Конформное отображение при плоской

Конформное отображение при плоской деформации 201. [c.447]

Для того чтобы использовать конформное отображение при решении плоской задачи, нужно преобразовать граничные условия этой последней к новому переменному С. обозначения, называя [c.227]

Чтобы использовать конформное отображение (6.116) при решении основных задач и вообще задач плоской теории упругости, преобразуем граничные условия (6.109), (6.111) к переменному [c.133]

При решении плоской задачи методом конформного отображения функции ф (г) и я ) (г) необходимо выразить через новую переменную t, вводимую соотношением (9.335), а также необходимо преобразовать основные формулы плоской задачи. [c.307]

Выше в 1 было показано, что при решении задач кручения п изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение аппарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла (интеграла Шварца), причем, если отображающая функция — рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты случаем, когда отображающая функция — рациональная. [c.386]

Ранее определение Yp производили экспериментально (методом фотоупругости, тензометрированием) и теоретически из решения плоской задачи теории упругости при помощи функций комплексного переменного и конформного отображения зубообразного выступа на полуплоскость [39, 59] и др. [c.189]

Из сказанного выше следует, что в некоторых случаях, особенно для лопаток большой радиальной протяженности, использование в радиальных колесах гидротрансформаторов профилей осевых решеток нецелесообразно, так как условия течения жидкости в плоской и радиальной решетках различны. Это различие может привести к неблагоприятному перераспределению скоростей на обводах профиля и, как следствие, к увеличению потерь. При помощи конформного отображения можно по известным координатам профиля прямой решетки построить соответствующий ему профиль радиальной решетки. [c.65]

В задачах теории гидродинамических решеток метод ЭГДА был впервые применен Л. А. Симоновым [66], использовавшим аналогию-типа А в плоскости течения для измерения в электрической модели (с ванной) электрического потенциала, соответствующего потенциалу скорости при плоском бесциркуляционном обтекании данной решетки несжимаемой жидкостью. Затем производился расчет скорости на профиле решетки при любом циркуляционном обтекании с использованием конформного отображения на эквивалентную решетку кругов или пластин. [c.247]

Изложенный ранее ( 41) метод конформных отображений получил уже давно широкое применение не только при решении задач плоского обтекания замкнутых контуров, в частности, крыловых профилей. Одной из наиболее важных областей применения этого метода явилась теория разрывных течений идеальной несжимаемой жидкости. Благодаря отсутствию внутреннего трения, в потоках идеальной жидкости становится возможным возникновение нарушений сплошности течения, образования в потоке мертвых зон покоящейся жидкости. [c.204]

Вычислить скорости деформаций при плоском течении сплошной среды, используя координаты, порожденные конформным отображением. Записать формулы в матричном виде. [c.116]

Один из эффективных методов реализации общего алгоритма при исследовании плоских и с небольшими отличиями осесимметричных пластических течений сводится к следующему. Строится глобальное конформное отображение области течения — криволинейной полосы D на прямолиней- ную полосу в плоскости комплексного потенциала w = =Ф+1Ч - Тем самым в физической области вводится удобная криволинейная ортогональная система координат ф, ij). В качестве опорного поля скоростей принимается безвихревое поле, порожденное конформным, отображением. Уравнение теплопроводности преобразуется к новым переменным. [c.278]

Р е ill е н и е. При плоском течении несжимаемой среды с использованием координат ф, ф, порожденных конформным отображением w(z) =(f(xi, Хг)+iii(xi, Хг), вектор скорости представляется следующим образом [c.285]

При решении плоских задач о последовательном образовании отверстий, форма которых задана в момент образования, возникает проблема нахождения функций, осуществляющих конформное отображение единичной окружности на деформированные контуры отверстий после каждого этапа деформации (далее для краткости эти функции называются просто отображающими функциями). Функция, осуществляющая конформное отображение единичной окружности на контур некоторого отверстия в момент его образования, задается для каждого отверстия в качестве исходных данных перед началом расчета. Функции, осуществляющие конформное отображение единичной окружности на контур этого же отверстия в моменты образования следующих отверстий (т.е. в более поздних состояниях), подлежат определению. Определение отображающих функций при решении задач о последовательном образовании отверстий требуется в начале каждого нечетного шага алгоритма, рассмотренного в 3.4, кроме первого, т.е. каждый раз, когда решается задача в координатах нового состояния. [c.97]

Определение конформного отображения. Пусть существуют две плоские односвязные площади и точки М(ж, у) и М х, у ) на этих площадях. Предположим, что между М и М установлено соответствие, такое что х и у являются функциями от ж и у, т. е. каждой точке М соответствует только одна точка М, и наоборот. Если х и у — непрерывные функции от ж и у, то при перемещении точки М точка М будет описывать кривую, и наоборот. Различным точкам границы первой площади будут соответствовать различные точки границы второй площади. Выбирая надлежащим образом функции ж и у, можно добиться сохранения углов, т. е. образы кривых будут пересекаться под тем же углом, что и сами кривые. О таком отображении также говорится, что оно является конформным. [c.81]

Определение касательных напряжений в поперечном сечении при кручении и изгибе [1 ], [47], [50], 65], сумм главных напряжений внутри контура плоской детали [25]. [46]. [60], температур в плоском и объемном поле [9], [10]. [12].[42], [50], коэффициентов полинома функции конформного отображения круга на заданную об-ласть [36]. [50], [69] и др. [c.255]

Мы видели, что при помощи конформного отображения односвязных областей можно решать все задачи, относящиеся к плоскому движению. Однако при переходе к областям двусвязным, как это имеет место, например, в случае бипланов бесконечного размаха, полученные ранее результаты становятся неприменимыми. [c.151]

Отметим, наконец, что главную сущность излагаемых ниже результатов из области плоской теории упругости (главы II—VI) следует видеть, конечно, не в новом выводе формул Г. В. Колосова ) и аналогичных, а Б применении этих формул к решению основных граничных задач при систематическом использовании свойств интегралов типа Коши и конформного отображения ). [c.87]

Математический аппарат, развитый для решения линеаризованной задачи о глиссировании, имеет широкое применение при решении плоских задач гидро- и аэродинамики. Речь идет об эффективном решении смешанной задачи для различных областей, когда на частях границы заданы попеременно действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Для полуплоскости это решение дается формулой Келдыша — Седова (1937). К решению задачи для полуплоскости можно, с помощью конформного отображения, свести решение смешанной- краевой задачи для любой односвязной области. Для непосредственного решения имеются эффективные формулы в случаях полосы, полуполосы и в двухсвязной области для кольца (см. монографию Л. И. Седова, 1950 и 1966). Имеются обобщения этих формул и для случаев периодических (Л. И. Седов, 1938) и двоякопериодических решеток (Л. И. Седов, 1950 и 1966). [c.12]

Отображение конформное при плоской деформации 21)1. [c.448]

Краевой эффект массивного одновиткового индуктора можно исследовать численным методом. В частном случае сильного поверхностного эффекта в токопроводе и в загрузке, пренебрегая кривизной поля в зазоре, можно получить достаточно общий результат методом конформных отображений. Тангенциальная составляющая Н и плотность тока в длинной загрузке у края индуктора достигает 78 % значений их в регулярной зоне, а удельная мощность уменьшается почти в два раза. Плотность тока в угловых точках сечения витка при этом стремится к бесконечности. При конечной глубине проникновения общий характер распределения плотности тока на поверхности витка и загрузки соответствует рис. 1.9, а. Расчеты численным методом показали, что приведенные значения плотности мощности и тока в загрузке у края длинного массивного индуктора хорошо соблюдаются и при неярко выраженном поверхностном эффекте как для плоских, так и для цилиндрических систем. [c.173]

В формулах, выражающих перемещения и внешние силы через аналитические функции ф( и г1 ( ), последние входят под знаком интеграла. Это обстоятельство затрудняет применение для решения осесимметричных задач большей части тех методов, которые обычно используются при решении плоских задач (конформные отображения, приведение к интегральным уравнениям Мусхелишвили [c.416]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Краевые задачи связаны со значительным разнообразием контуров. Это приводит к необходимости при их решении использовать конформное отображение. Для решения подобных задач Г. В. Колосовым и И. И. Мусхелишвили разработан, Г. И. Савиным развит мощный аппарат с использованием потенциалов Колосова—Мусхелишвили, Однако, как отмечает Л. И. Седов [38], использование конформных отображений в плоской задаче теории упругости отлично от такового в задачах гидродинамики. Это происходит потому, что бигармонические функции при конформном отображении перестают удовлетворять бигармоническому уравнению. Но, поскольку природа процессов одна, естественно продолжить поиски решения задач плоской теории упругости как задач Дирихле. [c.10]

Принципиальное развитие математической теории движения грунтовых вод связано главным образом с трудами советских ученых. В 1922 г. была опубликована диссертация Н. Н. Павловского в которой он развил методы решения плоских задач напорной фильтрации под гидротехническими сооружениями (с ломаным подземным контуром) при помопщ конформных отображений и решил ряд практически и теоретически важных задач. Приложение теории конформных отображений к плоским задачам движения грунтовых [c.301]

Как будет показано в дальнейшем, например в случае плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластин, аппарат конформных отображений является менее эффективным. Дело в том, что бигармоническое уравнение, к которому сводятся эти задачи, уже не является инвариантным относительно конформного отображения и при замене переменных происходит существенное усложнение структуры уравнения. Однако в этом случае удается получить эффективные решения, когда отображающая функция имеет вид полинома или дробно-рациональной функции. Это связано со следующим свойством интеграла типа Кощи, взятого по окружности (аналогично рассматривается и случай полуплоскости). Пусть /(т) — функция, заданная на некотором контуре и являющаяся краевым значением аналитиче- [c.31]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Методом конформных отображений была решена плоская краевая задача, рассчитано распределение поверхностной плотности тока на кромках, что позволяет получить интегральные параметры кромок для случая ярко выраженного поверхностного эффекта. Этим методом невозможно рассчитать плотности тока вблизи углов кромок. Ошибка будет тем больше, чем меньше отношение /Д. Однако часто желательно знать истинное распределение тока на кромках, например при определении исходных данных для расчета температурного поля на свариваемых поверхностях или минимальной частоты тока при высокочастотной сварке труб заданной толш,ины и др. [c.59]

Таким образом, всякая задача безвихревого движения в криволинейном слое (постоянной толщины) преобразуется с помощью конформного отображения в соответствующую плоскую задачу. Для сферической поверхности мы можем, например, наряду с бесчисленным множеством других методов, применить метод стереографической проекции. В качестве простого примера возьмем, например, случай, когда слой постоянной толщины покрывает всю поверхность шара за исключением двух круговых островов (величина и взаимное положение которых могут быть произвольные). Очевидно, единственное (плоское) безвихревое движение, которое возможно в наполненном жидкостью двусвязном пространстве, это такое, при котором жидкость циркулирует вокруг обоих островов в протибоположных направлениях, причем циклические постоянные для обеих циркуляций должны быть одинаковыми. Так как окружности при проектировании переходят в окружности, то соответствующая плоская задача есть та самая, которая решена в 64, п. 2, [c.135]

Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика применяют строгие математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений при установленной системе граничных и начальных условий или другие эквивалентные им математические методы (например, конформное отображение в задачах плоского движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик используются такие общие теоремы механики, как теорема количества и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов теоретической механики и математической физики, столь характерных, например, для развития механики твердого тела, но и широко пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так называемых нолуэмпирических теорий, в построении которых большую роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто дедуктивных методов классической рациональной механики естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная механика жидкости и газа. [c.15]

При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит воз.чожность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль фиволинейных координат, как это было показано в 40 гл. V, играет метод функций комплексного переменного и конформных отображений переход от физической плоскости г — х- -1у к вспомогательной плоскости С = был эквивалентен пользованию криволинейными координатами , 17 вместо прямолинейных х, у. [c.387]

Первые теоретические исследования движений жидкости с образованием поверхностей раздела принадлежат Гельмгольцу (Helmholtz). В частности, он исследовал форму струи, вытекающей из щели в плоской стенке, предполагая при этом, что сила тяжести отсутствует, причем для исследования применил метод конформного отображения (см. 10). О расчете, выполненном Кирхгоффом (Kir hhofF) для потока с образованием мертвой зоны, будет сказано в 14 гл. III. [c.79]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Задача о произвольной нестационарной деформации профилей или их движения при постоянной циркуляции в потенциальном потоке сводится к вычислению квадратурами типа (3.13) дополнительной касательной к контуру слагающей Vg скорости по ее заданной нормальной слагающей Vfi иди же к решению соответствующей неоднородной задачи относительно функции тока или потенциала течения вытеснения . Первая задача такого рода — о плоском движении жидкости в треугольной полости вращающегося тела — была решена Н. Е. Жуковским в 1885 г. (эта задача имеет отношение к течению во вращающейся радиальной решетке с прямыми лопатками). Вращение одиночного тонкого профиля и двух профилей тандем было изучено Л. И. Седовым в 1935 г. затем им же был дан общий подход к решению подобных задач в рамках теории тонкого профиля. Общие свойства потока через вращающуюся круговую решетку и, в частности, ее конформное отображение на прямую рассмотрел П. А. Вальтер в 1926 г. Основные задачи обтекания таких решеток решены Г. И. Майка-паром (1949, 1953, 1958, 1966), Л. А. Дорфманом (1956), Т. С. Соломаховой [c.125]

Прилененве конформных отображений к течениям вокруг плоских ц изогнутых пластинок. Форма линий тока, только что полученная для несущей поверхности на основании соображений Лан-честера, была определена также Куттанезависимо от Ланчестера, при 1ЮМ0Н1И метода конформных отображений. Это применение конформных отобра /кений si. № 79 первого тo a), на которое Кутта в цитированной работе указал впервые, оказалось чрезвычайно плодотворным. Правда, следует e ue раз особо подчеркнуть, что конформные отображения могут применяться только к двухмерным течениям. [c.184]

Аналитическое определение местных напряжений изгиба в опасном сечении прямого зуба, выполненное этими методами, является наиболее точным. Попытки вычислить напряжение изгиба методами теории упругости известны уже давно (см. например [79, 123] и др.), однако пригодным для инженерных расчетов можно считать лишь решение, данное В. Л. Устиненко [151 и 152]. Последнему удалось найти удачный прием конформного отображения на полуплоскость функции, описывающей зубообразный выступ, близко совпадающий с действительной формой зуба. Единственное отклонение заключается в том, что вершина выступа получается скругленной, что не оказывает заметного влияния на напряжение в опасном сечении Решение В. А. Устиненко дает хорошие результаты при любом числе зубьев и любом смещении исходного контура. Подсчитанные напряжения во всех случаях хорошо совпадают с определенным методом фотоупругости на моделях из прозрачного изотропного материала при распределении нагрузки, обеспечивающем плоское напряженное состояние зуба. Предварительная большая вычислительная работа способствовала тому, что трудоемкость нового, более точного метода расчета осталась на уровне методов, основанных на сопротивлении материалов. [c.174]

Указанное свойство функции (XXIII. 59) позволяет использовать ее для отображения М1ногошпунтового подземного контура с последовательным уничтожением по одному шпунту. Для этого надо каждый раз переносить начало координат в место расположения очередного шпунта на контуре и выбирать соответствующую величину S, равную глубине забивки шпунта. Вее шпунты, кроме уничтожаемого при данном конформном отображении, каждый раз несколько деформируются и их надо спрямлять подходящим вертикальным отрезком. В результате через п шагов незаглубленный тг-шиунтовый контур приводится к плоскому флютбету, для которого нахождение распределения напоров и прочих элементов течения уже не представляет затруднений. [c.485]

Метод последовательного отображения шпунтов, идея которого здесь изложена, пригоден только для незаглубленных флютбетов. П. Ф. Филь. чаков предложил также общий метод решения задач движения грунтовых вод под гидротехническими сооружшиЯ МИ при помощи последовательных конформных отображений, приближающих каждый раз подземный контур сооружения к форме плоского незаглубленного флютбета. [c.486]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...