О, [c.71]

Получим точные решения основных задач для плоского слоя с жесткими лицевыми поверхностями растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг слоя (см. рис. 2.2). Граничные условия на лицевых поверхностях слоя г — 0,5Л [c.77]

Рассмотрим задачу растяжения-сжатия и изгиба плоского слоя с жесткими лицевыми поверхностями. Граничные условия на этих поверхностях [/ = У = О, У = 0,5(а.г — хШу- -уш, ). Здесь и далее используются амплитудные значения функций. [c.250]

Геометрический смысл первых двух параметров был выяснен ранее они являются соответственно относительным удлинением и изменением нормальной кривизны граничного контура. На основании соотношений (I.I37) легко устанавливается и смысл двух других параметров характеризует скручивание граничного нормального элемента, а — его изгиб из своей плоскости (или, что то же, изменение кривизны элемента граничного контура A da в касательной к срединной поверхности плоскости). [c.59]

В безмоментной теории распоряжаться краевыми смещением w и углом поворота уже нельзя, так как задание их непосредственно отражается на краевых значениях соответствующих обобщенных сил Тщ и Ml- Приняв, например, на границе оболочки оу = = О (т. е. заделав край в отношении нормального смещения и угла поворота), разумеется, уже невозможно считать, что на этом же краю Тщ = О, Mi =0, так как последнее противоречит первому. Из сказанного следует, что на краю безмоментной оболочки можно распоряжаться лишь компонентами вектора смещений, касательными к срединной поверхности, т. е. и и , в которых и должны формулироваться граничные условия безмоментной теории, если они задаются в смещениях. Необходимо далее учесть, что дифференциальные уравнения безмоментной теории в усилиях и в смещениях имеют разный порядок — соответственно второй и четвертый. Следствием является, что краевые условия для безмоментной оболочки не могут быть заданы полностью только в усилиях. Половина их обязательно должна быть задана в смещениях. Эта принудительность задания половины краевых условий в смещениях имеет следующий физический смысл как было указано в предыдущем параграфе, оболочка, не сопротивляющаяся изгибу, является не жестким телом, а механизмом, свободно допускающим смещения, соответствующие чистому изгибу. Надлежащим тангенциальным закреплением краев такие смещения, как правило, могут быть устранены, т. е. оболочка может быть превращена в жесткую систему. Для этой цели предназначены и должны быть использованы те принудительные граничные условия, [c.88]

Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. 96). При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. 99, 100). Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки. В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями. [c.12]

Если пластинка изгибается нагрузкой, распределенной лишь по ее свободному краю, а не по всей поверхности, то второе из граничных условий (с) должно быть изменено, а именно в правой части уравнения вместо нуля должна стоять интенсивность нагрузки, распределенной по свободному краю. Был исследован также и частный случай сосредоточенной силы, приложенной на свободном крае весьма длинной пластинки (рис. 97) i). При этом было найдено, что прогиб [c.237]

Как известно, задачи об изгибе и плоском напряженном состоянии для сплошных пластинок весьма похожи. Поскольку дифференциальное уравнение для плоского напряженного состояния и однородная часть в уравнении для изгиба при действии распределенной по поверхности поперечной нагрузки идентичны, то для соответствующих граничных условий их решения будут одинаковыми. Например, задача Тимошенко о плоском напряженном состоянии прямоугольной пластинки при действии в ее плоскости нагрузки [1]. распределенной по параболическому закону, аналогична задаче об изгибе защемленной прямоугольной пластинки от действия равномерно распределенной по поверхности поперечной нагрузки [2]. В работе [2] при исследовании пластинок с одним или несколькими вырезами наибольшее внимание было уделено определению плоского напряженного состояния, а не изгиба пластинок. Трудность решения задач второго класса зачастую обусловливается требованием удовлетворения граничным условиям на краях вырезов. [c.192]

Исходя из известных граничных условий выберем статически возможные компоненты тензора напряжений. Начнем с касательных напряжений т 0. Нам известно, что на поверхности проволоки и на ее оси т 0 = 0. Наибольшие сдвиговые деформации 7,9 металл проволоки получает при входе и выходе из очага деформации. Так, наружное волокно получает вначале изгиб на угол, примерно равный углу наклона образующей канала волоки к оси волочения, а затем при выходе изгиб в противоположном направлении. Итак, на входе и выходе знаки должны быть равными, причем на входе плюс , а на выходе минус . Можно ожидать, что наибольшее абсолютное значение т 0 будет иметь также на входе и выходе. Всем этим условиям удовлетворяет, например, такая формула касательных напряжений [c.217]

Рис. 7.4. Графики изменения и.зги-бающего момента (/), смещения граничной поверхности (2) и изменения толщины листа (3) в процессе изгиба в зависимости от значений параметра Удквиста на внутренней поверхности листа [85] (А — а)

Замечание к определению критических напряжений для цилиндрической оболочки при чистом изгибе. Если цилиндрическая оболочка нагружена по концам парами сил, то распрёделение осевых напряжений по сечению будет изменяться по закону синуса или косинуса (в зависимости от начала отсчета угла, см. 23). Вследствие этого следует ожидать, что критическое напряжение для сжатой зоны в отличие от действия равномерного сжатия должно быть несколько выше в пределах одной ямки или выпучины напряжение сжатия не остается постоянным и как следствие этого форма деформированной поверхности будет отличаться от чистого сжатия. При изгибе граничные условия на сторонах у—О, у=Ь ямок и выпучин, выраженные через функцию ш и ее производные, по-видимому, будут ближе к упругой заделке, чем к шарнирному опиранию. Надежное теоретическое решение этой задачи, по-видимому, отсутствует. Экспериментальная проверка по изгибу цилиндрических оболочек указывает на то, что коэффициент к в этом случае по сравнению с чистым сжатием выше на 15—18%. [c.272]

Первая задача, заключающаяся в определении функций Оххи 0x1/1, удовлетворяющих уравнениям (11.87) и условиям (11.89) н (11.91), представляет собой задачу растяжения и дастого изгиба кривого бруса в плоскости его кривизны. Эта задача решена в работе 1211 путем введения соответствующей функции напряжений, G помощью которой она приводится к уравнению и граничным условиям, эквивалентным задаче определения изогнутой поверхности защемленной по контуру прямоугольной пластины, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. [c.387]

В случае изгиба жестких пластин общее число граничных условий уменьшается, так как усилиями в срединной поверхности можно пренебречь. В этом случае на каягдом крае пластины задается по два граничных условия для [c.131]

Молекулы смазочного материала ориентируются перпендикулярно к твердой поверхности (стоймя), что позволяет представить для наглядности граничную планку в виде ворса (рис. 4.1). При взаимном перемещении поверхностей трения ворсинки как бы изгибаются в противоположные стороны. На самом же деле происходит сдвиг с перекосом квазикристаллической структуры пленки. Сопротивление ее скольжению в таком состоянии несколько повышено. На восстановление ориентации молекул в прежнее положение перпендикулярно поверхности тел требуется некоторый промежуток времени, иногда относительно большой. [c.76]

Смазочный материал в граничном слое анизотропен, в тангенциальном направлении молекулярные слои легко изгибаются и при толщине слоя больше некоторой критической величины скользят друг по другу по нормали к твердой поверхности пленка обладает высоким сопротивлением сжатию ее несущая способность исчис-, ляется десятками тысяч килограммов на 1 см . Деформация сжатия пленки в довольно высоком интервале не выходит за пределы упругости. [c.76]

Если исключить вибрацию невозможно, то напрашиваются пути ослабления повреждения поверхностей в виде снижения силы трения или перенесения скольжения в промежуточную среду. Для снижения удельной силы трения достаточно понизить давление или уменьшить коэффициент трения. В условиях фреттинг-коррозии обычные смазочные материалы не влияют на коэффициент трения, так как граничная пленка в процессе работы не пополняется и быстро разрушается. Молибденит в виде порошка или пасты уменьшает повреждения, но поскольку мнения на этот счет противоречивы, то, по-видимому, он не является универсальным средством. Однако в опытах В. К- Баттена над моделью соединения гребного вала с коническим хвостовиком (средний натяг 0,5 мм) при знакопеременных изгибе и кручении и числе циклов перемен напряжений 10 млн. с различными покрытиями конуса наилучшие результаты [c.228]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

Таким образом, безмоментная теория, приводя в рассматриваемом случае к неправильным соотношениям, дает, вместе с тем, и качественно верное указание на то, что в оболочке имеет место полубезмоментное напряженное состояние. Последнее полностью согласуется с нашими представлениями о работе длинной цилиндрической оболочки. Действительно, никакие граничные условия (в том числе и нетангенциальные) не могут серьезно повлиять на напряженное состояние вдали от краев. Поэтому в достаточном удалении от краев устанавливается напряженно-деформированное состояние (полностью определяемое нагрузкой и видом срединной поверхности), сходное с тем, какое имеет место в кольце под действием равномерной нормальной к оси нагрузки. Если ось кольца отлична от дуги окружности, нагрузка (поскольку жесткость кольца на изгиб значительно меньше его жесткости на растяжение) будет разгибать кольцо, и в нем возникнет сильномоментное напряженное состояние (см. критерий (9.5)). [c.332]

Вышеуказанные упрощения, делаемые при определении напряжений в оболочках, основаны на особенностях формы оболочек. Кроме них при известных условиях могут быть сделаны и другие существенкые упрощения. Если в силу заданных граничных условий не происходит изгиба оболочки, так что в меридиональных сечениях и в сечениях коническими поверхностями получатся лишь нормальные напряжения, равномерно распределенные по толщине, и нет напряжений от изгиба, то в этом случае так называемого чистого растяжения или сжатия энергия деформации сравнительно незначительна. По теореме о миниму , е энергии деформации мы всегда будем иметь одно растяжение, если оно совместимо с условиями равновесия и с граничными условиями. В противном случае на основании той же теоремы можно заключить, что напряжения от изгиба оболочки, получающегося в силу граничных условий, например вследствие защемления краев, должны по мере удаления от краев очень быстро уменьшаться, так что на некотором расстоянии от краев снова получится одно растяжение. Отсюда мы видим, какое значение имеет случай действия в оболочке одних нормальных напряжений, распределенных равномерно по толщине (напряжения типа получающихся в мембранах — Membranspannungen ). Особенно важное зничгние этот случай имеет для тонких оболочек, сопротивление которых изгибу незначительно. Мы сперва займемся случаем действия одних нормальных напряжений, равномерно распределенных по толщине, и лишь затем обратимся к теории изгиба оболочек. [c.14]

При одинаковой (в пределах класса) шероховатости поверхности образцов из сталей 40ХНМА и ОХНЗМФА циклическая прочность после ЭХО на 10—12 % ниже по сравнению с обработкой шлифованием [182]. Испытания проводили на машине МУИ-6000 при чистом изгибе с частотой вращения 3000 об/мин при нормальной температуре. Форма образцов при сравнительных испытаниях для определения влияния технологических факторов на циклическую прочность соответствовала ГОСТ 2860—65. Шероховатость поверхности образцов Яа = 0,02-н 0,25 мкм по ГОСТ 2789—73. Электрохимическую обработку производили в 11%-ном хлоридном электролите при плотности тока 15—18 А/см и температуре 25—30° С. Образцы для сравнения обрабатывались точением с последующим тонким шлифованием. Результаты усталостных испытаний (рис. 35) были подвергнуты статистической обработке методом корреляционного анализа с построением кривых средних вероятностей разрушения в координатах сг — 1п Л/. Границы областей рассеяния долговечностей построены по граничным экспериментальным точкам. [c.73]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Из рассмотрения результирующей горизонтальной силы Р видно,- что помимо деформации сжатия е.г, вызываемой силами Р, должны возникать также напряжения изгиба и деформации ползучести вблизи среднего сечеиия ЕЕ. Если, например, поднятие поверхности в вершт1е Е достигло Я = 3 км, то впадина Е погрузилась на Яг=15,6 км в тяжелое основание и порода на оси симметрии претерпела в среднем необратимое сжатие 8 в горизонтальном направлении, равное приблизител ьно 6 =—0,47 (47%) сверх того, которое испытывают граничные сечения ЛА и ВВ. [c.775]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...