Уравнение движения точки 41 и далее

При решении задач этой группы следует сначала составить уравнения движения точки для этого нужно рассмотреть положение движущейся точки в произвольный момент времени, а не ее начальное или конечное положение, и выразить ее текущие координаты как функции времени t. Далее следует придерживаться такого же плана, как и при решении задач предыдущей группы. [c.151]

С помощью первых лучше понимаются и запоминаются законы сохранения. В немногочисленных задачах на определение уравнений движения системы тел рассматривается, как правило, их колебательное движение. Решаются эти задачи после составления диф. уравнения движения - то есть после решения задачи второго типа. Далее каждая из этих задач является обычной второй задачей динамики. [c.120]

Пусть X, Y, Z—проекции силы Fm оси Охуг, которые мы будем предполагать прямоугольными пусть далее — направляющие косинусы и N— величина реакции неподвижной кривой. Уравнения движения точки М тогда будут [c.181]

Далее предположим, что любые материальные точки Отр действуют друг на друга с силами, пропорциональными относительной скорости. В уравнении движения точки будем иметь тогда члены [c.242]

Прежде всего рассматривается задача о движении материальной точки, находящейся под действием совокупности сил. Формулируются законы Ньютона, выводятся дифференциальные уравнения движения точки. Особо отмечается случай, когда точка находится в равновесии (статика точки). Далее формулируются основные задачи динамики точки и рассматриваются примеры (например, задача о колебаниях точки). Здесь же доказывается теорема об изменении кинетической энергии точки и подробно изучается понятие работы силы и теория потенциального силового поля. [c.74]

Полученное И. В. Мещерским основное уравнение движения точки переменной массы дало возможность установить количественные закономерности для различных частных задач. Мы не можем в настоящее время указать новых работ, которые по глубине идей и богатству методов стояли бы на одном уровне с этой старой работой И. В. Мещерского. Следует только подчеркнуть, что одной из существенных гипотез, лежащих в основе метода Мещерского, является гипотеза близкодействия (контактного взаимодействия тела и отбрасываемых частиц). Допускается, что в момент отделения частицы от тела или точки происходит явление, аналогичное удару частица за очень малый промежуток времени получает конечную относительную скорость и дальнейшее взаимодействие частицы и основного тела прекращается. Второй закон Ньютона получается из уравнения Мещерского как частный случай. [c.8]

Очевидно, что соотношения элементов (4-17) могут быть иными, чем те, что приведены з (4-18) — (4-26). Обоснованием принятого порядка служит лишь общепризнанность критериев Но, Fr, Eu, Re, которыми характеризует гидродинамику однородных жидкостей, и ряд соображений, которые рассматриваются далее. Следует подчеркнуть, что число полученных критериев т строго определенно если число членов уравнений п, то [Л. 179] tn = n—1. Так, из уравнения движения, содержащего [c.119]

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям i) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только ЗЛ/- -1 функций, меняющихся при преобразовании координат выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию. [c.123]

Хотя Б системах, которые мы сейчас рассматриваем, п может быть равно лишь ЗЛ/, мы нигде далее в этой главе этим обстоятельством пользоваться не будем. Это позволит в конце главы сделать важное обобщение полученной ковариантной формы уравнений движения на системы с механическими связями. Имея в виду такое обобщение, мы будем считать, что п не обязательно равно 3N, а удовлетворяет неравенству причем если n<3N, то [c.125]

Проекции р, q, г вектора угловой скорости на оси связанной с телом системы будут иметь большое значение во всем дальнейшем изложении. Именно, они будут играть роль вспомогательных координат, при помощи которых мы запишем далее уравнения движения тела с неподвижной точкой. Поэтому существенно выразить основные функции, характеризующие движение, — скалярную функцию (кинетическую энергию и векторную функцию (кинетический момент) — через эти переменные р, q а г. [c.185]

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291]

Если уравнения движения заданы в декартовых координатах, то при помощи формул (3 ) и (7 ) следует найти величину скорости и ускорения точки, затем найти значение касательного ускорения по формуле (12 ). Тогда из соотношения (14 ) определяются нормальное ускорение и, далее, при помощи (19 ) радиус кривизны траектории. [c.235]

В первом случае, пользуясь уравнениями относительного движения, следует определить по правилам кинематики точки относительную скорость и относительное ускорение точки. Независимо от этого, исходя из уравнений переносного движения, следует найти переносную скорость и переносное ускорение точки. Далее, зная угловую скорость переносного движения и относительную скорость точки, можно вычислить кориолисово ускорение по величине и направлению. [c.326]

Запишем далее дифференциальное уравнение движения спутника, принимаемого за материальную точку, в проекции на ось я [c.22]

В качестве примера рассмотрим груз массы т (который будем далее считать материальной точкой), привязанный к нити ОМ длиной г и движущийся по окружности (рис. 373). На точку М действует реакция нити ЛГ (действием других сил, например силы тяжести, пренебрежем). Для составления уравнений движения воспользуемся принципом Даламбера и приложим к точке М. силу инерции У, разложив ее на касательную и нормальную составляющие Jx и Jп, при этом Л и направлены соответственно противоположно Wx и Wn, [c.436]

О возможности приведения дифференциальных уравнений движения системы материальных точек к уравнениям вида (И. 379) шла речь в 58. Число уравнений в системе (11.379), обозначенное здесь я, равно удвоенному числу М степеней свободы системы. Систему уравнений (11.379) можно, как известно из предыдущего, рассматривать как уравнения движения изображающей точки в многомерном пространстве Можно, далее, рассмотреть систему подпространств Lp с количеством измерений р < я, вложенных в пространство [c.379]

Одной из классических задач механики является задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта задача имеет первостепенное значение для теории гироскопов, нашедшей широкое применение в различных областях современной техники. Эйлер дал аналитическое решение этой задачи в простейшем случае, а именно в случае движения тела вокруг неподвижной точки по инерции. Пуансо дал для того же самого случая наглядную геометрическую интерпретацию. Лагранж решил эту задачу в том случае, когда твердое тело имеет динамическую ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. После Эйлера и Лагранжа многие ученые пытались найти новый случай решения этой задачи, т, е. новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, но безуспешно. [c.17]

Далее, как видно из этих уравнений, силы, действующие на отдельные части твердого тела, можно заменять одной результирующей силой, такой, чтобы она была равна геометрической сумме всех действующих сил, а ее момент (относительно любой оси) был равен сумме моментов этих сил. Это можно делать потому, что уравнения движения, а значит, и характер движений, останутся прежними. Но из равенства моментов определяется только прямая, вдоль которой результирующая сила должна быть направлена, а не точка приложения этой силы. [c.413]

Полученная при турбулентном режиме течения система уравнений (1.76) является незамкнутой. Необходимы дополнительные сведения о величине турбулентных составляющих напряжений Некоторые гипотезы, приводящие к замыканию уравнений, будут рассмотрены далее, в основном, на примере пограничного слоя. Если принять приближения пограничного слоя, то в случае установившегося течения несжимаемой среды уравнения неразрывности и движения могут быть получены из системы (1.76) [c.43]

Итак, имеем уравнения трех связей (7.70) соответственно с коэффициентами (7.87), (7.90), (7.91), которые решаются методом прогонки в соответствии с алгоритмом, описанным ранее. Как уже отмечалось, применяются итерации до получения необходимой точности. Если рассматривается система двух и более уравнений (например, помимо уравнения движения решается также уравнение энергии), то в этом случае можно применить метод последовательных прогонок после получения с необходимой точностью решения уравнения движения на данной характеристике, интегрируется уравнение энергии. Если уравнение движения зависит от решения уравнения энергии, можно повторить итерации уравнения движения, затем — энергии и так далее до получения заданной точности. Итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений может стать в некоторых случаях неустойчивым. Тогда может быть применен прием, называемый демпфированием. Пусть получены значения функции на k-vi и k + 1)-й итерациях, в качестве значения функции примем [c.259]

Сопоставим кинетику трещин, описываемую уравнениями синергетики (4.20) и (4.21), с кинетикой усталостных трещин, которая рассматривается с позиций механики разрушения, используя две пересекающиеся кривые, описываемые уравнением Париса с коэффициентами показателя степени при КИН Шр= 2 до точки перехода, а далее — Шр = 2 (рис. 4.4). Сопоставляемые уравнения отличаются друг от друга только записью, тогда как управляющие параметры в уравнениях (4.20) и (4.21) включают в себя все константы уравнения Париса, в том числе и напряжение. Поэтому далее мы будем рассматривать процесс распространения усталостной трещины на мезоскопическом масштабном уровне, как протекающий в два этапа на уровнях мезо I и II и описываемый двумя уравнениями движения (4.20) и (4.21). [c.198]

Если в них положить последовательно г = 1, 2, 3,..., и, то получим п независимых уравнений движения системы в форме, данной Лагранжем, который, повидимому, первый дал постановку, а также математическую формулировку общего метода динамики, применимого ко всем системам с конечным числом степеней свободы 2). [c.189]

Далее, поскольку оценка переходного процесса дается коэффициентом динамичности, представляющим отношение наибольшего мгновенного значения сил упругости к статической нагрузке, то явление рассеивания энергии при колебаниях, как правило, не учитывается. Поэтому дифференциальные уравнения движения не будут содержать нечетных производных. [c.57]

В области небесной механики много великолепных работ дали два француза — Алексис Клеро (1713—1765) и Жан ле Рои Д Аламбер (1717—1783), издавший в 1743 г, свой знаменитый Трактат по динамике . В этом трактате Д Аламбер показал, между прочим, как привести уравнение движения точек, связанных между собой, к задаче динамического равновесия. В течение XVIII в. были решены многие вопросы теоретической механики и перед механикой встала задача — дать общий метод, при помощи которого возможно было бы решение всех механических проблем чисто аналитически. Такой метод нашел Луи Лагранж (1736—1813). Его знаменитая Аналитическая механика изложена без единого чертежа, на основе общего метода. [c.15]

Далее, если мы обозначим через а,. .., А систему Чп произвольных постоянных в интеграле уравнений движения, то 1> 9i> будут функциями а, h ж t, и мы можем написать выражеше фазового объема в форме [c.28]

Дальнейшие занятия вопросами теории движения тел переменной массы привели Мещерского к созданию вполне законченной и строго обоснованной динамики точки переменной массы. Впервые в научной литературе Мещерский опубликовал основные диф рен-циальные уравнения движения точки переменной массы в 1897 г. и тем самым дал возможность получения количественных закономерностей для различных частных задач движения. В настоящее время следует подчеркнуть, что одной из существенных гипотез, лежащих в методе Мещерского, является гипотеза близкодейсшия (контактного взаимодействия) точки и отбрасываемых частиц. Допускается, что в момент отделения частицы от тела (точки) происходит явление, аналогичное удару частица за очень малый промежуток времени получает относительную скорость Fj, и дальнейшее взаимодействие частицы и основного тела прекращаетея. Если dM — масса отбрасываемой частицы, М — масса основной точки, [c.112]

Но задачу можно решить и иначе — используя не кинематическое соотношение между ускорениями, а геометрическое соотношение между координатами нашей точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета ). Действительно, пусть Oxyz — инерциальная, а Ax y z (рис. 36) — неинерциальная системы отсчета. Проинтегрировав уравнение движения точки М х, у, Z) в инерциальной системе, мы найдем x t), y t), z(t). Далее, закон движения системы Ax y z как твердого тела относительно системы Oxyz определяется тремя координатами точки А и тремя эйлеровыми углами ) так как этот закон должен быть известен, то мы знаем шесть функций времени XA(t), i/a(0 2а(О PIO 0(0 ф(0- нахождения относительного движения точки М мы должны найти ее координаты х, у г в системе Ax y z Из равенства г = г — г а (рис. 36) получим, проектируя все векторы на оси Ax y z [c.120]

Далее будет показано, что это —векторные уравнения движения, лвух материальных притягивающихся или отталкивающихся точек. [c.46]

В примененном раесуждении использовалась следующая необоснованная рекомендация если при решении системы уравнений движения с нсудерживаю-щими связями, которые находились в напряженном состоянии, какая-либо из реакций обращается в нуль и меняет знак на обратный, то соответствующая связь ослабевает и далее уравнения движения решаются так, как если бы эта связь отсутствовала. [c.59]

Периодическая возмущающая сила вызывает вынужденные колебания материальной точки. Если возмущающая сила не является периодической функцией времени, то она вызывает также непериодическое движение, К этому выводу можно прийти на основании содержания 197 первого тома. Обращаем внимание на то, что при рассмотрении колебаний материальной точкй исходные предположения приводили к определению закона движения точки из линейного дифференциального уравнения. Далее будем иногда называть, как и в предыдущем параграфе, материальные системы, закон движения которых определяется из системы линейных дифференциальных уравнений, линейными системами и соответствующие колебательные движения — линейными колебаниями. [c.276]

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение Fa, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля /Са (ср. конец 36). В сформулированной в 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и S) модуля упругости. [c.225]

Например, в случае обтекания тела плавной формы при больших значениях числа Рейнольдса пограничный слой настолько тонок, что распределение давлений по поверхности тела определяется в первом приближении из уравнений движения идеальной жидкости. Далее, как будет показано в гл. VI, по известному распределению давлений можно рассчитать пограничный слой и найти напряжения треипя у поверхности. При необходимости можно во втором приближении рассчитать влияние пограничного слоя на внешнее обтекание тела (за пределами слоя) и затем определить более точно напряжения трения. Но [c.91]

В. М. Коновалов исследовал водяные струн, вытекающие из сопла в пространство, замятое водой, находящейся в неподвижном состоянии. Считая, что масса струп изменяется по длине ее за счет подсасывания в нее жидкости из окружающего пространства, проф. Коновалов применяет к струе общее уравнение движения потока с переменной массой. Принимая затем давление в струе постоянным II пренебрегая обычными силами трения, он приходит к уже известному нам положению, что секун.лпое количество движения в каждом сечении струи имеет одно и то же значение. Далее, из уравнения динамического равновесия, составленного с учетом сил сопротивления трения, и уравнения постоянства количества движения В. М. Коновалов получает для средней скорости в сечении струи, отстоящем на расстоянии I от насадка, сле.чующее выражение [c.113]

При стационарном обтекании бесконечной пластины плоскопараллельным потоком все точки потока, отстоящие на одном и том же расстоянии 2 от пластины, должны быть эквивалентны, так что да, и да зависят лишь от 2, вследствие этого все производные по х в уравнении движения будут равны нулю. Далее из уравнения неразрывности, учитывая, что да = да , (г), следует dwjdz = О, т. е. да = onst. Но на поверхности пластины да = О и, следовательно, повсюду да = 0. [c.414]

Из уравнения (11.77) далее может быть получено уравнение движения жидкости в пограничном слое. Так как и хш1г — величины одного и того же порядка, а частная производная по х намного меньше частной производной по 2, то членами дхй)]х1дх и д и>х/дх в уравнении движения можно пренебречь. Вследствие этого уравнение движения жидкости в турбулентном пограничном слое цилиндрической трубы примет вид [c.424]

Составлением дифференциального уравнения неравномерного движения занимались Кориолис, который дал приближенное решение задачи, Буссинеск, предложивший современное решение вопроса, и др. Что касается интегрирования дифференциального уравнения неравномерного движения, то современные способы решения этой задачи были разработаны в СССР Б. А. Бахметевым, Р. Р. Чугаевым, А. Н. Рахмановым и др. [c.272]

Это уравнение позволяет предвидеть без всякой интеграции, каков будет характер движения. Предположим, что начальное положение Mq не находится на вертикальном диаметре окружности, так что Mq не есть положение равновесия (так как нормальная реакция не прямо противоположна весу). Точка М будет поэтому спускаться вдоль окружности со скоростью, возрастающей вместе с г, до самого нижнего положения у основания вертикального диаметра, где v имеет наибольшее значение. Потом точка начнет 1 0дниматься по окружности с другой стороны от рертикального диаметра с убывающей скоростьк> до того момента, когда она достигнет своей начальной высоты в точке С, где ее скорость обратится в нуль. В этом положении не будет равновесия точка М будет поэтому двигаться в обратном направлении, пока она не возвратится в свое начальное положение Mq, где ее скорость снова обратится в нуль. В этот момент положение будет точно такое же, как в начале движения, поэтому далее весь процесс повторится. Таким образом, точка будет совершать колебательное движение в ту и другую сторону от Вертикали. Так как скорость проходит через одни и те же значения на одних и тех же уровнях, то продолжительность колебаний будет неизменной. Колебательное движение будет поэтому периодическим [c.184]

Эти уравнения представляют собой уравнения отнсситель-иого движения точки М. В кинематике (п° 80 и 81) мы дали способ определения проекций векторов j" и /". [c.209]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 83 = 0 следуют уравнения (ЗГ), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и Ьд ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 8 , Ъд, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве (между теми же крайними значениями для д, но не необходимо для р). [c.453]

Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченньш, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...