Стоячие волны гармонические

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ — гармонические свободные колебания нормальные колебания) ограниченных областей среды. Различные участки среды в С. в. колеблются либо синфазно, либо противофазно. Для любой ограниченной области среды существует [c.335]

Как следует из выражения (5.10), амплитуда стоячей волны меняется от точки к точке по гармоническому закону, меняясь от нуля до 2 о. Точки, где амплитуда равна нулю, определяются [c.96]

Невозможность формирования гауссовых пучков в резонаторе с плоскими зеркалами отнюдь не означает, что не могут образовываться вообще никакие стационарные пучки. В этом случае стационарные пучки также существуют, по распределение амплитуды по волновому фронту будет описываться для них не гауссовой, а иной функцией. И опыт, и расчеты показывают, что в резонаторах с плоскими зеркалами поле представляет собой стоячую волну с почти плоским волновым фронтом, а зависимость амплитуды от поперечных координат хорошо описывается произведением гармонических [c.804]

В твердом теле атомы при любой температуре, включая U К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колеба ния можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т. д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн (поверхность твердого тела для звуковых волн является узловой). [c.141]

Картины образования бегущих и стоячих волн совершенно различны. Однако если мы в обоих случаях будем наблюдать движение только какого-либо одного сечения стержня, то мы не отличим стоячей волны от бегущей. В обоих случаях отдельное сечение стержня колеблется по гармоническому закону (кроме узловых точек в случае стоячей волны). Различие между бегущей и стоячей волнами мы обнаружим, только если в каждом случае сравним движение двух разных сечений стержня. В случае бегущей волны разные сечения стержня колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В случае же стоячей волны разные сечения стержня колеблются в одинаковой фазе, но с различными амплитудами. [c.685]

Для стержня, один конец которого совершает заданное гармоническое движение, в отличие от натянутой струны, может встретиться и другой случай, когда второй конец стержня не закреплен. Условия отражения падающей волны будут иными — соответственно изменится распределение узлов и пучностей стоячих волн. При отражении от свободного конца волна смещений и волна скоростей отражаются без изменения фазы, а волна деформаций изменяет фазу на я. (Так же, как в случае отражения отдельного импульса от свободного конца, и по тем же причинам, не изменяется знак смещения и скорости и изменяется знак деформации.) Если в падающей волне смещение меняется по закону . /, х [c.686]

Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой внешней силы амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности. Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину, и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне. [c.688]

Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой — условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня ( 149), мы позднее убедимся, что те и другие условия совпадают. [c.688]

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе. [c.692]

Стоячие волны определенной длины образуют моды свободных колебаний ограниченного упругого тела. Если мы рассмотрим, например, полубесконечную среду и потребуем, чтобы перемещения точек границы х = О были равны нулю, то возможные гармонические движения среды не будут произвольными. Для описания движения среды используем уравнение (45), в котором углы y+ и y- выберем так, чтобы одна из узловых точек совпадала с границей д = О, т. е. [c.391]

Рассмотрим плоскую пластину, обтекаемую высокочастотной стоячей волной. При этом будем считать, что стационарное течение отсутствует. В частном случае для гармонической стоячей волны [c.104]

Рассмотрим течение в плоском канале между двумя параллельными плоскостями шириной 2го, вызываемое стоячей волной (фронт волны перпендикулярен к плоскости). Распределение скоростей в первом приближении определяется согласно выражениям (250) и (251) для гармонической стоячей волны уравнением [c.107]

Рассмотрим теплообмен при обтекании плоской пластины при условии, что стационарное течение сопровождается колебаниями скорости внешнего потока высокой частоты, причем закон колебания внешнего потока соответствует гармонической стоячей волне, т. е. [c.123]

Свободные колебания системы с двукратной собственной частотой совершаются в виде цепи т стоячих волн. Окружное распределение амплитуд колебаний сходственных точек по выбранным сходственным направлениям подчинено равномерно-дискретному гармоническому закону с амплитудой волны q. Окружная ориентация волны относительно системы, задаваемая углом ест, зави-(+) (-) [c.30]

Но после определенного начального -возмущения струна может совершать гармонические собственные колебания. Представим себе, что Ёсе участки струны отклонены от положения равновесия ио синусоидальному закону так, как показано на рис. 414, а, и затем освобождены. Каково будет движение частиц струны Оно будет таким же, как и движение их в стоячей волне на той же струне с длиной волны X 21. [c.497]

Рассмотрим для определенности цепь простых гармонических волн, распространяющихся в положительном направлении, т. е, возьмем нижний знак в формулах (1) и (3). Из сравнения с формулой (7) 228 можно убедиться, что найдется, если положить е = 1 л и отнять от значения кх ) % найдется легко, если положить е = 0. Этим самым доказываются условия, которые мы наложили выше на обе системы стоячих волн так же мы можем написать сразу соответствующие изменения остальных формул предыдущего параграфа. [c.459]

Энергию системы стоячих волн простого гармонического типа легко найти. Если мы вообразим две вертикальные плоскости, параллельные плоскости ху, на расстоянии единицы длины друг от друга, то потенциальная энергия жидкости, заключенной между этими плоскостями, на длине волны будет равна [c.461]

Каждый член представляет такую стоячую волну, которая в конце концов установилась бы благодаря продолжительному действию источника простых гармонических колебаний оба члена относятся к областям соответственно над и под источником. [c.678]

Комплексный потенциал стоячих волн. Для получения стоячих волн мы можем подставить в формулу (5) п. 14.13 соответствующую гармоническую по времени функцию для w. Положив [c.379]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Каждый член последнего ряда представляет собой так называемую стоячую волну. Последняя характеризуется тем, что каждая точка струны совершает гармоническое колебание одинаковой частоты [c.354]

Отдельные члены решения (2.82) представляют собой гармонические колебания, а общее решение складывается из бесчисленного множества собственных колебаний типа стоячих волн. Следовательно, в плоскости х хг появятся места, на которых плотность дислокаций равна нулю и которые разделяют области, где дислокации имеют противоположные вектора Бюргерса. С течением времени знак вектора Бюргерса в области изменится на противоположный. Частота каждого колебания определяется как [c.45]

Методы измерения коэффициента поглощения. Прежде чем говорить о поглощении интенсивных ультразвуковых волн дальше, остановимся кратко на том, каковы особенности измерения этого поглощения в жидкости по сравнению с измерениями поглощения ультразвука малых интенсивностей. Для того чтобы измерить коэффициент поглощения ультразвуковых волн малой амплитуды, в принципе следует в плоской ультразвуковой волне измерить интенсивность ультразвука в двух точках ультразвукового пучка, или сравнить значения амплитуд давления в этих точках. Для этой цели можно использовать приемную кварцевую пластинку той же частоты, что и излучающая это, как мы говорили выше, и делают с применением импульсного метода или метода интерферометра со стоячими волнами (см. стр. 269). Однако в случае ультразвуковых волн большой интенсивности для измерения коэффициента поглощения так поступать нельзя. Действительно, так как волна искажена, то требуется иметь такое приемное устройство (если применять кварцевую пластинку в качестве приемника), которое было бы достаточно широкополосным, т. е. чтобы все гармонические составляющие, присутствующие в искаженной волне, были в одинаковой степени хорошо восприняты приемником ). Ранее, когда большое количество экспериментаторов производили мно- [c.389]

Глава 3. Вынужденные колебания. Главы 1 и 2 начинаются со свободных колебаний гармонического осциллятора и заканчиваются свободными стоячими волнами в замкнутых системах. В главах 3 и 4 мы рассматриваем вынужденные колебания, вначале для замкнутых систем (глава 3), где мы обнаруживаем резонансы , а затем для открытых систем (глава 4), где возникают бегущие волны. В п. 3.2. рассмотрены вынужденные колебания одномерного осциллятора с затуханием как в переходном, так и в установившемся режиме. Затем мы переходим к системам с двумя или большим числом степеней свободы и обнаруживаем у таких систем резонансы, соответствующие каждой моде свободных колебаний. Мы рассматриваем также действие вынуждающей силы на замкнутые системы при частотах, меньших частоты низшей (или больших самой высокой) моды, устанавливаем существование экспоненциальных волн и объясняем действие фильтров. [c.12]

Скорость волн в струне. Уравнение (22) связывает между собой длину волны и частоту для поперечных стоячих волн в непрерывной однородной струне. Постоянная (То/ро) " имеет размерность скорости, поскольку In имеет размерность [длина/время]. Скорость uo=(To/po) 2 носит название фазовой скорости бегущих волн для этой системы. (Мы будем изучать бегущие волны в главе 4.) При изучении стоячих волн мы не нуждаемся в понятии фазовой скорости, так как стоячие волны никуда не бегут . Они стоят и колеблются , как большой размазанный гармонический осциллятор. В этой главе мы не будем называть отношение (То/ро) " скоростью, так как хотим, чтобы читатель привык к представлению о стоячих волнах. [c.64]

Фазовые соотношения. Относительная фаза двух различных движущихся элементов открытой среды, но которой распространяются гармонические бегущие волны, не совпадает с относительной фазой для стоячих волн в замкнутой системе. В случае стоячей волны, которая может быть либо нормальной модой свободных колебаний залп<нутой системы, либо ее вынужденным колебанием, все движущиеся элементы колеблются в фазе друг с другом (с точностью до возможного изменения знака смещения). Иначе обстоит дело для бегущей волны. Если движущийся элемент бесконечной струны Ь находится дальше от внешней силы, чем движущийся элемент а, то он будет совершать то же движение, что и а, но в более поздний момент времени. [c.150]

Заметим, что для фиксированного 2 смещение гр (2, /) является гармонической функцией времени. Аналогично, для фиксированного времени 1 функция о з (г, О представляет собой синусоиду в пространстве. Конечно, оба эти утверждения справедливы и для синусоидальной стоячей волны, уравнение которой имеет, например, следующий вид [c.151]

При изучении мод и стоячих волн мы узнали, что непрерывную среду можно характеризовать двумя параметрами возвращающей силой и инерцией . Для непрерывной струны возвращающая сила определяется натяжением То в равновесном состоянии, а инерция определяется линейной плотностью ро- У передающей линии соответствующими параметрами являются (С/а) т. е. величина, обратная емкости на единицу длины, и Ыа — индуктивность на единицу длины. Для продольных волн в струне параметр, характеризующий возвращающую силу,— это Ка, а параметр, определяющий инерцию, равен УЙ/а=ро. Для звуковых волн такими параметрами соответственно являются уро и объемная плотность ро. Во всех случаях моды стоячих волн ведут себя аналогично простому гармоническому осциллятору. (Для таких систем, как связанные маятники или широкополосный фильтр, нам необходим еще один параметр, а именно граничная частота.) [c.181]

Однако для описания бегущих волн рассмотренные параметры не подходят. Бегущие волны переносят энергию и импульс, и фазовые соотношения для бегущих волн отличны от фазовых соотношений для стоячих волн. Бегущие волны в непрерывной протяженной среде не похожи на большой гармонический осциллятор, и такие характеристики гармонического осциллятора, как возвращающая сила и инерция, не годятся для описания бегущих волн. Величиной, которая может характеризовать среду, где распространяются бегущие волны, является фазовая скорость v . Для поперечных волн в струне фазовая скорость равна [c.181]

Представим себе замкнутую полость объемом V с идеально отражающими стенками, нагретыми до температуры Т, в которой создан вакуум. Внутри полости существует электромагнитное поле. В результате отражений от стенок в полости образуется система бесконечно большого числа стоячих волн различной частоты и разного направления. Каждая такая стоячая волна представляет собой элементарное состояние электромагнитного поля. Теорема о равномерном распределении энергии утверждает, что и в этом случае при равновесии между стенками полости и электромагнитным излучением на каждую стоячую волну должна приходиться средняя энергия, равная 1гТ, где к — постоянная Больцмана. При этом, подобно то.му как средняя энергия гармонического осциллятора складывается из средней кинетической энергии, равной кТ 2, и средней потенциальной энергии, также равной кТ12, в случае электромагнитных стоячих волн полная средняя энергия кТ складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, равных в отдельности кТ 2 каждая. [c.138]

Несколько иначе проявляется неустойчивость формы негармонической волны при интерференции волн. При интерс ренции гармонических волн в пространстве появляются чередующиеся максимумы и минимумы (положение которых зависит от длины волны), но форма волны во всем пространстве остается гармонической (мы в этом убедились непосредственно при рассмотрении простейшего случая интерференции — образования стоячих волн). При интерференции негармонических волн (конечно, форма обеих интерферирующих волн в каждой точке должна быть одна и та же, иначе не будет соблюдено условие когерентности) максимумы и минимумы для составляющих гармонических волн разной длины расположатся в разных местах вследствие этого соотношения между амплитудами составляющих гармонических волн в результирующей волне окажутся различными для разных точек пространства и, вообще говоря, существенно иными, чем в исходной негармонической волне, а значит, исказится форма исход- ной негармонической волны. [c.720]

Длина гармонической волны (длина волны) Х — расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами перемещения точек среды. В [72] дано такое определение длины волны длина волны — пространственный период волны, т. е. расстояние между двумя ближайшими точками гармонической бегущей волны, ршходящимися в одинаковой фазе колебаний, или удвоенное расстояние между двумя ближайшими узлами или пучностями стоячей волны. [c.152]

При использовании стоячих волн возбуждаются свободные или вынужденные колебания либо объекта контроля в целом (интегральные методы), либо его части (локальные методы). Свободные колебания в объекте чаш,е всего возбуждаются путем механического удара, а вынужденные — путем воздействия гармонической силы, частота которой изменяется. Состояние (бездефектность) объекта анализируют по собственной частоте свободных колебаний либо по резонансам вынужденных колебаний. Реже используют амплитуду соответствующих колебаний. [c.203]

Реализация методов 1-й группы сводится к посылке непрерывного гармонического сигнала в исследуемое тело. Если определить изменение фазы колебания на определенном расстоянии, то можно рассчитать скорость упругой волны (фазометрические способы). Изменяя частоту посылаемого в тело непрерывного сигнала, можно добиться образования стоячей волны. При этом по длине тела разместится целое число четвертей длины волны к. Измерив длину тела, находят длину волны, по которой определяют скорость звука с при известной частоте колебаний f = lf. [c.411]

Как было показано раньше, две бегущие в противоположном направлении синусоидальные волны с одинаковой частотой и амплитудой образуют стоячую волну. При отражении синусоидальной волны, бегущей по трубе, от закрытого (или открытого) конца всегда в трубе образуется стоячая волна, если при отражении не происходит потерь энергии. Таким образом, в закрытой с обоих концов трубе или на струне с закрепленными концами возможны гармонические колебания в виде стоячих волн, при которых у закрытого конца трубы имеется узел еолны смещения-, то же наблюдается и у закрепленных концов струны. [c.495]

Пример расчета мгновенных линий тока па основе (4.25) показан на рис. 4.7. Как видно, течение разбивается на отдельные ячейки, размер которых вдоль оси г равен а в перпендикулярной плоскости определяется соотношением (4.24). Гакая картина соответствует гармонической волне, бегушей вдоль оси г с фазовой скоростью с = со//г. Соответственно в системе координат, движушейся вдоль г со скоростью с, имеем стоячую волну. [c.179]

Здесь уместно вспомнить картину смешений в стоячей волне, возбуждаемой в закрепленном на концах натянутом шнуре (рис. 1.10). Такую стоячую волну можно рассматривать как одно из нормальных колебаний (мод) механической системы с распределенными параметрами, т. е. с бесконечным числом степеней свободы. Напомним, что при норма.пьном колебании в системе все ее элементы совершают чисто гармоническое движение с одной и той же характерной для данной моды частотой ы и с определенным соотношением амплитуд. Частоты нормальных мод закрепленного на концах шнура (или струны) образуют дискретный спектр и могут быть найдены из условия, что на длине шнура I укладывается целое число п полуволн / = пХ/2, откуда [c.26]

Полученные формулы полностью решают задачу о колебании струны зная натяжение струны Го, ее линейную плотность ы и длину I, а также начальные условия (2.4), по формуле (2.3) находим параметр а (скорость волны), затем по равенствам (2.27) вычисляем коэффициенты а и после чего закон поперечных колебаний любой точки М струны определится по (2.20) или (2.22). Каждый член ряда (2.22) называется к-й гармоникой или стоячей волной] точки струны А -й гармоники совершают гармонические колебания с одинаковой начальной фазой 8а, одинаковой частотой 0) = пак/1 и амплитудой А тЫкхИ), Основная частота со1 получается при А = 1 [c.213]

Рис. 4.23. Сравнение теории (а) и экспериментальных данных (б) для эволюции во времени суперпозиции состояний, включающей основное и первое возбуждённое состояния гармонического осциллятора. Две соответствующие волновые функции показаны наверху. В эксперименте использовался ансамбль холодных атомов s, движущихся в поле стоячей волны с большой отстройкой. Внизу (г) показана наблюдаемая эволюция во времени когерентного состояния гармонического осциллятора. Взято из работы М. Morinaga et а/., Phys. Rev.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...