Волны с гармонической зависимостью

Рассмотрим, как и в п. 1.2, волны с гармонической зависимостью от времени и горизонтальных координат [c.23]

Будем искать поверхностные волны с гармонической зависимостью [c.155]

Компонента Voy(z) скорости течения не входит в уравнение (8.1) и не сказывается на поле волны с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени, хотя при разных профилях Voy(z) в точку (х, у, z) приходят разные лучи. Однако это не меняет поля, так как звуковое давление на каждом луче системы имеет одно и то же значение. [c.170]

Приближение ВКБ и его физический смысл. Звуковое поле с гармонической зависимостью ехр[/( г - шГ)], i = ( ь 2. 0) от горизонтальных координат и времени удовлетворяет волновому уравнению (1.45). Плотность р, скорости звука с и течения Vq в среде будем считать гладкими функциями Z. Проекцию Vq на направление обозначим u(z). Вьь делим в (1.45) пропорциональный частоте волны множитель кд = j/ q [c.163]

В вопросах акустики гармоническая зависимость от времени имеет аналогичные преимущества для сред, в которых волны удовлетворяют линейным уравнениям (а таковы практически все среды для волн малой амплитуды), синусоидальная зависимость от времени сохраняется при распространении волны, при ее отражении и преломлении, при рассеянии от препятствий и т. п. Волны с другой зависимостью от времени таким свойством не обладают. Так как, кроме того, для линейных уравнений акустики справедлив принцип суперпозиции, то волну с практически любой зависимостью от времени можно представить в виде суперпозиции гармонических волн разных частот. Такое представление позволяет вместо волн с любой зависимостью от времени изучать волны с одной-единственной зависимостью — гармонической, что удобно именно ввиду сохранения этими волнами своей временной зависимости. Такое разложение волн на гармонические составляющие называют, как и в случае колебаний, спектральным разложением Фурье. В зависимости от того, периодична или нет исходная волна, приходим соответственно к ряду или к интегралу Фурье. Обратное преобразование позволяет восстановить исходную волну по ее спектру. [c.66]

Разложение волн с любой зависимостью от времени на гармонические волны разных частот — это пример так называемого спектрального разложения-, представления данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) стандартного набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомогательные функции изучены, то исследование других функций сводится к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и в других волновых науках) в качестве такого стандартного набора удобно пользоваться гармоническими функциями времени, представляя заданную волну в виде интерференционной картины гармонических волн разных частот. Спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей зависимостью от времени в отдельности каждая звуковая волна оказывается представленной в виде суперпозиции гармонических функций, и рассмотрение временной зависимости оказывается упрощенным до предела. [c.72]

Поскольку рассеяние волн малыми препятствиями сильно зависит от соотношения между длиной волны звука и размерами препятствия, будем рассматривать только рассеяние гармонических волн. Частота гармонической волны, рассеянной на неподвижном препятствии, не меняется. Рассеяние волн с произвольной зависимостью от времени можно найти при помощи метода Фурье путем разложения первичной волны на гармонические, нахождения рассеяния каждой гармонической компоненты в отдельности и последующего суммирования рассеянных полей всех частот. Ввиду зависимости рассеяния от длины волны спектр рассеянных волн вообще отличается от спектра первичной волны й, кроме того, может оказаться различным для разных направлений наблюдения. [c.353]

Для волн с произвольной зависимостью от времени закон затухания, вызываемого диссипативными напряжениями, очень сложен по мере распространения волны не только убывает давление, но и меняется форма волны. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только гармонические волны для них закон убывания всегда, как увидим, экспоненциальный, а форма волны не меняе.тся. Влияние поглощения на волны другой формы можно найти методом Фурье, если скорость затухания для гармонических волн разных частот известна, [c.388]

Невозможность формирования гауссовых пучков в резонаторе с плоскими зеркалами отнюдь не означает, что не могут образовываться вообще никакие стационарные пучки. В этом случае стационарные пучки также существуют, по распределение амплитуды по волновому фронту будет описываться для них не гауссовой, а иной функцией. И опыт, и расчеты показывают, что в резонаторах с плоскими зеркалами поле представляет собой стоячую волну с почти плоским волновым фронтом, а зависимость амплитуды от поперечных координат хорошо описывается произведением гармонических [c.804]

Общие формулы. Пусть имеется среда, в которой могут существовать п независимых волн с постоянными распространения к[, /с2,..., кп. Примеры таких сред рассмотрены в главе 5. Продольные волны в стержне согласно теории Бернулли соответствуют случаю п = 1. Для его изгибных и крутильных колебаний п = 2. Для стержней несимметричных профилей п может равняться шести и т. д. Волновое движение такой среды описывается п обобщенными смещениями ui, U2,.. Un, являющимися функциями времени и пространственной координаты х. Ограничиваясь гармоническими процессами, в которых все величины имеют множитель ехр —iat), зависимости между ними удобно записывать в векторной форме. Обозначив через и (х) вектор-столбец, име- [c.169]

По асимметрии дифракционной картины можно не столько определять действительную форму профиля волны или выделить гармонические составляющее акустической волны, сколько измерить степень искажения и ширину фронта волны по положениям дифракционных максимумов с наибольшей освещенностью. Для определения малых нелинейных искажений делались попытки измерения различия освещенностей в положительных и отрицательных спектрах малых порядков [16]. Здесь, однако, возникают трудности, связанные с нелинейной зависимостью интенсивности света в дифракционных спектрах от звукового давления. Подробности использования дифракции света для оиределения малых нелинейных иска- [c.148]

Ко многим типам волн применимо понятие групповой скорости. Приближенно она характеризует распространение возмущений в линейной среде, представляющее собой волну с достаточно медленными отклонениями от монохроматичности, и равна скорости перемещения в пространстве огибающей всех гармонических составляющих волн. Это значит, что понятие групповой скорости имеет смысл только для волн, когда амплитуда настолько плавно изменяется в пространстве и со временем, что можно говорить об определенной огибающей. Эти волны можно представить как суперпозицию нескольких волн близких частот. В зависимости от соотношения между фазами отдельных составляющих в каждой точке пространства наблюдается/ в данный момент времени то или иное значение Рис. VI. 1.4 результирующей амплитуды. В тех [c.325]

Рис. 6. Зависимость скорости гармонической волны с от коэффициента затухания X для модели (8)

В практически встречающихся проблемах, как правило, могут быть сделаны предварительные предположения о зависимости Ех от таким путем достигаются существенные математические упрощения. Так, в большой части важных проблем оказывается возможным представить Ех как суперпозицию гармонических волн с медленно меняющимися волновыми амплитудами [c.95]

Рассмотрим распространение гармонической (зависимость от времени согласно множителю е" ) рэлеевской волны с частотой ш вдоль плоской границы однородного изотропного идеально упругого полупространства с вакуумом. Пусть полупространство занимает область > О (рис. 1.1). Как известно [2], в обш,ем случае уравнение движения изотропной однородной идеально упругой среды записывается в следующей форме [c.6]

До сих пор мы рассматривали главным образом волны и колебания, представляемые гармонической зависимостью от времени вида соз(со/+ф), с определенной частотой со. Исключением были биения, рассмотренные в п. 1.5. Мы нашли, что суперпозиция двух гармонических колебаний с близкими, но не равными частотами приводит к очень интересному явлению биений. В этой главе изучение биений будет продолжено. Мы будем рассматривать биения в пространстве и во времени, причем биения будут результатом сложения многих колебаний с различными частотами. Мы рассмотрим также распространение биений (или модулированных колебаний в случае, когда биения созданы более чем двумя гармоническими колебаниями) в виде бегущих волн и увидим, что модулированные колебания, распространяясь в виде волновых групп или волновых пакетов, переносят энергию и перемещаются с групповой скоростью. [c.247]

Скорость Ср называется фазовой скоростью гармонической волны с частотой ( )р = 2т р. Проанализируем зависимость этой скорости от волнового числа, пользуясь дисперсионным соотношением (4.1). Для этого перепишем его с учетом (4.4) в виде [c.66]

Из нелинейной зависимости = а кр), описываемой формулой (4.14), следует, что фазовая скорость гармонической волны с р=(йр1 кр зависит от к р (или от ) [c.67]

В настоящей главе подробно рассмотрим гармонические волны разных типов. В теории колебаний гармоническая зависимость от времени играет важную роль. В частности, это связано с тем, что гармоническая зависимость сохраняется при прохождении колебаний через линейные колебательные системы с постоянными параметрами— резонаторы, фильтры и т. п. эти системы дают гармонический отклик на гармоническое воздействие. Так как в линейных системах принцип суперпозиции, справедлив, то в них оказывается удобным рассматривать колебания с любой зависимостью от времени при помощи разложения Фурье, т. е. представлять их в виде суперпозиции колебаний с одним-единственным, гармоническим видом зависимости от времени. [c.66]

Доказанная теорема имеет важнейшее значение она придает физический смысл разложению Фурье по времени. Эта математическая операция имеет смысл замены волны с произвольной временной зависимостью суперпозицией волн со стандартной зависимостью от времени — гармонической зависимостью, [c.71]

Следует отметить, далее, что при помощи данного метода получается групповая скорость Сгр., а не фазовая скорость с. В противоположность бесконечной монохроматической волне отдельный ультразвуковой импульс конечной длительности можно представлять себе как сумму многих бесконечных гармонических волн с такими амплитудами и фазами, что их наложение друг на друга дает нуль всюду вне импульса. В средах, обладающих дисперсией скорости звука (т. е. зависимостью фазовой скорости звука от частоты), скорости составляющих волн будут различны поэтому при большой длине пробега форма импульса будет изменяться. Это делает импульсный метод особенно удобным для изучения дисперсии звука в жидкостях ). [c.217]

В настоящем параграфе будем рассматривать волны с гармонической зависимостью от времени и горизонтальных координат p(z, , со) X X ехр[/( г - соГ)]. Аргументы функции р, а там, где это не может привести к недоразумениям, и жспоненциальный фазовый множитель будем опускать. Поглощение энергии волн в среде учитывать пока не будем. Влияние диссипации на звуковые поля будет рассмотрено в 7. Этот параграф мы начнем с обобщения понятия плоской волны. [c.25]

Для волн с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени в общем случае слоистой qKAbi величина Z является функщ1ей Z, со и Используя понятие импеданса, граничные условия (I.2I) можно представить в эквивалентном виде [c.29]

В дв1гжущейся слоистой феде с кусочно-непрерывными параметрами звуковое давление в волне с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени подчиняется уравнению (1.45) [c.41]

Трудно переоценить значение геометрической акустики, или лучевого метода, в исследовании звуковых полей в неоднородных средах. Отвлекаясь от природы рассматриваемых волн, этот подход часто называют также геометро-оптическим приближением. Благодаря своей простоте и наглядности он широко применяется в прикладных исследованиях. Даже за пределами своей применимости геометрическая акустика в большинстве случаев позволяет качественно представить структуру поля и имеет большую эвристическую ценность. В этом параграфе мы будем рассматривать волны с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени. В областях, где среда однородна, поле вырождается в одну или две (встречные) плоские волны. Х1ля этого круга задач лучевой подход совпадает с прибашжением ВКБ. Аналогичные вопросы в случае точечного источника звука рассматриваются в гл. 4. [c.163]

Усиление звука в неоднородном потоке. При падении плоской волны на плавно-слоистую среду со стратифищ1рованным течением коэффициент отражения по модулю может превышать единицу. Рассмотрим этот эффект сначала в модельном случае, допускающем точное решение задачи. Пусть скорость звука и плотность во всей среде постоянны, а скорость течения меняется с глубиной линейно vq = аг. О, 0), а > 0. Предполагается, что при z = + °° задана падающая волна с гармонической зависимостью ехр [/( г - 01. i = (- , 0. 0) от горизонтальных координат и времени. Величина (z) = i f vq/w = 1 - z/z ., где z . - -ojj a - горизонт, на котором скорость следа волны ск/ равна скорости течения. Последняя при к > больше скорости звука. Вертикальная компонента волнового вектора обращается в нуль в точках z, 2 = (1 /к) (рис. 9.2). [c.186]

Между тем, оказывается эффективной прямая численная оценка волна-вого поля по его интегральному представлению. Существенна также гибкость численных методов — их способность единообразно трактовать целые классы задач. Так, при расчете р численным интегрированием разложения поля по волнам с гармонической зависимостью от горизонтальных координат (в однородной среде - по плоским волнам) не представляет сложности учет произвольной направленности источника или приемника, наличия набора слоев между полупространствами и Тл, Весьма сходные методы применяются при вычислении поля точечного источника, расположенного над границей раздела сред, в волноводе или антиволноводе (6, 99, 187, 188, 356, 426, 450, 502], Разложение поля сосредоточенного источника в упругой среде на гармонические волны с последующим численным интегрированием стало основным методом, используемым в современной сейсмологии (см например, (5, 356, 368, 417, 440, 502] (4, гл. 9] и другие), [c.269]

Этот метод с успехом используется также для асимптотического решения обыкновенных дифференциальных уравнений [420, 443]. Рассмотрим в качестве примера звуковое поле волны с гармонической зависимостью exp(if oiJt) от горизонтальных координат в окрестности точки поворота в слоистой среде. Эта задача с других позиций рассматривалась в п. 9.2. Решение будем искать в виде (17.20). Заметим только, что, если отказаться от требования ограниченностир во всем пространстве, функцию и в (17.20) можно заменить на обшее решение уравнения Эйри a v + а и (см. п. 3.5). Эта замена не сказьшается на справедливости соотношений (17.25)- [c.373]

На границах сред с диссипацией, как показывает анализ формул 4, модуль коэффициента отражения V может быть больше единицы. Реальность этого явления до сих пор оспаривается некоторыми авторами, ошибочно видящими здесь противоречие с законом сохранения энергии (о дискуссии такого рода см., например, работу [287], где обоснована возможность того, что I КI > 1 для звуковой волны, падающей из поглощающей жидкости на границу идеально упругого твердого тела). В жидкости отражение звука с I КI > 1 не нарушает закон сохранения энергии благодаря неаддитивности потоков энергии в отраженной и падающей волнах. Действительно, пользуясь формулой (2.11), легко убедиться, что в звуковом поле с гармонической зависимостью ехр[/( лг - со )] от горизонтальных координат и времени при вещественных со и вертикальная компонента 2 вектора плотности потока мощности равна разности значений 4 в падающей и отраженной волнах и, следовательно, пропорциональна величине 1 - I К р только при вещественном, т.е. в непоглощающей среде. [c.146]

Весьма полное исследование звукового поля с гармонической зависимостью от горизонтальных координат и времени удается провести в среде, параметры которой являются гладкими функциями координаты z и мало изменяются на расстояниях порядка длины волны. В этом случае эффективны асимптотические методы приближение ВКБ и обобщающий его метод эталонного уравнения, излагаемые в 8 и 9. В 10 результаты распространены на среды, сочетающие плавные и скачкообразные изменения параметров. Для понимания материала этой и последующих глав достаточно элементарных представлений об асимптотических оценках и асимптотических разложениях. Ясное изложение этих вопросов можно найти, например, в книгах [232. гл. 7). (145) и др. Напомним три определения. Последовательность функций (w). S = О, 1, 2.....называется асимтотической при w а, если для любого s [c.162]

С каустикой рассматриваемого вида мы уже встречались в п. 9.2, где объектом исследования было звуковое поле с гармонической зависимостью от горизонтальных координат. Для такой волны лучи параллельны, поскольку характеризуются одним и тем же значением [c.368]

Экспериментальные результаты Баумана и Пола [16] побудили Крумхансла и Метью [135] исследовать условия, при которых могут возникать компенсирующие вклады в рассеяние вследствие изменений массы и константы связи. Чтобы можно было получить точные результаты, они исследовали случай линейной цепочки, в которой одна частица массы М была заменена на частицу массы М - - АМ. Силы взаимодействия этой частицы с двумя соседними — гармонические с константой связи + Л . Крумхансл и Метыо нашли, что коэффициент отражения в пределе больших длин волн имеет рэлеевскую зависимость от частоты (со для одномерного случая) и его величина пропорциональна [c.113]

Применеше аналитических методов при решении практических задач определения динамических коэффициентов интенсивности напряжений в элементах конструкций и сооружений сопряжено со значительными, зачастую непреодолимыми трудностями, а непосредственный перенос аналитических результатов решения модельных задач для бесконечных тел с трещинами на тела конечных размеров не всегда возможен. Так, в случае ударного нагружения образца с трещиной зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени совпадает с найденной из аналитического решения для плоскости с трещиной только до момента начала взаимодействия отраженных от границ волн с вершиной трещины. В случае же гармонических колебаний соответс- [c.50]

Сходимость получающихся рядов (8.41) и (8.43) при достаточно больших значениях частоты со 1 - доказывается в книге [265, гл. 3]. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости рядов получено в [288]. При падении на среду плоского бюбразного импульса (а не гармонической волны, как предполагалось выше) достаточным условием абсолютной сходимости рядов рассматриваемого вида, т.е. рядов по кратности отражения, является существование и ограниченность производной дМ/д [377]. В рассматриваемом нами случае движущейся жидкости со стратификацией скорости звука и плотности это условие будет выполняться, если только ограничены производные с (г), р (г), о г). Лучшую сходимость рядов в случае падения кЪроткого импульса можно объяснить тем, что в каждый конечный момент времени в формирование отраженного поля вносит вклад только ограниченная часть неоднородной среды. Применимость лучевого рассмотрения отражения б-им-пульса для произвольной среды с гладкой зависимостью параметров от 2 следует также и из того, что характерное значение со для такого импульса равно бесконечности в любом конечном интервале частот заключена бесконечно малая доля его энергии. [c.173]

ОТ частоты, определяющей соотно-шенпе между размерами излучателя и длиной волны излучаемого им звука. В связи с этим целесообразно рассматривать излучение гармонических волн и изучать зависимость излучения от частоты. [c.146]

Планк, стремясь разрешить проблему, впервые получил эмпирическое уравнение кривой зависимости энергии от длины волны, а затем попытался разработать механизм излучения, который соответствовал бы эмпирическому уравнению. Он смог показать, что система из гармонических осцилляторов с прерывным излуче-ниеи энергии позволяет объяснить форму кривой. Однако мысль, что излучение энергии происходит порциями (квантами), не согласовывалась с классической теорией, поэтому квантовая гипотеза была принята неохотно. [c.71]

Рмс. 56.1. Плоскость с круго-С учетом симметрии напряжен- вым включением и трещиной ного состояния относительно оси X по границе включения, и гармонической временной зависимости поле возмущенной волны, удовлетворяющее уравнению [c.455]

Модулированные нелинейные волны. В средах с малой нелинейностью и сильной дисперсией стационарные В. близки к синусоидальным. Если в такой среде распространяется модулир. В., то несущее поло в ней остаётся близким к гармоническому, но его огибающие — амплитуда и частота — медленно меняются во времени и пространстве, и основной нелинейный эффект состоит именно в том, что на достаточно больших интервалах времени и пространства огибающие испытывают накапливающиеся нелинейные деформации, определяемые зависимостью скорости распространения В, как от частоты ы, так и от амплитуды А или интенсивности Б. I- А (в простейшем случае нелинейная добавка к скорости /). Такая В. имеет вид где А — медленно меняющаяся комплексная амплитуда, описываемая Шрёдингера уравнением нелинейным, обобщающим ур-ние (20) ял, . . о А i d>[c.325]

Фиг. 4.1. Зависимость частоты со от волнового вектора д при колебаниях линейной цепочки одинаковых атомов, находящихся в положениях равновесия на расстоянии а друг от друга. Массы атомов М гармонические силы, характеризующиеся константой С, действуют только между б.чнжайшими соседями. На фигуре указаны волв9" вые числа, соответствующие двум волнам, представленным на фиг. 4.2. Пунктирной линией показана зависимость ш (с) для упругой среды е по-стоянкой скоростью распространения волн.

Для большинства веществ величины /г и х заметно зависят от длины волны излучения На основании известной модели зату- хающего гармонического осциллятора была получена дисперсионная формула, устанавливающая зависимость оптических констант л и и от круговой частоты излучения со = 2яс/Я = 2 v и круговой частоты сод собственных колебаний упругосвязанного электрона. Величины д и я взаимно связаны друг с другом. Их соотношение устанавливается известной формулой Крамерса—Кронига [c.46]

В выражении (5.3) для характеристики направленности окружных смещений, связанных с волной сдвига, содержатся модули некоторых величин. Сами эти величины в зависимости от угла 9 могут быть как вещественными, так и комплексными. В выражении для и% напротив, все величины вещественны для любых 9. Такое чисто формальное различие интересно и с точки зрения физики. Оно свидетельствует о различии в поведении смещений в продольных и сдвиговых волнах. Вещественность всех величин в означает, что на поверхности R = onst при распространении гармонической волны от источника максимальное радиальное смещение достигается в один и тот же для всех точек момент времени. Напротив, в сдвиговой волне максимальное значение окружного смещения достигается в разных точках поверхности в разное время. [c.100]

Если нагрузка представляет собой движущуюся гармоническую силу (т.е. М = К = Щ, то условие резонанса выполняется при движении нагрузки со скоростью V= и совпадает с условием излучения. Зависимость прогибов струны прих = Vt от QnV показана на рис. 2.13 (где Aq=Qq/2p Y). Значение следует понимать как критическое, при котором прогибы струны неограничены. При 0 = 0 оно совпадает с ранее определяемой критической скоростью движения нагрузки, равной наименьшей фазовой скорости распространения волн. При неподвижной внешней силе (V=0) резонанс наступает при совпадении частоты вьшуждающей силы с наинизшей частотой у. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...