Суперпозиция гармонических функций

Если бы искомое поле е(х) являлось гауссовым, то по R r можно было бы определить все функции высших порядков и оставалось бы лишь построить суперпозицию гармонических функций с независимыми фазами. К сожалению, поскольку Ог е(х), это поле нельзя считать гауссовым, за исключением случая малых возмущений, допускающего аналитические решения. В задачах, представляющих интерес для численного решения, поле е(х) нельзя считать гауссовым, и трехточечный момент (равный нулю для гауссового поля) играет центральную роль в нашем исследовании. [c.258]

Построение случайного поля с заданной функцией еще сложнее, поскольку здесь в нашем распоряжении нет такого простого метода, как суперпозиция гармонических функций с определенными амплитудами. Нам не известен ни один способ аналитического построения случайного поля с заранее заданной функцией / 3g, кроме трудоемких попыток построить гармоническое поле, которое соответствует фурье-преобразова-нию функции Фурье-преобразование функции R задается выражением [c.258]

Мы видим, что, поскольку Фзе(к,, kj) зависит от к, и kg, воспроизвести эту функцию с помощью суперпозиции гармонических функций очень сложно. Для (п > 3) эта задача еще труднее. [c.258]

П.З. Суперпозиция гармонических функций [c.510]

Разложение волн с любой зависимостью от времени на гармонические волны разных частот — это пример так называемого спектрального разложения-, представления данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) стандартного набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомогательные функции изучены, то исследование других функций сводится к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и в других волновых науках) в качестве такого стандартного набора удобно пользоваться гармоническими функциями времени, представляя заданную волну в виде интерференционной картины гармонических волн разных частот. Спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей зависимостью от времени в отдельности каждая звуковая волна оказывается представленной в виде суперпозиции гармонических функций, и рассмотрение временной зависимости оказывается упрощенным до предела. [c.72]

Таким образом, представления об интерференции немонохроматических пучков и об интерференции пучков в виде волновых цугов приводят к идентичным выводам о распределении интенсивности в интерференционной картине. Приведенные выше соображения о разложении волновых цугов на монохроматические колебания нашли свое количественное выражение в том, что функции с (т), s (т) оказываются суперпозицией гармонических составляющих с амплитудами, пропорциональными спектральной плотности интенсивности колебаний. [c.100]

Для линейной колебательной системы справедлив принцип суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями, пояснив их на конкретных примерах. [c.616]

Задаваясь различными гармоническими функциями фь, входящими в представление (4.40), можно получать различные частные решения граничных задач. Имея частные решения, с помощью суперпозиций получаем новые решения. [c.337]

В случае нормального падения (д = 0) эта формула вырождается в выражение для силы волнового давления в струне. Отметим, что приведенное здесь решение для бесконечной мембраны полностью переносится на случай мембраны, представляющей собой полосу конечной ширины Z. В этом случае при любом закреплении краев мембраны собственные функции будут гармоническими по координате у и решение для волновых полей в мембране будет представлять собой суперпозицию гармонических волн вида (5.40), (5.41) с различными СО. При этом решения (5.42) и (5.44) и вытекающие из них свойства останутся справедливыми. [c.203]

Рассмотрим теперь квантовую частицу (рис. 166). Энергия такой частицы квантуется. Например, в гармоническом потенциале энергия уровня с номером п равна е = Йо)о(1/2 + и), где соо — частота осциллятора. Начальное состояние частицы не обязательно должно соответствовать только одному уровню. Например, в случае гармонического осциллятора можно строить так называемые когерентные состояния из суперпозиции волновых функций разных уровней. Но и в более сложном случае ангармонического осциллятора можно выбрать в качестве начальной волновой функции любую суперпозицию собственных функций. Однако специфика выбора довольно быстро проявится в дальнейшей эволюции. [c.186]

Интеграл Фурье. Выражение (61) является примером непрерывной суперпозиции гармонических колебаний. Его называют также интегралом Фурье. Оказывается, что любая ( разумная ) непериодическая функция г з( ) может быть представлена (в общем случае) интегралом Фурье [c.266]

В волновых явлениях встречаются суперпозиции N гармонических функций [c.510]

Плоские волны, описываемые произвольными функциями Ц1(т) и и2(т)), часто удобно рассматривать как суперпозицию гармонических волн. Для этого необходимо, чтобы функции и 2 можно было представить в виде интегралов Фурье [c.16]

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагаемых на временную зависимость волны р (t, г), которые будем читать выполненными, можно представить волну в виду суперпозиции гармонических волн различных частот путем разложения по Фурье функции р. Эти условия таковы если функция периодична по времени, то она разлагается в ряд Фурье если функция не периодична, но достаточно быстро убывает при —оо и/—>-f оо (например, является ограниченным по времени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спадание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплексным представлением волн. [c.70]

Спектральная плотность характеризует распределение энергии случайной функции, рассматриваемой в виде бесконечной суперпозиции гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами по частотам. [c.165]

Отсюда сразу следует, что функции qj(t) для всех /, вообще говоря, получаются суперпозицией п гармонических колебаний с собственными частотами (o . [c.239]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Таким образом, вещественный процесс вида (5.1) является суперпозицией некоррелированных между собой гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами. Корреляционная функция процесса (5.5) равна [c.209]

Фактические свойства технических резин нелинейны, и соотношения (3.3.1) имеют только качественный характер даже для малых деформаций. Вместе с тем принцип температурно-временной суперпозиции оказывается справедливым как при малых, так и при больших деформациях. Справедливость этого принципа и применимость метода приведенных переменных является следствием эмпирического соотношения (3.2.2), которое может быть представлено для гармонического режима в виде произведения двух функций [c.157]

Как фазовая, так и групповая скорости, вообще говоря, являются функциями волнового числа. Легко показать, что если (ц к)ф О, то Vg отличается от Vp и зависит от k таким образом, что волны различной длины распространяются с различными групповыми скоростями. Рассмотрим возмущение, возникающее вблизи х = О в момент времени t = О и представляющее суперпозицию ряда гармонических волн различной длины. Так как компоненты возмущения с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями, через некоторое время начальное возмущение растянется на некоторый интервал, который будет расти со временем. В этом случае мы говорим, что волна диспергирует. Очевидно, что волновое число меняется вдоль цуга вол -1 медленно. [c.16]

Чтобы понять, как распространяется сигнал, рассмотрим бегущую волну, которая образуется передатчиком, расположенным в точке 2=0. Смещение на выходе передатчика не будет больше иметь простую гармоническую форму D t)=A os at, а определяется более сложной временной зависимостью D(t)=f f). Оказывается, что широкий класс функций f t) может быть представлен линейной суперпозицией функций вида А (со) os [(oi+ф ( )], где амплитуда А (со) и фаза ф (со) зависят от частоты. Несколько позже мы увидим, как определить А (со) и ф(со) с помощью фурье-анализа. Сперва рассмотрим простой случай, когда смещение f f) представляет собой сумму всего лишь двух колебаний. Мы получим при этом ряд интересных результатов, которые в конце концов позволят понять, как происходит распространение волновой группы или импульса в диспергирующей среде (т. е. в среде, где фазовая скорость зависит от длины волны). [c.248]

Соотношение (41) является частным случаем общего и очень важного соотношения между продолжительностью Д импульса ф (О и полосой в частотном спектре гармонических компонент, суперпозиция которых образует импульс. Оно имеет необычайно широкое применение во всех областях физики, независимо от того, будет ли явление, протекающее в виде импульса, функцией времени или какой-либо другой переменной. Соотношение (41) не зависит от деталей формы импульса "ф(/). Важно лишь, чтобы функция г 5( ) действительно представляла собой импульс, т. е. была отлична от нуля в течение конечного интервала длительностью [c.260]

Докажите равенство (34) из п. 7.2. Оно служит основой представления волн в волноводе как суперпозиции наклонных бегущих волн . Равенство показывает также, что трехмерные бегущие гармонические волны образуют полный набор функций для описания трехмерных волн. Конечно, трехмерные стоячие волны также образуют полный набор . [c.342]

Ортонормированные волновые функции. Волновые функции г] и представляют полный набор ортогональных и нормированных (сокращенно ортонормированных) волновых функций. Прилагательное полный означает, что любая гармоническая бегущая волна может быть представлена суперпозицией функций и с соответствующими постоянными комплексными коэффициентами и А - Прилагательное ортонормированный означает, что имеют место равенства = (26) где звездочка соответствует комплексно-сопряженному выражению (т. е. выражению, в котором I заменено на —г)- Проверим равенства (26) [c.361]

При заданном положении детектора (точка поля Р) временная зависимость полной волновой функции определяется суперпозицией двух гармонических колебаний, имеющих одинаковые частоты и амплитуды, но различные фазовые постоянные. Две фазовые постоянные (в данной точке поля Р) зависят от фазовых постоянных двух колеблющихся источников и от числа длин волн между каждым источником и точкой поля. Если расстояние от точки Р поля до источников одинаково или отличается на целое число длин волн и если источники колеблются в фазе, то точка Р соответствует интерференционному максимуму. Амплитуда гармонического колебания в этой точке в два раза больше амплитуды колебаний каждого из источников. (Если источники колеблются со сдвигом по фазе н 180°, то точка Р соответствует интерференционному минимуму и амплитуда колебаний в ней равна нулю.) Если расстояние от точки Р до одного источника больше расстояния от точки Р до другого источника на /2 к (плюс любое целое число длин волн) и если источ ники колеблются в фазе, то точке Р соответствует интерференции [c.407]

Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция Е (t) не периодична, а представляется суперпозицией монохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду т (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий. [c.213]

Примеры, приведенные в этой главе, уже дают некоторое представление о том, как один и тот же математический аппарат (тригонометрические формулы, векторные диаграммы) может быть с успехом применен к задачам о суперпозиции колебаний самой различной физической природы. В следующей главе мы познакомимся с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора, которое описывает колебания множества физически совершенно разнородных систем в главе V —с волновым дифференциальным уравнением, одинаково применимым к акустическим и электромагнитным волнам в главе XI—с понятием спектра функции и со спектральным разложением, частным случаем которого является ряд (2.16) и которое также служит одним из наиболее универсальных и сильных математических средств теории колебаний н волн. [c.54]

Но поле гармонической волны зависит вообще от трех координат, и при одной и той же частоте зависимость от координат может быть самой разной. Возникает вопрос о возможности дальнейшего упрощения изучения волн возможности представления произвольных гармонических по времени функций от координат также в виде суперпозиции некоторого набора гармонических волн (конечно, той же частоты), стандартно зависящих от координат, — вопрос о пространственном спектре гармонической волны. [c.72]

Пусть граница тела расположена вдоль плоскости z = О, т. е. тело представляе г собой пространство с плоскими щелями вдоль одной плоскости или полупространство. Если на границе заданы произвольные нормальные и касательные нагрузки, то эту общую задачу теории употгости можно свести к суперпозиции трех отдельных задач Дирихле для гармонических функций, применяя специальные представления через одну функцию. [c.548]

Любая разумная функция /(О может быть представлена суперпозицией гармонических колебаний. Если/( ) не периодическая функция в()емени, то суперпозиция непрерывна (по частоте) и выражается через интеграл Фурье [c.281]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Главной темой книги является асимптотология. Мы рассматриваем волновые функции квантовой системы в асимптотическом пределе больших квантовых чисел. В качестве первого примера такого асимптотического подхода рассмотрим волновую функцию гармонического осциллятора, отвечающую данной энергии, в пределе ш >> 1. Покажем, что волновая функция в данной точке пространства представляет когерентную суперпозицию волн, распространяющихся направо и налево с фиксированной разностью фаз. В фазовом пространстве эти величины имеют простой геометрический смысл. Следует подчеркнуть, что указанное свойство присуще не только волновой функции гармонического осциллятора, но может быть распространено на волновые функции, отвечающие любому произвольному потенциалу (см. обсуждение в гл. 5). [c.124]

Рис. 4.23. Сравнение теории (а) и экспериментальных данных (б) для эволюции во времени суперпозиции состояний, включающей основное и первое возбуждённое состояния гармонического осциллятора. Две соответствующие волновые функции показаны наверху. В эксперименте использовался ансамбль холодных атомов s, движущихся в поле стоячей волны с большой отстройкой. Внизу (г) показана наблюдаемая эволюция во времени когерентного состояния гармонического осциллятора. Взято из работы М. Morinaga et а/., Phys. Rev.

Ранее мы уже встретились со многими различными квантовыми состояниями механического гармонического осциллятора и обсудили их свойства. Чрезвычайно полезными, в частности, оказывается состояние п) с заданной энергией. Кроме того, мы изучили когерентные и сжатые состояния. Теперь эти состояния появятся вновь, уже применительно к полю излучения. Поэтому в данной главе мы возвращаемся к обсуждению их свойств. Особое внимание обращается на когерентные состояния, поскольку они позволят нам разработать общий формализм функций распределения в фазовом пространстве. Помимо этого мы рассмотрим неклассические свойства состояния шрёдингеровской кошки, которые обусловлены квантово-механическим принципом суперпозиции. [c.330]

В каждый данный момент состояние осциллятора представляется суперпозицией многих возбужденных уровней. Существенно также, что при индуцированных переходах получаются определенные фазовые соотношения между последовательными уровнями, состояние системы нельзя задать одними вероятностями разных уровней. Это и естественно в классической картине электрон локализован. Очевидно, что для описания локализованного электрона нужно взять суперпозицию некоторого числа собственных функций (притом тем большего числа, чем точнее локализация) и обязательно в определенных фазовых соотношениях. Является ли эта ситуация только логически-математическим курьезом, относящимся к идеализированному случаю строго гармонического осциллятора Каков критерий применения привычных представлений о дискретных кваето-вых скачках Сами дискретные уровни можно рассматривать постольку, поскольку ширина уровня Г , связанная со спонтанным излучением, [c.112]

Схема нахождения поля в полупространстве в виде суперпозиции плоских волн такова. Пусть задано гармоническое поле на плоскости (давление или нормальная скорость) как некоторая функция двух координат. Разложим заданное распределение. давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) по Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (опускаем амплитуду) ехр (—mt + + щу), т. е. будут представлять собой двухмерные плоские волны одной и той же частоты, бегущие по плоскости Z = О с разными скоростями. Если удастся к каждой такой двухмерной волне пристроить уходящую от плоскости трехмерную волну (на это можно надеяться потому, что каждая трехмерная волна создает на плоскости двухмерную волну как свой след), то суперпозиция всех найденных уходящих волн 5удет иметь на плоскости заданное распределение давлений (или. Нормальных скоростей) и явится, в силу теоремы единственности, искомым разложением поля в полупространстве на плоские волны. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...