Примеры 342—344 — Уравнения равновесия и их решение

Пространственные системы сил, приложенные к твердому телу, обычно включают в себя большое количество сил, и для определения неизвестных величин обычно приходится составлять много (до шести) уравнений равновесия. Поэтому при решении задач удобно пользоваться таблицей, как это сделано при решении следующего примера. [c.102]

Выяснив, какие силы действуют на дверь, напишем уравнения равновесия этой системы сил (42) или (43). В данном примере мы воспользуемся формулой (43), для чего составим таблицу, в которую впишем проекции сил и координаты точек приложения сил. Для облегчения этой части решения задачи полезно составить чертеж (рис. 69, в) проекций системы сил на плоскость ху. [c.103]

Методику решения задач при помощи трех уравнений равновесия покажем на примерах. [c.59]

Все активные силы — это силы тяжести, и они направлены а следовательно, опорные реакции и Ял направлены вверх. В данном примере мы имеем систему параллельных сил, т. е. частный случай сил, произвольно расположенных на плоскости. Для решения задачи достаточно составить два уравнения равновесия 2К,-=0 и 2т(Р,)=0. Проводим оси координат и, выбрав центром момента точку А, составляем уравнения равновесия [c.62]

Для решения статически неопределимых задач помимо применения метода сечений и, следовательно, использования уравнений равновесия, известных из статики, приходится составлять дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении условий и характера деформации системы. Эти уравнения называют уравнениями перемещений. Их количество зависит от того, насколько число неизвестных усилий больше числа независимых уравнений статики или, как говорят, от степени статической неопределимости системы. Здесь ограничимся рассмотрением систем, в которых число неизвестных лишь на единицу больше числа уравнений статики (один раз статически неопределимые системы). Методику их расчета рассмотрим на примерах, [c.208]

Решение только что рассмотренного примера можно было бы интерпретировать иначе, а именно, как решение задачи о равновесии тела под действием сил G, F, N и дополнительной силы, определяемой вектором —mw, где ни — ускорение спускающегося тела. Действительно, уравнения равновесия тела в проекциях на оси Ох и Оу при этом имели бы вид [c.21]

Рассмотрим пример численного решения уравнения равновесия стержня, находящегося в жестком криволинейном канале и нагруженного крутящими моментами, приложенными к торцовым сечениям. [c.226]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

В руководствах по решению задач, в примерах решения задач в учебниках уравнения равновесия всегда записываются отдельно от условий равновесия в виде [c.52]

В предлагаемом курсе основное место отведено математической постановке задач, анализу дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению, общим и частным методам их интегрирования. Некоторые конкретные задачи, имеющие принципиальное значение, проиллюстрированы числовыми примерами. [c.4]

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9. [c.249]

Решение данного примера показывает, что использование только уравнений изгиба (2.11) создает определенные неудобства при определении нормальных сил и составлении уравнений равновесия узлов. Поэтому при расчете плоских стержневых систем предпочтительней пользоваться уравнением (2.11), дополненным уравнением нормальных сил из (2.4). Учет нормальных сил увеличивает порядок матричного уравнения (2.11) на единицу, но упрощает дальнейший расчет. В этом усматривается выигрыш данного подхода, так как число арифметических операций не является критерием при оценке метода [93, 277], более существенным является упрощение логики. [c.75]

Данный пример показывает, что уравнение МГЭ (2.33) может быть использовано как эталонное решение задачи плоского деформирования жесткого кругового стержня. Практическое применение оно может найти и в расчетах стержневых систем, имеющих криволинейные стержни. Особенности расчета таких систем будут заключаться в составлении уравнений равновесия и совместности перемещений узлов, где сходятся криволинейные и прямолинейные стержни. Уравнения связи граничных параметров будут иметь более сложный вид, чем такие же уравнения прямолинейных стержней. [c.98]

Иногда такой путь не является самым простым и коротким. На примере второго способа решения мы видим, что при учете особенности данной задачи (в задаче не требуется определить реакции гладкого поля удалось составить меньшее число уравнений равновесия, которые проще и скорее привели к цели. [c.121]

Отсюда видно, что использование полного функционала Эпз(е, it) можно рассматривать как инструмент для получения общего решения уравнений равновесия, более универсальный, чем статико-геомет-рическая аналогия. Преобразование функционала Лагранжа Элз (е, ц) в Э з(е, ц, t )) привело к преобразованию условий стационарности Элэ (уравнений равновесия в деформациях) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример показывает, какое богатство возможностей заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях. [c.121]

Уравнения (17.97) содержат минимальное число членов, необходимое для описания влияния поперечной деформации сдвига, поперечной нормальной деформации и искажения поперечного сечения. Для вывода уравнений равновесия используется принцип минимума потенциальной энергии. Для примера с помощью этих уравнений была решена задача и решение было сопоставлено с точным решением по трехмерной теории. Ло и др. [38] обобщили эту теорию и на случай толстых слоистых пластин. [c.422]

Показано, что нелинейные эффекты деформации слоя и слоистых конструкций, наблюдаемые уже при малых деформациях, объясняются деформационной анизотропией резины и проявляются Через уравнения равновесия. Рассмотрены некоторые частные задачи — плоская и осесимметричная деформация, в том числе кручение слоя. Даны примеры решения краевых задач. [c.29]

В качестве примера построения зависимости прогиб — нагрузка рассмотрим неупругое поведение кольца под действием двух радиальных сил [18]. Решение системы уравнений равновесия кольца при процедуре метода переменных параметров упругости осуществлялось методом конечных разностей для [c.226]

Здесь в силу непрерывности углов поворота их значения на последних двух участках даны только на концах. Отметим также, что аналогично задачам на растяжение-сжатие уравнение равновесия, построенное в начале решения, можно было и не составлять (см. пример 1.5). Однако его удобно использовать для проверки правильности найденных усилий. [c.110]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Имея уже опыт решения ферменной конструкции (см. пример 4.2), составим сначала уравнения равновесия узла А, вырезанного из фермы и показанного на рис. 4.21 [c.85]

Обобщим теперь результаты решения рассмотренных в примерах 4.1, 4.2, 4.5 и 4.6 статически определимых систем. Несмотря на различную форму и сложность их уравнений равновесия, все эти уравнения имеют общие свойства [c.93]

Заметим, что первые два свойства характерны и для уравнений равновесия статически неопределимых систем, но третьим свойством они не обладают. Как мы увидим из решения следующих примеров, именно это обстоятельство не позволяет распространить сделанные только что для статически определимых систем выводы на статически неопределимые системы. [c.93]

В отличие от уравнений равновесия (4.5.1), построенных при решении в примере 4.3 для нагружения фермы силой Р, эти уравнения однородны. Но так же, как и в примере 4.3, в этих двух уравнениях содержится три неизвестных усилия TVi, N2 ЛГ3, что является следствием статической неопределимости системы. Для составления уравнения совместности деформаций рассмотрим деформированное состояние фермы, которое показано на рис. 4.34 штриховыми линиями. Из ААА В точно так [c.96]

В качестве простейшей задачи, где приходится иметь дело с исследованием устойчивости равновесия рассмотрим случай, представленный на рис. 38, и на этом примере рассмотрим различные методы решения вопросов устойчивости. Применяя первый метод (см, стр, 258) для определения критического значения нагрузки Р, мы должны взять в плоскости наименьшей жесткости слегка искривленную форму, указанную на рисунке пунктиром, составить для этой формы дифференциальное уравнение равновесия и из него найти то наименьшее значение Р, при котором искривленная форма возможна. Это значение Р и будет искомой критической нагрузкой для рассматриваемого случая. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, получаем для искривленной оси стержня уравнение [c.262]

Для того чтобы найти решение уравнений равновесия в явном виде и тем самым закончить рассмотрение предыдущего примера, используем те же самые значения для нагрузок, что и в примере для метода податливостей, а именно [c.476]

В настоящей работе описан численный метод решения задач плоского пластического течения с кинематическими граничными условиями. Напряжения исключаются из уравнений равновесия с помощью ассоциированного закона течения. В результате этого расчет пластического течения сводится к решению системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений для функции тока и вихря. Применение метода иллюстрируется на примере решения задач прессо ания и прошивки прямоугольным гладким пуансоном. [c.54]

Для решения задач силового расчета структурных групп на ЭВМ составляют алгоритмы, реализуемые через операторные функции. Структура алгоритмов расчета групп всех видов одинакова, так как она основана на решении соот етспюуюш,их векторных уравнений. Рассмотрим для примера алгоритм силового расчета структурной группы второго вида. Уравнение равновесия этой группы (с.м. рис. 21.4, а) имеет вид (21.3) Значение вектора Ft-y/ определится по формуле (21.5). Направление вектора уточняют в зависимости от знака [c.264]

Рассмотрим теиерь пример ирименения уравнений равновесия (П1.16) и покажем при этом методику решения простейших задач статики. [c.261]

Мы показали па этом примере последовательность решения иростсйильч задач статики. Важнейшей частью решения таких задач являепся анализ сил, от которого, прежде всего, зависит правильность резулы атов. Весьма важным этапом является составление уравнений равновесия. [c.262]

Рассматривая оставленную после проведения сечения часть бруса, мы во всех случаях направляли продольную силу от сечения. В двух первых слуяаях результат определения продольной силы получился положительным и это указывало одновременно и на то, что сила действительно направлена от сечения, т. е. мы угадали ее действительное направление, и на то, что сила соответствует растяжению. В последнем случае продольная сила оказалась отрицательной, а это означает, что она направлена к сечению и соответствующий участок бруса испь1тывает сжатие. Можно рекомендовать всегда поступать так же, как в этом примере не зная направления продольной силы, направлять ее предварительно от сечения после решения уравнения равновесия знак плюс укажет, что имеет место растяжение, а знак минус — сясатие. [c.187]

Рассмотрим пример численного решения нелинейных уравнений равновесия стержня. На рис. 2.10 показан криволинейный стержень, нагруженный следящими силами. В отличие от задачи, рассмотренной в 2.1, стержень нагружен силой Р< ) = Рзез, перпендикулярной плоскости ХхОхг. [c.90]

При решении первых примеров на построение эпюр необходимо отдельно изобразить оставленную (отсеченную) часть бруса и составить уравнение равновесия для действующих на нее сил. Здесь иногда возникают споры, как следует направлять продольную силу. Есть две возмо кпости. Первая — всегда направлять силу от сечения, тогда положительный результат ре-щения уравнения равновесия укажет, что сила действительно соответствует растяжению, в этом случае мы условились считать ее положительной. Вторая — направлять продольную силу так, как представляется правдоподобным (по смыслу). При этом знак плюс в решении укажет ( угадали или не угадали ), каково истинное направление силы. Может получиться, что сила соответствует сжатию, а получилась она со знаком плюс при построении эпюры придется менять знак на противоположный. [c.61]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Пример 9.1. Решенную ранее с привлечением уравнений равновесия, закона Гука и условий совместности деформации задачу о трехстержневой статически неопределимой ферме решим с использованием принципа возможных перемещений. При этом обратим внимание на то, что ныполнеггие условий принципа возможных перемещений сводится к априорному выполнению условий совместности деформаций, а выполнение уравнений статики при этом является естественным следствием выполнения условия (9.5). Условия совместности деформаций для трехстержневой системы, показанной на рис. 3.19, запишется в виде уравнения (3.39). При этом [c.192]

Рассмотрим, как можно получить и использовать линеаризованные уравнения на знакомых простейших примерах. В первом примере тривиальное исходное состояние равновесия ф = О можно считать известным и без решения полного нелинейного уравнения. Найдем условия существования других состояний равновесия, бесконечно близких к этому исходному. В данном случае найдем условие равновесия стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол (рис. 1.14, а). Угол ф считаем бесконечно малым и в уравнении равновесия учитываем только те слагаемые, которые содержат этот угол в первой степени (отсюда и название линеаризованное уравнение ). Тогда можно записать Plffi = k x, или [c.22]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

Заключая этот пример, обратим внимание читателя на то, что при действии только нагрева на рассмотренный брус уравнения равновесия его отсеченных частей (4.6.5) и (4.6.6) являются однородными. В силу статической определимости бруса они полностью и однозначно определяют продольные силы. И поскольку эти уравнения являются линейными относительно искомых продольных сил Nq-i и iVi 3, то в силу их однородности они имеют единственное нулевое решение. Простота же. I. 21 уравнений (4.6.5) и (4.6.6) не меняет их обш их свойств линейности, однородности и однозначной разрешимости. [c.91]

Знак — в полученных для Rq и выражениях свидетельствует о том, что истинные направления этих реакций не соответствуют направлениям, принятым при составлении уравнений равновесия всего бруса (4.6.8) и его частей (см. рис. 4.33). В нашей задаче нетрудно, конечно, угадать истинные направления реакций, так как, стремясь расшириться при нагреве, брус упирается в опоры, реакции которых создают в нем сжимаюш ую силовую деформацию, компенсируюш,ую температурное расширение. Но в более сложных системах это сделать иногда очень трудно. Наш пример показывает, что в этом и пет необходимости, так как знак у полученной в результате решения реакции покажет, совпадает ли истинное ее направление с принятым при составлении уравнений равновесия и совместности. [c.96]

Существенным преимуществом энергетического метода яв- ляется то, что требование равенства нулю контурных сил или моментов может быть полностью игнорировано. Эта особенность метода совместно с тем, что решения дифференциального уравнения равновесия пластинки нигде не используются, делает его принципиальную схему применения очень простой. В энергетическом методе конкретные задачи обычно доста точно ясно формулируются при использовании первых нескольких членов аппроксимирующего ряда. Однако добавление каждого последующего члена ряда усложняет исследование. Это приводит дифференциальные соотношения- к виду, неудобному для численных расчетов. Можно привести примеры, когда потребовалось для исследования более чем пятнадцать членов ряда, с тем чтобы получить приемлемую точность решения. Поэтому, когда для достижения заданной точности требуется всего лишь несколько первых членов ряда, использование энергетического метода дает большие преимущества, в то время как при использовании большего числа членов округление ошибок вычислений может быть критическим фактором против применения этого метода. [c.194]

В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы показать основные положения метода перемещений при использовании первой теоремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений, поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку конструкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом 1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях 2) подсчитать возникающие в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений 3) используя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стержнях 4) зная деформации, определить удлинения стержней 5) построить диаграмму Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения ОхК узле В. [c.497]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...