Интегрирование уравнений равновесия следящих

Как следует из формул (6.45), непрерывные выражения для перемещений получаются в безмоментной теории только в том случае, если произвольные функции (ф), 7а (ф). возникающие при интегрировании уравнений равновесия, непрерывны вместе со своими производными соответственно до третьей и до второй включительно. Это накладывает определенные ограничения на допустимые виды нагрузок и граничных условий. Так, в част- [c.305]

В качестве примера определения внутренних сил и моментов с помощью интегрирования уравнений равновесия рассмотрим следующую задачу замкнутое кольцо постоянной изгибной жесткости EJ нагружено касательной сосредоточенной силой Т (рис. 4.5, а). Силу Т уравновешивают распределенные касательные силы [c.112]

Следуя [51], используем разные контрольные уравнения на первом и последующих шагах интегрирования. На первом шаге интегрирования уравнений равновесия задачу удобно решать [c.216]

Сравнивая задачу (7.33) с задачей (7.29), видим, что их отличие заключается в том, что при матрице Кг в уравнении (7.29) стоит множитель а в (7.33) — множитель /i. Из сопоставления выражений (7.28) для элементов матриц Ki и Кг видно, что для достаточно малого шага во времени элементы матрицы Кг пренебрежимо малы по сравнению с элементами матрицы Ki в силу того, что Ui j С и О < /г < 1. Отсюда следует, что при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к обобщенной задаче на собственные значения [c.225]

Задача может быть сведена к интегрированию уравнений равновесия (1) при следующих граничных условиях [c.61]

Здесь величины р Т1 з безразмерны, Р зависит от температуры и, следовательно, является заданной функций координат. Принцип решения осесимметричных задач состоит в следующем. В результате интегрирования уравнений равновесия и совместности находятся радиальное, окружное и осевое напряжения как некоторые функционалы от р, содержащие еще константы интегрирования. Для диска 0 . = О, 0 и 00 зависят от двух констант В та С. Уравнение (4.6) приводится к виду [c.140]

Кинетические или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. Такие уравнения называют жесткими . К релаксационным уравнениям относятся следующие уравнения сохранения массы химической компоненты, скоростей и температур частиц в двухфазных потоках и др. [c.204]

Точные решения, полученные результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов [c.641]

Теперь w (s) легко определить из второго уравнения (18.33). Следует обратить внимание на то, что в построенном решении присутствует лишь одна постоянная интегрирования i- Вторая постоянная интегрирования, которая должна получиться после интегрирования первого из уравнений равновесия (18.29), нами уже использована, так как это дифференциальное уравнение равновесия было заменено уравнением равновесия (18.30) конечной части оболочки. Таким образом, в обш,ем случае интегрирования оболочки вращения при осесимметричной деформации в нашем распоряжении имеются две постоянные интегрирования. [c.433]

Мы уже показали, что решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия вместе с условием совместности и граничными условиями. Начнем со случая, когда единственным видом объемных сил являются силы тяжести. Тогда должны удовлетворяться следующие уравнения [c.49]

Графическое интегрирование уравнений Лямэ — Максвелла. Уравнения равновесия Лямэ —Максвелла имеют, как известно, следующий вид [ ] ) [c.209]

В условии равновесия (4.205) под компонентами обобщенных деформаций Я следует понимать их представления через перемещения [см. (4.200)1. Интегрирование (4.205) по частям приводит к разрешающим уравнениям равновесия в перемещениях, а также определяет компоненты кинематических и силовых условий. [c.176]

Установив измерением твердости распределение интенсивности напряжений, можно в ряде случаев определить напряженное состояние интегрированием дифференциальных уравнений равновесия. Весьма часто имеет смысл определять интенсивность напряжений по твердости и в случае определения напряженного состояния по кинематике деформирования. Целесообразность такого сочетания экспериментальных методов обусловлена следующим. [c.88]

Уравнение (1.5) позволяет получить дифференциальные уравнения равновесия и обеспечивает выполнение граничных условий. Относительно граничных условий следует заметить, что в (1.5), во-первых, подразумевается, что действительные и возможные перемещения удовлетворяют главным (кинематическим) условиям на т. е. u=Uo, би=0, во-вторых, внещние поверхностные силы р, определяющие естественные (силовые) граничные условия на поверхности Sp, непосредственно входят в функционал работы внешних сил. Для получения уравнений равновесия необходимо конкретизировать связь между деформациями и перемещениями и выполнить операции интегрирования по частям. Такой прием получения уравнений равновесия и задания граничных условий оказывается весьма удобным для получения разрешающих уравнений различных вариантов приближенных теорий, основанных на сложных кинематических гипотезах деформирования. [c.7]

Нетрудно показать, что принцип возможных перемещений (1.7) можно было бы не постулировать, а получить из уравнений равновесия (1.9) и (1.10). Для этого их следовало умножить на би и представить в эквивалентной интегральной форме (1.8). После интегрирования по частям (1.8) с учетом самосопряженности оператора L получим уравнение (1.7). [c.8]

Относительно матрицы жесткости элемента К (1.111), (1.112) можно сказать следующее. Полученная с помощью интегрирования канонической системы (1.107) матрица жесткости одномерного элемента не связана с аппроксимациями по координате 5 полей перемещений, деформаций или напряжений и является точной в отличие от матриц жесткости, полученных в предыдущих разделах. В этом случае можно утверждать, что внутри элемента уравнения равновесия и совместности деформаций выполняются строго и соответствующие поля перемещений элемента содержат необходимые перемещения как жесткого целого. С использованием свойств матрицы фундаментальных решений (1.118) можно показать, что матричные блоки Kij, полученные согласно (1.112), обладают следующими свойствами Kii = Kii K2i = Ki2 К22=К22 , т. е. матрица жесткости К является симметричной. [c.34]

Решение двумерных задач при помощи функции напряжения. Как было показано в предыдущем пункте, решение двумерных задач теории упругости сводится к интегрированию системы уравнений, образованной дифференциальными уравнениями равновесия и уравнением совместности деформаций. Ограничиваясь случаем, когда на тело действует только сила тяжести, получим следующие уравнения [c.581]

В заключение отметим, что при решении конкретных задач основные трудности возникают, как правило, при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия нити. Однако следует иметь в виду, что во многих случаях уравнения равновесия нити интегрируются сравнительно легко, а наибольшие затруднения появляются при построении решения, удовлетворяющего граничным условиям. [c.14]

Из приведенного выше рассмотрения принципа работы кругового полярископа и интерферометра (ИПТ) следует, что для исследования плосконапряженного состояния модели можно измерить разность напряжений 01 — сгз на полярископе, а затем сумму Ох + 02 на интерферометре. Эти результаты, полученные последовательно, дают возможность получить абсолютные значения для сг1 и сгз, не прибегая к численному интегрированию дифференциальных уравнений равновесия. Однако здесь возможно появление неконтролируемых систематических ошибок, так как поляризационные измерения проводятся на моделях из оптически чувствительного материала , а интерферометрические — из оптически нечувствительного материала. В этом случае напряженные состояния обоих моделей могут быть не вполне идентичными. [c.258]

Выражая разность Ог — Ог при помощи первой из формул (16.216) и подставляя ее с учетом только что полученного значения ф в уравнение равновесия (16.198), получаем после интегрирования следующее выражение для радиального напряжения вг. [c.709]

В заключение следует отметить, что интегрирование уравнений теории оболочек и пластинок в элементарных или специальных (табулированных) функциях удается лишь в исключительных случаях. Далеко идущие результаты в этом направлении достигнуты А. Д. Коваленко, разработавшим применение теории обобщенных гипергеометрических функций для определения напряженного состояния в дисках, круглых пластинках переменной толщины и конических оболочках вращения по линейной теории равновесия. Эти результаты частично изложены в монографиях и обзорной ста.тье А. Д. Коваленко (1955, 1959, 1963) и в книге А. Д. Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина (1963). [c.234]

В безмоментной теории оболочек при статически определимом варианте краевых условий распределение усилий Л ц, Т может быть найдено из одних лишь уравнений равновесия, поэтому оно остается в силе также для ползущей оболочки. Очевидно, что в стадии неустановившейся ползучести перераспределение напряжений при этом не будет иметь места (если нагрузки постоянны). При известных усилиях скорости деформации срединной поверхности ёц, е , у сразу же определяются при помощи первых трех соотношений (47), в которых следует положить Ма = М = Я = 0. Вычисление перемещений по найденным деформациям осуществляют путем интегрирования зависимостей (14) гл. 20 т. 1. Случай статически определимой осесимметричной оболочки рассмотрен в работе [5]. [c.118]

Расчет равновесия с помощью формулы Планка — Эйнштейна производится следующим образом. Для расчета используется точная формула константы равновесия, получающаяся в результате интегрирования уравнения изобара в пределах от То лоТ [c.28]

Подставляя значение Од из уравнений пластичности в уравнение равновесия (105) и выполняя интегрирование с использованием для отыскания произвольной постоянной интегрирования граничных условий, по которым 0р = О при р = R и при р = г, получаем следующие формулы, позволяющие оценить распределение напряжений по ширине изгибаемой на ребро заготовки [c.100]

Прямое интегрирование диференциальных уравнений равновесия. Колонна (фиг. 2) сжата силой Р, действующей вдоль оси ее. При малой Р колонна остается прямой. При увеличении Р может наступить такой момент, когда прямолинейная форма колонны делается неустойчивой и колонна искривляется. Для нахождения того значения Р, при к-ром начинается это искривление, предполагают, что колонна уже искривилась, и составляют диференциальное ур-ие изгиба для малых отклонений от прямолинейной формы равновесия. При малых отклонениях это уравнение получается линейным. Интегрируют его и определяют из" граничных условий произвольные постоянные, вошедшие при интегрировании. Эта операция приводит к конечным уравнениям, в к-рые входят произвольные постоянные интегрирования, сила Р и размеры колонны. Критич. значение Р находится из того О соотношения между силой и размерами колонны, при к-ром уравнение изгиба может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям (изгиб продольны й—см. Изгиб). Его иногда изменяют след, обр. к силе Р, критич. значение к-рой надо определить, присоединяют еще какую-либо силу (напр. поперечную силу или момент) и смотрят, при каком значении Р прогиб, вызываемый дополнительной силой, будет неопределенно возрастать. Это значение Р и будет С. к. [c.392]

Начальные условия для подготовительного периода отличаются от тех, которые рассматривались выше при анализе устройства общего типа т = О, X = О, X = О, К = 1, 2 = Уравнение (313) в этом периоде теряет физический смысл. Интегрирование следует продолжать до тех пор, пока давление в полости управления не достигнет значения, которое может быть определено из уравнения равновесия. Уравнение равновесия получим из уравнения (313) при подстановке в него X О, X О, У 1 [c.191]

Систему уравнений (12.15.1) можно получить элементарным способом, второе уравнение иногда называют уравнением Лапласа, оно справедливо не только для осесимметричной оболочки, но для любой оболочки,- отнесенной к линиям кривизны. Первое уравнение можно получить, рассматривая равновесие кольца, заключенного между двумя бесконечно близкими параллелями. В это уравнение войдет величина которая исключается с помощью второго уравнения, отсюда появление усилия N2 в этом уравнении. Но для интегрирования системы (12.15.1) мы пойдем по прямо противоположному пути, а именно, исключим из первого уравнения jVj. Получившееся уравнение содержит только iVi, оно легко интегрируется и мы получаем следующий результат [c.426]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Следует заметить, что слагаемое —2ру1к в выражении для Оу, представляющее собой вклад силы тяжести у=ВР в это напряжение, получено без помощи функции напряжений Р (которая удовлетворяет однородному уравнению АД =0) и найдено путем прямого интегрирования уравнения равновесия дОу1ду=—-2р1к. [c.248]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Метод, использованный для разделения главных напряжений, представляет собой процедуру численного интегрирования, основанную на преобразовании Файлона уравнений равновесия Ламе — Максвелла для оси симметрии [27]. Этот метод успешно применялся Сэмпсоном [59] для аналогичного двумерного образца. Если в данной точке с координатой Xq или уо известно главное напряжение Ох или Оу, то напряжение в любой точке вдоль оси симметрии определяется по следующим формулам [c.529]

Интегрирование уравнения (3.128) можно проводить уже после интегрирования основной системы, так как эта система является вамкнутой, и практически всегда. имеется достаточное количество граничных условий для ее интегрирования (исключением, являются только статически неопределимые оболочки, т. е. оболочки, в которых осевая сила F (s) не может быть определена из уравнения равновесия). Лишь в исключительных случаях (короткие и пологие оболочки) система уравнений (3.124)—(3.127) может быть проинтегрирована-методом начальных параметров. Чаще же, в связи с наличием краевых эффектов, метод начальных параметров оказывается неприменимым, и следует использовать либо метод ортогонализации С. К. Годунова, либо метод-факторизации (см. гл. И.) [c.193]

Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе линейный закон изменения напряжений а, Оу, Т"ху ПО толщине ПЛЗ" СТИНЫ и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений при условии, что прогиб W не меняется по толщине пластины. При этом получается кубический закон изменения перемещений ы, оно толщине лластины. Подставляя эти перемещения в соотношения закона Гука для напряжений а, Оу, Хху, он получает следующее приближение для этих напряжений квадратичный закон изменения по толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений, имеют такой же вид, как и в работе [25]. [c.192]

В соответствии с выражениями (4.1) перемещение малого элемента dx dy dz в направлении оси х вследствие изгиба равно —Z dWfldx, что дает увеличение оказывающей сопротивление силы инерции на величину р dx dy dz х d Wj/dx df, где p — плотность материала, t — время. Суммарный момент такого сопротивления относительно оси у элемента dxdz/й, получаемый интегрированием от —А/2 до А/2 приведенного выше выражения для силы, умноженного на плечо, равен ph dx dy d w/dx df)/ 2. Разделив эту величину на dx dy, прибавляем ее к правой части уравнения равновесия моментов 2 = О из уравнений (4.8). Подставляя в это уравнение выражения (4.14) и находя отсюда поперечную силу Fxz, проделаем аналогичные выкладки для силы Руг, тогда получим следующие модификации соотношений (4.15) и (5.846) [c.385]

Тогда из равновесия каждого отдельного слоя следует, что т должно быть постоянным и интегрирование уравнения (XVII. 5) дает [c.275]

Для получения полной системы уравнений к соотношениям (27) или (28) нужно присоединить дифференциальные уравнения равновесия и неразрывности, содержащие производные по пространственным координатам. Так как операции дифференцирования и интегрирования по пространственным координатам и времени переместительны, можно указать следующий способ решения. [c.142]

Первый мемуар Пуассона зб) по рассматриваемому вопросу был прочитан Парижской академии в апреле 1828 г. Этот мемуар интересен заключающимися в нем многочисленными приложениями общей теории к частным задачам. При рассмотрении вопроса об общих уравнениях Пуассон так же, как и Коши, начинает с вывода уравнений равновесия, выраженных в компонентах напряжения, и вычисляет усилие на какой-либо площадке, происходящее от интрамолекулярных сил. Формулу, выражающие напряжения через деформации, содержат суммы, которые берутся по всем молекулам , находящимся в области действия данной молекулы . Пуассон не находит возможным заменить все суммы интегралами и считает, что это может быть сделано лишь при суммировании по телесному углу вокруг данной молекулы , ро не при суммировании по величине,, расстояния, отсчитываемого от нее. Уравнения равновесия и движения, изотропного упругого твердого тела, которые получаются таким образом, не отличаются от уравнений Навье. Принцип, по которому суммирования могут быть заменены интегрированием, разъяснен Коши зз) следующим образом для, объема, содержащего очень много молекул и имеющего малые размеры по сравнению с радиусом той сферы, в которой проявляется заметное молекулярное действие, число молекул можно считать пропорциональным объему если теперь мы оставим в стороне молёкулы находящиеся в непосредственной близости к рассматриваемой молекуле, то действие всех молекул, заключенных в одном из малых объемов, о которых была речь, эквивалентно силе, ухиния действия которой проходит через центр тжкести объема, а величина пропорциональна этому объему и некоторой функции от расстояния между центром тяжести объема и данной рассматриваемой молекулой. Действие более удаленных молекул именуется регулярным , а действие более близких— нерегулярным . Пуассон считал, что нерегулярным действием более [c.23]

Анализ формул (156) и (158) показывает, что искомое перемещение и удовлетворяет условию отсутствия нагрузки на боковой поверхности диска (на его торцах, определяемых линиями 2= onst). На крайних контурных линиях 91 = onst удовлетворить граничным условиям можно за счет двух произвольных постоянных интегрирования уравнения (157). Поэтому получаемые решения уравнения (157) следует рассматривать как точные в отношении удовлетворения граничных условий, но приближенные в отношении равновесия внутри объема. Равновесие по объему диска в данном случае по координате qi выполнено в интегральной форме (в среднем). Однако, как видно из формул (157), если коэффициенты Ламе Яь Яг, Яз раскладываются на множители, зависящие в отдельности только от координаты qi и qi, то искомое ре- [c.198]

Отметим, что равномерное давление, распределенное по части FD мембраны, статически эквивалентно давлению той же величины, равномерно распределенному по пластинке D, а растягивающие усилия в мембране, действующие вдоль границы этой пластинки, находятся в равновесии с равномерной нагрузкой на пластинке. Следовательно, в рассматриваемом случае может использоваться тот же экспериментальный метод с мыльной пленкой, что и раньше, так как замена части мембраны FD пластинкой D не вызывает изменений в конфигурации и в условиях равновесия остальной части мембраны. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда границы отверстия уже не являются траекториями иаирял ений для сплошного вала. Из общей теории кручения мы знаем (см. 104), что вдоль каждой границы функция напряжений должна быть постоянной, однако эти постоянные не могут выбираться произвольно. При рассмотрении многосвязных границ в двумерных задачах было показано, что в подобных случаях необходимо обраи1,аться к выражениям для перемещений, и постоянные интегрирования следует подбирать таким образом, чтобы эти выражения становились однозначными. Аналогичная процедура необходима и по отношению к задачам о кручении полых валов. Постоянные значения функции напряжений вдоль границ следует определять таким образом, чтобы перемещения были однозначными. Тогда будет получено достаточное число уравнений для определения [c.335]

Уравнение (2-31), как следует из его вывода, справедливо для любых фазовых равновесий в чистом веществе. После интегрирования оно дает связь между давлением и температурой, необходимую чтобы фазы 1 и 2 находились в равновесии. Для любого чистого вещества (кроме гелия) в равновесии могут попарно находиться твердая фаза и газ, жидкость и газ и твердое тело и жидкость. Если проинтегрировать уравнение Клапейрона — Клаузиуса для каждого из названных фазовых переходов, то получатся уравнения кривых (в координатах р, Т), представляющих собой геометрическое р j., место точек, в которых возмож- д чистого вещества, но фазовое равновесие соответствующих двух фаз. Эти кривые соответственно называются кривая сублимации, кривая парообразования и кривая плавления. Поскольку для чистого вещества возможно одновременное равновесие трех фаз, кривые сублимации, парообразования и жлав-ления должны пересекаться,в одной точке, представляющей собой тройную точку данного вещества. Перечисленные кривые изображены на рис. 2-1, где О — тройная точка, О А — кривая сублимации, О/С — парообразования и ОВ — плавления. Совокупность этих кривых в р, Т-коордпнатах представляет собой фазовую диаграмму. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...