Граничные условия при изгибе

Уравнения равновесия, совместности деформаций и граничные условия при изгибе пластины поперечной нагрузкой Р будут удовлетворены, если при решении задачи будет выбрана функция прогибов срединной поверхности пластины т в соответствии с уравнением (1У.21) [c.66]

Браутман и др. [37 ] рассмотрели двухслойную анизотропную прямоугольную пластину, нагруженную произвольно распределенным нормальным давлением. Граничные условия при изгибе соответствовали шарнирному опиранию, а при деформировании в плоскости —. свободным и закрепленным кромкам. Численные [c.181]

Р. А. М е ж л у м я н. Граничные условия при изгибе и кручении тонкостенных. оболочек за пределом упругости. Прикл. матем. и механ., т. 14, № 5, 1950. [c.46]

Однако для зоны сжатия (р < р ) должно быть принято иное граничное условие, отличное от граничного условия при изгибе моментом, а именно р = г и 0р = — [c.104]

Перейдем к рассмотрению граничных условий при осесимметричном изгибе круглых пластин. В случае изгиба жестких пластин достаточно задать для края пластины два условия. [c.144]

Функция ср(а ) удовлетворяет заданным граничным условиям при а = 0, а w = дш/дх = 0. Если подставить функцию ф(а ) в уравнение изгиба жестких пластин, то получим [c.204]

С учетом предельных значений потенциалов, рассмотренных в 1.4, а также результатов дифференцирования фундаментального решения изгиба пластины (см. 1.3) выпишем сингулярные интегральные уравнения, из решения которых определяются компенсирующие нагрузки (с), w( ) для различных граничных условий. При этом предельные значения потенциалов берутся в области 0"(см. 1.4). [c.23]

Изгиб полосы моментом (плоская деформация), рис.2.2. Граничные условия при С = 0,5 Г" " = 11 — 0, 1У+ = 1У- = -0,Ь Ншу. [c.68]

Первая, описываемая системой уравнений (19.7), является обобщенной плоской задачей и была рассмотрена в предыдущей главе. Поэтому далее для конкретных задач используются поверхностная нагрузка о (ж, у), температурное воздействие 0(ж, у) II граничные условия, при которых Ыао = 0. Вторая задача, описываемая системой уравнений (19.8) относительно трех обобщенных перемещений u i, Изо, представляет задачу изгиба пластины с учетом поперечных сдвигов. [c.113]

Дальнейшее обобщение этого подхода было дано Г. Н. Савиным и Н. П. Флейшманом (1961). Предполагая подкрепляющий стержень весьма тонким (т. е. считая поперечное сечение стержня весьма узким), они несколько ослабили граничное условие на контуре слоя и сформулировали в терминах комплексного переменного объединенную задачу о кольцевых подкреплениях со смягченными граничными условиями. При выводе этих условий использовалось предположение о том, что стержень в случае плоского напряженного состояния не сопротивляется изгибу, а при поперечном изгибе пластинок лишен крутильной жесткости. [c.65]

Компоненты векторов начальных параметров Т " и Тг определяются независимо друг от друга исходя из ограничений, накладываемых граничными условиями при плоской деформации и при изгибе пластины. Параметр Тз, определяющий прогиб пластины, может быть получен с помощью интеграла (10.39). Компоненты напряженно-деформированного состояния определяются формулами (10.11), причем значения ф1 и фг следует принять по формулам (10.49), ф5 = Фе == О, а константы — равными ho = h Ео = Е Ро = Eh . [c.159]

Таким образом, для расчета напряженно-деформированного состояния симметрично нагруженной оболочки необходимо определить четыре произвольные постоянные интегрирования 7о, Уо, Фо и фо. Следовательно, на каждом краю оболочки 5= о и 5=51 для однозначности решения необходимо задавать по два граничных условия, при этом хотя бы два граничных условия должны быть заданы в перемещениях, в противном случае существование безмоментного напряженного состояния будет невозможно [срединная поверхность такой оболочки изгибается без растяжения (сжатия) и сдвига или оболочка смещается как твердое тело]. [c.182]

С возникающими в стержне внутренними напряжениями и потому могут быть положены (при отыскании граничных условий) равными нулю. Это обстоятельство в точности аналогично тому, что мы имели при рассмотрении изгиба тонких пластинок. Таким образом, на боковой поверхности стержня должно быть = 0 поскольку ось 2 направлена по оси стержня, то вектор нормали п имеет только компоненты п , Пу, так что написанное уравнение сводится к условию [c.89]

Аналогично тому, что мы имели в случае изгиба пластинок и кручения стержней, и при изгибе тонких стержней внешние силы, действующие на боковую поверхность стержня, малы по сравнению с возникающими внутри стержня напряжениями, и при определении граничных условий на этой поверхности их [c.93]

При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий. Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смещения и момента сил дают в этих случаях [c.112]

В качестве одной из задач исследуем распределение напряжений и перемещений при чистом изгибе кругового бруса (рис. 19). Ввиду того, что тензор напряжений не зависит от координаты ф, функцию напряжений берем в форме (6.44). Сформулируем граничные условия задачи в виде [c.116]

Так, в отдельных задачах разыскивается такое приближенное решение, при котором то ли граничные условия не совпадают с действительными в каждой точке наружной поверхности тела, но в интегральном смысле по всей наружной поверхности тела (или, что лучше, на отдельных участках этой поверхности) условия равновесия выполняются то ли условия равновесия для отдельных внутренних точек тела не выполняются точно, но для всего поперечного сечения (такое положение имеется в задачах сопротивления материалов при расчете на изгиб балок) или в пределах любой толщины плиты или оболочки, хотя бы и в пределах любой бесконечно малой ширины (такое положение имеет место в прикладной теории расчета тонких пластинок и оболочек и т.п.) в интегральном смысле условия равновесия выполняются. [c.58]

Функцию напряжений Ф х , дс ), минимизирующую функционал Т, можно приближенно найти одним из прямых методов вариационной задачи изгиба при выполнении граничного условия (8.9). [c.221]

Вторая задача, состоящая в определении из уравнений (11.88) и условий (11.90), (11.92) функций a xxi,. .., представляет собой задачу изгиба кривого бруса в плоскости, перпендикулярной плоскости его кривизны. Эта задача путем введения функции напряжений, как и первая, также сводится к бигармоническому уравнению, но при иных граничных условиях [22]. [c.387]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Принцип Сен-Венана был сформулирован в главе I. Этот принцип был использован в задаче об изгибе консоли при рассмотрении граничных условий. В задаче о балке на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки он был применен для смягчения граничных условий. Последняя задача позволяет дать количественную оценку принципу Сен-Венана. [c.78]

Другим примером успешного приложения экспериментов при решении задач теории упругости является метод мыльной пленки для определения напрял<ений при кручении и изгибе призматических стержней. Трудная проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях заменяется в этом случае измерениями наклонов и прогибов соответствующим образом натянутой и нагруженной мыльной пленки. Эксперименты показывают, что таким путем можно получить не только визуальную картину распределения напряжений, но и приобрести необходимую информацию относительно величины напряжений с точностью, достаточной для практических целей. [c.16]

В предыдущем параграфе было получено несколько решений для прямоугольных пластинок с помощью функций напряжений ф очень простого вида. В каждом случае граничные усилия должны быть распределены в точности так как того требует решение. Например, в случае чистого изгиба (рис. 22) нагружение вертикальных граней пластинки должно осуществляться нормальными усилиями (Од. при л = 0 или х = /), пропорциональными координате у. Если моменты на гранях создавать каким-либо иным образом, решение, приведенное в 18, становится некорректным. Если эти измененные граничные условия на гранях пластинки должны удовлетворяться точно, следует найти другое соответствующее этим условиям решение. Многие из таких решений были получены не только для прямоугольных областей, но также и для областей призматической, цилиндрической и клиновидной формы (некоторые из них будут рассмотрены ниже). Эти решения показывают, что изменение в распределении нагрузки на границе без изменения ее результирующей приводит к значительным изменениям напряжений лишь вблизи конца. В таких случаях простые решения, подобные представленным в этой главе, могут дать достаточно точные результаты всюду, за исключением окрестностей границы. [c.57]

Полученное уравнение позволяет определять критические нагрузки (сосредоточенные и распределенные) для наиболее общего случая, когда изгибная жесткость стержня переменна по его длине. При изгибе прямолинейного стержня в плоскости (см. систему уравнений (13.15)) при малых отклонениях точек осевой линии стержня всегда имеются четыре граничных условия (по два на каждом конце стержня). Поэтому решение уравнения равновесия стержня должно содержать четыре произвольные постоянные. [c.525]

П. Ф. Папковичем впервые предложено решение задач теории упругости в перемещениях в форме гармонических функций, а также исследованы общие теоремы устойчивости упругих систем, решен большой цикл задач об изгибе пластин при различных граничных условиях. [c.11]

Таким образом, задача изгиба жестких пластин сводится к решению одного дифференциального уравнения (6.20) при заданных граничных условиях. На вопросе о граничных условиях в теории пластин мы остановимся специально в 32. [c.129]

Вернемся опять к упрощенному варианту постановки задачи поперечного изгиба балки, в которой не учитывается влияние сдвигов на прогибы. Одновременно будем считать равной нулю распределенную моментную нагрузку. При этом граничные условия (12.122) приобретают вид [c.206]

При формулировке силовых граничных условий особого внимания заслуживают те случаи, когда мертвые внешние нагрузки передаются на стержень с помощью промежуточных деталей, изменяющих при изгибе стержня воспринимаемое им силовое воздействие. Несколько примеров такого нагружения стержней [c.81]

Граничные условия Кирхгофа ). Методы рассмотрения связанных с прогибом If граничных условий при изгибе, которые были изложены в 2.7 применительно к балкам, могут быть, как правило, без дополнительного большого изменения или затруднения примеиены к задачам пластин или оболочек. Однако дополнительно к сказанному в 4.1 имеется еще одна сторона, поскольку изложенные там теории пластин и оболочек, основанные на гипотезе Кирхгофа, значительно отличаются от случая поперечно нагруженных балок. Как видно из рис. 4.1, на каждой стороне малого элемента -имеется трц силовых фактора обусловленные лзгибом силы и моменты, например F , Мя а Мщ, на стороне, нормальной к оси х, в то время как для поперечно нагруженной балки имеется только два силовых фактора F и Ж. Но и уравнение (2.4) для балок и соответствующее уравнение (4.18) для пластин имеют четвертый порядок, й полное решение для них содержит только необходимое ч сло постоянных интегрирования для балок и произвольных функций (заданных по всей длине 1 рая пластины) интегрирований для пластин, что позволяет удовлетворить дйум условия а каждом конце или крае. [c.242]

В большинстве случаев Pi(0) /2(0) з(0) будут равны нулю. В фундаментальных функциях плоской задачи коэффициент А заменяется на У/, а // на (-//). При Х х)= ш пш 11) из (7.133) следуют решения М. Леви и Л. Файлона. Отметим также, что граничные условия параметров изгиба и плоской задачи противоположны. Это относится и к условиям для выбора функцииX(x). В таблице 7.15 представлены граничные условия изгиба и плоской задачи, приводящие к одинаковым вьфажениям для фундаментальных функций и Х х). Уравнение (7.133) является обш,им решением уравнения деформирования элемента складчатой оболочки (не учитывается только поперечный сдвиг в направлении оси Оу), для частных же случаев можно применять упрош,енное уравнение меньшего порядка. [c.484]

Остается еще лишь выбрать функцию R , которая, кроме граничного условия при г=Ь, связана только одним условием, а именно тем, что она должна обращать работу деформации в минимум. Это вполне соответствует смыслу аадачи, ааключающейся в проверке, очевидно, ошибочного вывода теории изгиба пластинки, что в случае действия сосредоточенной силы напряжение в точке г — 0 должно быть бесконечно бельшим. В 30 нам удалось лишь показать, что это заключение ошибочно, но там мы не имели возможности решить, какое же значение имеет напряжение в, в точке г 0. Теорема о минимуме работы деформации как раз и может здесь дать заключение о том, какое значение имеет в действительности а слгдовательно, и а, при г = 0. [c.167]

В некоторых задачах (кручение и изгиб авиационных профилей и др.) эффективен своеобразный смешанный метод, разработанный Л. С. Лейбензоном, М. Канторовичем и др Он состоит в том, что искомые функции представляют в виде произведения двух функций, из которых одна известная, причем подбираемая так, чтобы частично удовлетворить граничные условия другая же функция неизвестная, зависящая от меньшего числа переменных, и ее следует определять при помощи вариационного уравнения. [c.66]

Изгиб клина равномерно распределенной нагрузкой (задача М. Леви). При указанном нагружении клина (prf . 9.30), толш,ина которого равна единице, граничные условия имекэт вид [c.276]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Сеп-Венаиом был предло кеп так называемый полуобрат-пый метод (1853 г.), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонент перемещений и частью компонент напряжений, а недостающие компоненты определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости и граничные условия. Этим методом Сеп-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса. [c.58]

Мы рассмотрели случаи изгиба кольцевой пластины, нагруженной равномерным давлением, когда внешпий контур свободно оперт, а внутренний свободен от нагрузок. Однако приведенное выше уравнение (7.101) справедливо для любых граничных условий. Поэтому при решении задач изгиба кольцевых пластин с другими граничными условиями следует определить для заданных граничных условий постоянные С1 — так же, как это было сделано в рассмотренном нами случае. [c.177]

Рассмотрим в качестве примера случай изгиба квадратной пластины, защемленной но кромкам и нагруженной равномерно распределенным давлением у = При составлении уравнений мы должны учесть симметрию как относительно осей а , г/, проходящих через центр пластины, так и симметрию относительно диагоналей квадрата. Граничные условия на кромках х = о,/2 VI у — а/2 будут = О, дю/дх = О, дю1ду = 0. Из граничных условий следует, что прогибы в узловых точках контура равны нулю, а прогибы в узловых 14 [c.211]

ЧТО пластина нагружена равномерно распределенным давлением < = о. В силу симметрии из пластины можно выделить участок AB D и рассматривать изгиб только этого участка. Выделенный участок А B D примем в качестве конечного элемента. Таким образом, вся пластина разделена на 2 X 2 конечных элемента. Обозначим перемещения в точке А через Яи Яг, Яг, в точке В — 4, 5, Яг, в точке С — д,, q , дгд и в точке D — q,a, gil, gi2 в соответствии с рис. 8.11. При этом, учитывая граничные условия и симметричность ее деформации относительно центральных осей, заключаем, что из всех двенадцати перемещений только одно, q , будет не равно нулю. Остальные перемещения равны нулю. Из условия равновесия узловых сил (внешних и внутренних) в узле С получим Дг = Рг- При этом Рг, как следует из (8.54), бу- [c.226]

Аштон и Ваддоупс [17] для исследования изгиба пластины при действии нормального давления использовали энергетический метод. Позднее Аштон [И ] рассмотрел пластины с переменными по координатам свойствами материала и толщиной. Однако конкретных численных результатов в работах не содержится. Эти результаты получены в следующей работе Аштона [13], где исследованы различные варианты граничных условий (см. также книгу Аштона и Уитни [18]). [c.182]

Первые результаты, относящиеся к нелинейному анализу пластин с несимметричным расположением слоев, принадлежат Ву и Винсону [194]. Однако учет несимметричности структуры пакета осуществлялся ими приближенно с использованием приведенных изгибных жесткостей, определяемых равенствами (64). Строгий анализ несимметричных слоистых пластин был проведен Венетом [24] при определении динамической устойчивости прямоугольных пластин с шарнирно опертыми и закрепленными в плоскости пластины краями. Берт [28] рассмотрел прямоугольные пластины с произвольным расположением слоев и более реальными граничными условиями, соответствующими упругому закреплению при изгибе и плоской деформации. [c.191]

Принципиальное отличие силовых граничных условий задач устойчивости от силовых граничных условий линейных задач поперечного изгиба выявляется тогда, когда на торец стержня передаются сосредоточенные внешние усилия. Оно обусловлено тем, что в задачах устойчивости рассматриваются условия равновесия в отклоненном, искривленном положении системы. Поэтому, если, например, к незакрепленному торцу стержня приложена мертвая осевая сила Р, то условие равновесия примыкающего к торцу элемента (рис. 3.2), составленное для его отклоненного положения (в проекции на ось у), приводит к куравнению i.Q — Nqv =0. В данном случае, когда 0 = —Р, получим граничное условие EJv ) Pv = О при [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...