Ковариантная форма уравнений

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА) [c.121]

Общие представления о ковариантных формах уравнений движения [c.121]

ГЛ rV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.122]

Хотя Б системах, которые мы сейчас рассматриваем, п может быть равно лишь ЗЛ/, мы нигде далее в этой главе этим обстоятельством пользоваться не будем. Это позволит в конце главы сделать важное обобщение полученной ковариантной формы уравнений движения на системы с механическими связями. Имея в виду такое обобщение, мы будем считать, что п не обязательно равно 3N, а удовлетворяет неравенству причем если n<3N, то [c.125]

ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ [c.126]

Ковариантная форма уравнений. Преобразование Лоренца получено нами для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать правильным. Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать законы физики в отношении инвариантности их формы при преобразованиях Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы, пользоваться понятием четырехмерного пространства Минковского, введенного в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет установить непосредственным путем. [c.218]

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ 219 [c.219]

КоварианТнАя форма уравнений [c.221]

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ 223 [c.223]

Согласно (18.5) ковариантная форма уравнения движения имеет вид [c.93]

Как и в классической динамике, будем рассматривать движение материальной частицы. Заметим прежде всего, что закон инерции инвариантен относительно преобразований Лоренца, т. е. если частица движется без ускорения относительно инерциальной системы 5, то она будет двигаться без ускорения и относительно другой инерциальной системы 5 . Для нахождения ковариантной формы уравнений движения их нужно представить четырехмерными векторами. [c.641]

Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.225]

Таким образом, в результате преобразования форма уравнений не изменилась, а F как функция новой переменной г отличается от / как функции старой переменной г. Следовательно, рассматриваемое уравнение движения материальной точки представлено в форме, ковариантной относительно сдвигов. Читатель может сам убедиться в том, что это же уравнение инвариантно относительно поворотов вокруг любой оси, но лишь ковариантно относительно галилеевых преобразований. [c.47]

Ковариантная форма лагранжиана. Хотя описанная процедура получения лагранжиана и приводит к правильным релятивистским уравнениям движения, однако она является релятивистской лишь в определенном смысле, так как не является ковариантной. [c.233]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

В дальнейшем мы встретимся с ковариантностью дифференциальных уравнений, составленных в форме уравнений Лагранжа, по отношению к любым заменам обобщенных координат и с ковариантностью уравнений, составленных в форме Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям. И в этих случаях речь идет об инвариантности правила составления дифференциальных уравнений, а не об инвариантности самих составленных уравнений . [c.13]

Запишем эти уравнения в ковариантной форме, вводя 4-потенциал поля = (Ло, А). В терминах тензора электромагнитного поля [c.485]

Решение. В задаче 11.2.7 получено решение в ковариантной форме. Здесь используем примитивный метод решения дифференциальных уравнений. [c.493]

Как мы увидим далее, это возможно для всех фундаментальных уравнений классической макроскопической физики. Поэтому с некоторых пор возникла уверенность, что все законы природы можно записать в тензорной форме. Однако с появлением квантовомеханической теории электрона Дирака [62] стало ясно, что для описания некоторых физических систем кроме тензоров требуются так называемые спиноры с совершенно иным законом преобразования, но тем не менее удовлетворяющие ковариантным дифференциальным уравнениям типа (4.21), (4.2Г). [c.76]

В предыдущих параграфах мы видели, что ковариантность основных уравнений механики при преобразованиях Лоренца выглядит особенно изящно, когда эти уравнения записаны в четырехмерной векторной форме. Чтобы полу- [c.83]

Сохранение формы уравнения называется ковариантностью уравнения, а сохранение величины — инвариантностью величины. Но часто термин инвариантность употребляют и для величин, и для уравнений. [c.65]

Сохраняется лишь общая форма уравнений движения (6.8) во всех ИСО. Что же касается входящих в них величин — проекций 4-векторов, то они в разных системах имеют различные значения. Сохранение формы уравнений (при изменяющихся в них величинах) в математике называют ковариантностью. Таким образом, получены уравнения движения (6.8), ковариантные по отношению к преобразованиям Лоренца. Для практических применений следует пользоваться системой уравнений (6.1) и (6.5), эквивалентной четырехмерному уравнению (6.8). Эти уравнения также будут кова-риантны, т. е. будут иметь указанный в равенствах (6.1) и (6.5) вид [c.284]

Используя формулу ( ), представим уравнение ( ) в ковариантной форме [c.109]

Из уравнения (3-4.16) следует, что r ij можно отождествить с матрицей ковариантных компонент нижней конвективной формы тензора J [c.114]

Если иметь в виду преобразования вида (4), то этому определению удовлетворяют уравнения движения в форме (7) с соответствующим общим выражением функций F ,Fy, p2 . Однако такая ковариантная форма уравнений движения неудобна, потому что она содержит для каждой точки 12 функций, меняющих свой вид при преобразовании — ими являются функции F , Fy, Fz, и девять частных производных в правых частях уравнений (7), т. е. I2jV функций для системы из N точек. Кроме того, функции, входящие в уравнения (7), лишены механического смысла. [c.123]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

Эти примеры поясняют понятие ковариантная форма записи уравнений движения , взеденное в гл. II форма записи уравнений называется ковариашпной по отношению к некоторому семейству преобразований, если при любом преобразовании из этого семейства форма записи уравнений не меняется, а меняются лишь содер-жаш иеся в этой зшшси функции от новых преобразованных) координат, первых производных и времени. [c.123]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...