Отображение конформное иа единичный

В том же 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной если область В близка к О в смысле близости второго порядка и / — конформное отображение О на единичный круг с нормировкой /(2о) = О, / (го)>0, то область 0) близка к кругу, ее отображение /1 на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция / = /1°/ будет отображать О на круг. [c.119]

К простейшим основным областям, на которые производится конформное отображение в теории упругости, относятся, например, единичный круг, полуплоскость, бесконечная плоскость с круговым отверстием, а также кольцевая область или полоса. Существенно при этом, что в основной области нет нулей производной / ( ), так как в противном случае, как уже упоминалось, отображение в этих точках перестает быть конформным и соответствующие решения будут обладать особенностями. [c.221]

Для решения задачи введем в рассмотрение комплексные переменные г = х+ 1у, = и + и и допустим, что функция = Р(г) осуществляет конформное отображение области й в плоскости комплексного переменного 2 на полосу единичной толщины в плоскости комплексного переменного причем прямая у = 0, —а х Ь переходит в прямую г = О, —°о <и<оо так, что точкам х = — а и х = Ъ соответствуют точки и = — оо и и = °о, а точкам х = —с и х = й— точки и = —а и и = а. Кроме того, кривая 8 переходит в прямую v = i, —оо<и<°о. На основании теоремы Римана [12] такое конформное отображение существует и единственно, если величина а заранее не задана. [c.146]

Действительно, пусть функция Z = Z(z) определяет конформное и взаимно однозначное отображение области внутри Г на круг единичного радиуса на плоскости 7. Тогда функция и(2, Р оказывается в силу этого отображения функцией 7 и аналитической при 2 < 1 и при любом фиксированном Таким образом, при 171 < 1 мы имеем разложение [c.266]

Зная течение вокруг окружности единичного радиуса, можно с помощью конформного отображения области, внешней данному профилю, на область, внешнюю кругу, построить течение и вокруг произвольного профиля. При этом используется свойство [c.21]

В условиях теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей должны состоять более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область вообще не существует (например, на единичный круг). [c.186]

Осуществим теперь конформное отображение круга единичного радиуса на область 0+ с помощью функции (й( ). Пусть при этом точки а и р переходят в точки а и дуги и дуги [c.394]

При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно преобразовать область S либо на круг единичного радиуса (случай а), либо на плоскость с выброшенным кругом единичного радиуса (случай б). В том и другом случае функция z = a ( ), осуществляющая конформное отображение областей, устанавливает соответствие между точками контура z е Г и точками окружности единичного радиуса = о = е в плоскости Функции ф и ф будут теперь функциями переменной Для краткости мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо [c.338]

Если область Ж ограничена одним замкнутым контуром С, то в качестве области Ж можно выбирать внутренность или внешность круга единичного радиуса и проводить решение краевой задачи, сформулированной для новой переменной в полярной системе координат, а для переменной 2 — в криволинейной ортогональной системе координат, в координатные линии которой переходят координатные линии полярной системы координат в плоскости при рассматриваемом конформном отображении. [c.500]

Наиболее удобные односвязные канонические области, применяемые для расчета решеток, изображены на рис. 25. В теоретических исследованиях и для редких решеток обычно используется внутренность единичного круга Zg с переходом бесконечностей перед и за решеткой, соответственно, в симметричные точки действительной оси Zg — — q и Zg = q (рис. 25, а). Чтобы подчеркнуть нарушение конформности отображения в этих точках и конкретизировать соответствие областей, принято говорить, что внешность решетки (в полосе одного периода) отображается на внутренность единичного [c.73]

Влияние толщины. Влияние толщины на сопротивление тела, обтекаемого безграничной жидкостью, выявляется при рассмотрении семейства симметричных профилей, описываемых параметром ti , где — толщина профиля, взятая по нормали к направлению потока, а с — длина хорды профиля в параллельном потоку направлении. Отношение ti изменяется от нуля (плоская пластинка) до единицы (цилиндр). Примером такого семейства являются симметричные профили Жуковского, промежуточные формы которых получаются математически путем специального конформного преобразования (или отображения) окружности единичного радиуса. Это семейство профилей обладает тем свойством, что в случае потенциального обтекания поля скорости и давления, имеющие место при обтекании цилиндра, также могут быть преобразованы в поля скорости и давления при обтекании этих профилей. Таким образом, экспериментально измеренные распределения давления на таких профилях могут быть сопоставлены с распределениями давления, полученными из теории потенциального течения идеальной жидкости. [c.401]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

Функция, осуществляющая конформное отображение единичной окружности на контур шестиугольного отверстия, взята, как и в предыдущем случае, в виде (5.1.2). На рис. 5.63 приведена форма контуров отверстий в правом верхнем углу этого рисунка схематически показано расположение отверстий. На рис. 5.64 показаны эпюры контурных напряжений. Сплошная линия на рисунках соответствует нулевому приближению, пунктирная — первому. [c.200]

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция I аналитична в /) и что на границе В ее модуль равен 1, Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает В на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения В на круг), то такая проверка излишня—проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11). [c.86]

Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку 2о, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозначается линия уровня при отображении /, т. е. прообраз окружности йУ = р при этом отображении в частности, Fi = Г — граница отображаемой области D (рис. 32). [c.108]

Отправляясь от формулы (7) 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ [c.109]

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой f(Zo) = О, f (zo) >0. Рассмотрим еще область 5 с границей Г и для любой точки обозначим через e( ) отрезок [c.109]

В этой модели предполагается наличие двух критических точек одна точка 5 на препятствии и другая R внутри течения в основании струи, как показано на рис. 26, а. Рассмотрим сначала случай симметричных кавитационных течений около пластины, перпендикулярной к потоку"). Как и в п. 3, отобразим течение симметрично на единичный полукруг Г вспомогательной плоскости t (см. рис. 26,6) так, чтобы пластина перешла в действительную ось, а свободная граница — в окружность. Это конформное отображение существует, является единственным и отображает точки 5, /, R, J течения в четыре точки мнимой оси соответственно /s=0, ti = ia, Ir = ib и /j = /(0 < a < 6 < 1). Поскольку бесконечно удаленная точка t = ti по отношению к течению является внутренней, то применимы замечания 5 и 6 теоремы 2, так что [c.74]

I = и = а свободные границы отображаются на действительный диаметр. Бесконечно удаленным точкам струй между кавернами соответствует 2= +оо. Это отображение можно выполнить в два приема. Во-первых, посредством функции е гг/в (3 —разность комплексных координат двух сходственных точек соседних дужек) решетка отображается на односвязную область, граница которой взаимно однозначно соответствует границе одного периода течения, а бесконечность перед решеткой переходит в начало координат. Во-вторых, по известной теореме конформного отображения, полученная область может быть конформно отображена на единичный полукруг с указанным выше соответствием. Комплексный потенциал, очевидно, имеет логарифмические особенности в точках t = t и = О, причем первая соответствует вихреисточнику, а вторая — стоку той же интенсивности. При дифференцировании эти точки становятся [c.188]

Предположим, что нам известна функция со ( , реализующая конформное отображение круга на область (внутреннюю либо внешнюю по отношению к контуру Ь). Если в уравнении (5.35) произвести замену переменной согласно равенству i = со (с), то получим интегральное уравнение на на окружности единичного радиуса. Ядро этого уравнения элементарно выражается через со (с) и сохраняет простую структуру во многих случаях, например в случае любого отображения вида (5.27). Во всех этих случаях к вновь полученному интегральному уравнению применим метод рядов Фурье, что и приводит к эффективному решению задачи. [c.52]

Преобразование формул Колосова и граничных условий при конформном отображении на единичный круг. В ос- [c.221]

Правая часть соответствует функции, заданной для первоначального граничного контура Д + //2 и после конформного отображения становится функцией, определяемой на единичном круге. [c.224]

Общее решение, которое содержит только что указанный случай как частный, было получено Н. И. Мусхелишвили. Речь идет об эллиптическом отверстии в бесконечной пластине, нагруженной на части границы постоянным давлением р (рис. 8.34), причем напряжения на бесконечности должны затухать. При этом комплексные функции напряжений можно записать в несколько более удобной форме, если осуществить конформное отображение внешней области эллипса на внешность единичного круга в плоскости Пусть 2(0 = Л (С + сД), где Лис имеют те же значения, что и раньше. Тогда комплексные функции напряжений будут равны [c.251]

Рассмотрим конформное отображение внешности решетки заданных профилей С (рис. 88) произвольной формы с шагом I на внешность решетки кругов единичного радиуса с шагом т, причем оси решеток кругов и профилей приняты параллельными друг другу и направленными по мнимым осям ц у соответственно оси и дг им перпендикулярны. [c.268]

В частном случае одиночного профиля (т->оо) все коэффициенты Шп при п > О обращаются в нули и ряд (161) переходит в известный уже нам по предыдущему ( 45) ряд (74). Таким образом, совокупность первого слагаемого и первой суммы в правой части (161) соответствует конформному отображению внешности единичного профиля на внешность единичного круга а последняя сумма выражает влияние остальных профилей решетки. [c.269]

При решении плоской задачи часто бывает полезно предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной переменной В случае конечной одпосвязпой области 5 , ограниченной замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентрическое кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д. [c.46]

Если эффективный ьнешний контур, обеспечивающий питание скважины жидкостью, не является даже приблизительно круговым, то практической задачей является такой случай, когда внешний контур представлен бесконечным линейным источником питания. Аналитическая идеализация бесконечного линейного источника питания и единичной скважины соответствует наиболее простой задаче перемещения краевой воды, когда вода движется поступательно, образуя фронтальное продвижение и вытесняя нефть в скважину, расположенную вблизи водонефтяного раздела. Мы встречаемся с подобным явлением, рассматривая движение воды в артезианскую скважину, вскрывшую пласт песчаника, выходы которого открыты в канале или ложе реки и параллельны их берегам (см. фиг. 38). Решение этой задачи методом конформных отображений показывает, что текущий дебит скважины является таким же, какой можно получить из скважины, окруженной концентрическим круговым контуром питания при симметричном радиальном течении и при радиусе контура, равном двойному расстоянию скважины от линейного источника питания [уравнение (8), гл. IV, п. 7]. [c.206]

Имееется много решений обратной задачи методами конформного отображения. В работе [5.45] такое решение основано на преобразованиях между плоскостью решетки и единичным кругом и между этим единичным кругом и полной полуплоскостью. В заключение вводилась вспомогательная плоскость с точками на бесконечности, симметрично расположенными относительно мнимой оси. В этой плоскости легко определяется течение. Удается построить и обратное решение, т. е. получить форму профиля в плоскости решетки. Другой метод, в котором используется преобразование в единичный круг, разработан Гольдштейном. Известны и программы расчета по этому методу [5.83, 5.84]. В приближенном методе работы [5.85] точки одинакового потенциала располагались в плоскостях решетки (г) и круга ( ), а затем осуществлялось преобразование путем выражения в виде рядов по х. [c.158]

Предположим, что сечение стержня есть односвязная область 0+, и пусть функция 2 = (й( ) реализует конформное отображение единичного круга в плоскости на 0+. Осуществим замену переменных в выражении для F(z) и полученную таким образом функцию будем обозначать через /( ). Перепищем краевое условие (1.3) в виде [c.362]

Для конформности отображения, производимого аналитической функцией o(f)> необходимо, чтобы всюду во внешности единичного круга ее производная была отлична от нуля. В противном случае на контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, появляется петля неоднозначности, которая не имеет физического смысла. Для выполнения условия однолистности параметр а, согласно (2.2.28), должен удовлетворять неравенству [c.88]

Пусть поток жидкости движется над уступом слева направо, имея на бесконечности единичную скорость. Найдем функцию F Z), осуществляющую конформное отображение треугольника САВС на верхнюю полуплоскость, потребовав, чтобы точка A Z = i) переходила в начало координат (F = 0), чтобы бесконечно удаленная точка Z = оо переходила в точку F = оо и, наконец, чтобы при Z = оо было dFldZ = 1. Последнее условие введено для упрощения вида функции Фо( о. о) в данном случае Ч о(ио. о) = Действительно, если функцию F Z) рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения, то на контуре САВС ImF = Уо = 0. а сопряженная скорость V = dF/dZ = 1 [c.165]

Влияние свободных поверхностей учитывают с помощью функций в виде полиномов в сочетании с техникой конформных отображений. При этом комплексная переменная г, соответствующая геометрии трещины, выражается как функция другой комплексной переменной g, соответствующей геометрии единичного круга или полуплоскости в бесконечном теле. Иллюстрация этого метода дана Парисом и Си [7], рассмотревшими действие единственной сосредоточенной силы F, направленной под произвольным углом к поверхности трещины. Для представления полей растягивающих и сдвиговых напряжений у вершины трещины, возникающих благодаря этой силе, ими был использован комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К — iK , и после формального вывода Стц и сГзг из полной комплексной функции напряжений Вестергаарда с использованием переменной т] = (z—вместо действительного расстояния г = (Xi — а) [как в выводе уравнения (115) из (ПО)] они смогли записать [c.75]

Итак, пусть О лежит в плоскости комплексного переменного г = Ху- -1х . Единичная окружность С лежит в плоскости комплексного переменного ча и О — неограниченная компонента дополнения С до всей плоскости т. По теореме Римана существует конформное преобразование 5 области О на область О, такое, что бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную. При этом преобразовании граница Г переходит в окружность С таким образом, что каждой точке окружности С соответствует граничный элемент (простой конец по терминологии Каратео-> дори [57] подробнее о граничных свойствах конформного отображения см. также [58]), и соответствие это взаимно однозначное. [c.198]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Если конформное отображение, в частности на единичный круг в плоскости (как это рассматривалось до сих пор), невыполнимо, то вводят в общем случае криволинейные координаты 1 = onst и т] = onst в плоскости Z (см. рис. 8.11). При этом получаются несколько более общие выражения для преобразуемых величин. Однако здесь на этом останавливаться больше не будем. [c.225]

Всякая односвязная область, кроме всей плоскости (включая бесконечно удалённую точку) и плоскости с одной выключенной точкой, может быть взаимно-однозначно и конформно отображена на любую другую область такого же типа (например на внутренность единичного круга). Это отображение определяется единственным образом, если потребовать, чтобы заданной точке и заданному направлению в этой точке одной области соответствовали заданные точка и направление в этой точке другой области (теорема единственности). Если, например, отображаемая область в плоскости 2 содержит нулевую точку, то отобра- [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...