Размерные Решения — Уравнения

Направления повышения эффективности методов анализа. Высокие размерности задач проектирования, необходимость выполнения многих вариантов решения систем уравнений при проектировании ЭВМ и других сложных технических объектов обусловливают большие затраты вычислительных ресурсов. Поэтому повышение экономичности методов анализа при соблюдении требований точности является актуальной задачей создания и совершенствования математического обеспечения САПР. Эта задача решается на основе идей и методов, группируемых в несколько направлений. [c.225]

Решая (1.80) относительно сеточной функции щ, найдем таблицу значений, аппроксимирующую решение краевой задачи (1.77). При уменьшении шага Л сетка становится все гуще , а таблица значений сеточной функции—все подробнее. При неограниченном стремлении шага к нулю можно было бы получить значения искомой функции в каждой точке области. Однако в реальных случаях степень приближения к точному решению ограничивается рядом факторов, важнейшим из которых является размерность результирующей системы уравнений (1.80). [c.44]

Решение этого уравнения можно найти, воспользовавшись методом размерностей. Искомая функция Q должна зависеть от параметров г, t, v, но, кроме того, в нее должна входить циркуляция Го, которой прямо пропорциональна величина вихря Q. Поэтому решение можно искать в виде [c.302]

Решение этого уравнения можно найти, если воспользоваться методом размерностей. Уравнение (8-22) свидетельствует, что искомая функция й должна зависеть от параметров г, t, V, но, кроме того, в нее должна входить циркуляция Гд, которой вели- [c.337]

Величина Q, имеющая размерность с в уравнении (48.18) определяет скорость изменения н Ь -При не очень больших амплитудах Sq электрического поля волны она достаточно мала по сравнению с ш. Это означает, что решение уравнения [c.258]

Расчетные уравнения подобия при вынужденном течении жидкостей в трубах получают как аналитически путем решения интегрального уравнения теплоотдачи, так и с помощью теории подобия и размерностей путем обработки результатов экспериментальных исследований. [c.301]

Большое число переменных затрудняет аналитическое решение такого уравнения. Задача легче решается, когда размерные переменные объединяются в безразмерные комплексы (критерии). Если переменная выражается в долях от другой одноименной величины, принимаемой за характерную, то безразмерная величина называемая симплексом, характеризует или то, насколько она отличается от максимальной (например, безразмерная температура 0 = / тах 1), или во сколько раз она превышает величину, принятую в качестве калибра (например, безразмерная длина трубы L=//d кратна диаметру ее). Безразмерные комплексы или критерии подобия состоят из разноименных величин, объединение которых осуществляется строго по соответствующим правилам. [c.146]

В основе теории размерностей лежит принцип размерной однородности физических уравнений, установленный в прошлом веке Фурье. Выводы, получаемые с помощью теории размерностей, могут оказать большую помощь при математическом решении сложных уравнений и, главное, при постановке экспериментальных исследований, поскольку они указывают на оптимальные варианты проведения опытов и способы обобщения их результатов. [c.147]

На первом этапе, желая упростить решение системы уравнений теории упругости, часть искомых функций стараются угадать , при этом система уравнений упрощается, так как в ней искомыми оказываются только остальные неизвестные функции. Конечно, угадать в полном смысле этого слова искомые функции невозможно. В основу такого априорного выбора функций должны быть положены те или иные соображения. Обычно, если решается такая задача, которая могла бы быть решена при упрощенном подходе и в элементарной теории (например, в сопротивлении материалов), то некоторые из искомых функций могут быть взяты из упомянутого элементарного решения. Если решается задача, которая не может быть решена средствами элементарной теории, то в основу априорного выбора некоторых функций кладутся те или иные умозрительные соображения или в ряде несложных случаев удается использовать теорию размерностей ). В качестве иллюстрации такого выбора функций приведем следующий пример. [c.634]

Построение ПД с учетом динамики робота сводится к решению двухточечной краевой задачи с граничными условиями (2.43) и ограничениями (2.44)—(2.46). Многие известные методы решения краевых задач здесь малоэффективны или даже непригодны. Трудности усугубляются высокой размерностью и нелинейностью уравнений динамики (2.2), а также сложным характером ограничений (2.44)—(2.46). Эффективным методом динамического синтеза ПД является метод параметризации ПД с учетом граничных условий (2.43), накладываемых на начальное и конечное состояния робота [107, ИЗ], В этом методе воплощена идея априорного выполнения граничных условий (2.43) и учета структурного ограничения (2.46). Это достигается за счет специального выбора базисных функций. В таком подходе заложен глубокий смысл при отыскании приемлемых параметров ПД уже не нужно за- [c.52]

Решение этого уравнения при помощи методов теории размерностей приводит к критериальным зависимостям вида [c.140]

Размерность задачи понижается, поскольку элементы представляют только границы моделируемой области. Однако применение этого метода требует знания фундаментального решения системы уравнений, которое бывает трудно получить. [c.21]

С другой стороны, пренебрежение начальными смещениями в уравнении (3.35) оказывается невозможным (б 0 ПГ оо, П4 аэ), так как учет влияния параметра б положен в основу условий единственности решения системы уравнений (3.27). Более гибким в этом смысле оказывается метод анализа размерностей, который приводит с помощью (3.32) к критериальному уравнению большей степени общности [c.66]

Попытки учета коллективных взаимодействий путем использования методов статистической физики [64, 65] наталкиваются на технические трудности, связанные с большой размерностью задачи. В результате удалось получить асимптотические решения кинетического уравнения коагуляции для некоторых частных модельных условий. Использование численных методов и ЭВМ также не позволяет существенно продвинуться в направлении решения реальных задач [64]. [c.38]

Следует указать, что принятое изложение метода подобия не является единственно возможным. Широко используется и другой, на первый взгляд более простой способ, основанный на принципе размерностей ). Этот метод в явной форме не пользуется дифференциальными уравнениями и соответствующими им граничными, начальными и другими возможными условиями единственности решений этих уравнений, но требует достаточно глубокого понимания сущности явлений, без чего нельзя правильно выбрать основную систему физических параметров, описывающих явление, и указать, какие из них в постановке рассматриваемой конкретной задачи являются заданными наперед, а какие зависящими от них. В основе теории размерности лежит П-теорема ). [c.372]

Как это непосредственно следует из соображений размерности, решение уравнений (206) для случая незакрученной струи, бьющей из бесконечно тонкого отверстия с нулевым расходом и конечным импульсом, будет автомодельным. Действительно, в случае очень больших рейнольдсовых чисел секундный импульс, одинаковый для всех сечений, определится как [c.508]

Решением алгебраического уравнения (4.16) (размерность матрицы Kmn(lXl)). сформированного с исходными данными (4.26), будет [c.182]

Для решения размерных задач кроме размерной схемы составляется уравнение размерной цепи вида [c.346]

Составление и решение основного уравнения размерной цепи. Составляем основное уравнение размерной цепи по формуле (74) [c.385]

Составление и решение основного уравнения размерной цепи. [c.389]

В этом примере мы нашли решение нелинейного уравнения для продольной скорости. Так как нашей целью было получение окончательного решения в безразмерном виде, то мы могли свободно подстраивать градиент давления. Если бы был задан размерный градиент давления и конкретное значение константы К [см. (11.1)] для реальной степенной жидкости, то было бы сложно начать процесс решения, так как никаких предположений о значении продольной скорости сделать нельзя. В этом случае лучше получить решение в безразмерном виде, как мы и сделали, а затем перевести его в размерный вид так, чтобы получить заданный градиент давления. [c.246]

Кроме выше перечисленных, относительно простых математических объектов, описывающих различные типы точных решений, аналитические методы позволяют рассмотреть еще очень широкий круг вопросов. Здесь в числе первых следует отметить методы понижения размерности задачи и методы качественного и частично количественного изучения свойств решений дифференциальных уравнений. Под методами понижения размерности понимают методы, позволяющие получить описание данного класса явлений с помощью уравнений, которые содержат меньшее по сравнению с исходной задачей число независимых переменных. Даже если число уравнений при этом увеличивается, сокращение числа независимых переменных, хотя бы на одну, позволяет существенно более точно и экономично решать такие задачи на ЭВМ. Понятно, что большая часть возникающих в практике задач нестационарна и трехмерна. Решать же трехмерные задачи даже на самых современных ЭВМ чрезвычайно сложно и трудоемко, в этой ситуации часто говорят о проклятии размерности . Поэтому ясно, что сведение трехмерной задачи хотя бы к двухмерной представляет очень большую ценность. [c.15]

К достоинствам этого подхода следует отнести уменьшение на 1 числа независимых переменных — система интегральных уравнений записывается на L, т.е. на многообразии размерности 1, что существенно упрощает исследование. В то же время необходимо учитывать, что задача определения решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода — некорректно поставленная задача математической физики, требующая для своего решения применения методов регуляризации. Описание таких методов приведено, например, в [302 ]. [c.160]

Так как размерность получаемого матричного уравнения больше или равна числу п конечных элементов, уже при достаточно небольшом числе конечных элементов необходимо использовать для решения задачи цифровые вычислительные машины. Для сокращения времени подготовки исходных данных для задач с большим числом конечных элементов используется процедура автоматического расчета на ЭВМ сетки из конечных элементов. Исходными данными этой процедуры являются форма детали, тип конечного элемента, положение граничных узлов и плотность конечных элементов. [c.143]

В этой статье мы рассмотрим применение метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), т. е. метода, согласно которому задача, заключающаяся в решении некоторого основного уравнения (обычно уравнения в Частных производных), справедливого в данной области при некоторых заданных граничных условиях, сводится к решению интегрального уравнения, которое относится лишь к границе области и учитывает граничные условия непосредственно. Преимущество такого преобразования заключается в том, что размерность задачи уменьшается на единицу, например трехмерное уравнение в частных производных сводится к двумерному интегральному уравнению. Хотя решение интегрального уравнения определяет искомые величины лишь на границе области, решение во внутренних точках, если это необходимо, можно получить при помощи квадратур. Иллюстрация этого подхода к задачам акустического излучения и рассеяния дана в работе [1]. Следует подчеркнуть, что мы не рассматриваем здесь применение метода интегральных преобразований, согласно которому пространственные координаты преобразуются к новым трансформированным переменным, задача решается в трансформированном пространстве и полученное решение преобразуется обратно к исходному координатному пространству. [c.18]

Интересны решения этого уравнения, обращающиеся в нуль при ц = д,. Параметр ц в общем случае имеет произвольную размерность. Поэтому для упрощения рассуждений допустим, что через точку ц е М проходит произ- Рис 54 [c.103]

Вообще если коэффициенты любой системы линейных уравнений образуют матрицу, в которой число столбцов п больше числа рядов т, то ранг г этой матрицы является максимальным порядком неисчезающих определителей, которые мог т быть образованы из т рядов и п столбцов. Алгебраическая теория утверждает, что (это будет показано ниже) существует единственное решение уравнений из любых г членов при условии, что детерминант, составленный из коэффициентов, не является нулем любой подбор делается для оставшихся членов, неравных нулю. Далее теория утверждает, что здесь имеется только п—г линейных независимых решений это значит, что любой другой подбор оставшихся членов будет просто давать полученные ранее комбинации. Поэтому в общем случае число линейно независимых решений линейных уравнений для степеней размерных величин дает также определенное число безразмерных произведений в целой системе. [c.12]

Решение этого уравнения является решением первой задачи определения отклонения размерной цепи. Обозначим отклонения на размеры бг, =+0,25 б/, = —0,1 6/, = —0,15 б/, =—0,10 б/, = = —0,20 тогда бд = 0,25 + 0,1 + 0,15 + 0,1 + 0,20 = 0,8 мм. [c.433]

Исходя из анализа размерностей и допущений теории пограничного слоя, Д. Б. Сполдинг в [Л. 220] высказал соображения об обобщенном уравнении для толщины потери импульса 0, в котором неизвестные функции могут быть получены из автомодельных решений. Это уравнение записано в виде [c.179]

В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика) дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла) дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной. [c.105]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

В последнее время все более широкое распространение в теории упругости получает метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости к решению интегрального уравнения, а основное его преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том, что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на выводе интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть S — некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, а и D — области, расположенные внутри и вне ее ( ) = )+ + ) ). Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный объем D , то задача называется внутренней. Если же тело занимает бесконечный объем D , то задача называется внешней. Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого тела (2.2) [c.100]

Решение системы уравнений (3-3) на ЭВМ, выполненное для случая обтекания пластины О. PI. Назаровым в МЭИ, дало возможность оценить влияние на долю соприкасающихся с поверхностью пластин капель некоторых безразмерных параметров и начальных условий движения потока влаги. На рис. 3-2 показаны схема обтекания пластин влажным паром и влияние некоторых параметров на коэффициент сепарации канелек жидкой фазы. Р1з размерных параметров наиболее сильное влияние на коэффициент F оказывают давление пара, размер капель л начальные условия рассогласования скоростей фаз. [c.53]

При задании объемных нагрузок очень важно иметь согласованные единицы измерения заданных параметров материала и свойств элементов (см. раздел 5.1), поскольку теперь выбор единицы измерения массы будет оказывать влияние на результат статического решения. Рассмотрим уравнение размерности, например, для инерционной силы, имеющее вид F = МЬД . Отсюда получается единица измерения массы М = FtyL. [c.288]

Если комплекс Sh==0, то дифференциальное уравнение (15.23) превращается в алгебраическое, решая которое можно получить квазистационарнОе значение скорости в зависимости от времени. Сравнивая решения дифференциального уравнения (15.25) при различных значениях комплекса Sh с (квазистационарным без учета инерционности столба жидкости), можно получить границу применимости гипотезы квазистационарности, Уравнение (13.25) и его размерный аналог (15.22) являются уравнениями типа Рикатти, Они сводятся к квадратурам только для некоторых видов функции f(t), в частности, для f(T)== onst (скачок давления), решение приводится во многих книгах по гидравлике и в разделе 14. [c.147]

Для данных несущего винта и опоры желательно получить решение характеристического уравнения, выраженное через частоты, отнесенные к Q. Размерные частоты опоры сих и соу суть константы, а размерная частота качания лопасти зависит ot Q. Тогда при малых частотах вращения винта vj v eep = V i> а при больших частотах вращения v /Q приближается к д/Я г-Изменение v по Q определяет существование резонанса для различных собственных частот опор. При анализе земного резонанса будем использовать безразмерные параметры в этом случае относительные собственные частоты опоры <Лх и щ меняются обратно пропорционально Й. [c.617]

Как мы скоро увидим, только простые полностью развитые течения описываются уравнениями типа уравнений теплопроводности, поэтому попадают в область применения ONDU T. Для сложных полностью развитых течений также можно упростить вычисления за счет уменьшения размерности, но из-за наличия поперечных скоростей требуется включение в основные дифференциальные уравнения конвективных членов. Для определения этих скоростей необходимо решение взаимосвязанных уравнений движения и неразрывности в поперечном сечении, что представляет собой задачу слишком сложную, чтобы ее включать в данную книгу. [c.176]

Существенное изменение результатов при увеличении размерности модели показывает, что они плохо описывают решение исходного уравнения Навье — Стокса. Однако изучение этих моделей интересно и полезно с точки зрения общей теории динамических систем, исследования их сложного поведения и возмЬжныз путей перехода к хаотическим режимам. [c.335]

Решения уравнений ( 5.8), вообш,е говоря, должны быть функциями безразмерных координат и у . Поэтому при переходе к размерг ным координатам размерные решения уравнений (5.3) будут зависеть от масштаба длины /. Так как коэффициенты уравнений (5.3) не [c.273]

Методы теории подобия и анализа размерности. В том случае, когда физическое или механическое явление изучено настолько, что представляется возможным правильно матёматически поставить задачу, написать основные уравнения и сформулировать граничные условия, можно, не имея решения составленных уравнений, произвести масштабные преобразования этих уравнений и найти соответствующие критерии подобия. Именно этим путем были получены критерии статического подобия изгиба балок (25.23). Метод теории подобия, таким образом, предполагает наличие значительного объема информаций, относящейся к изучаемому объекту. [c.290]

Перейдем к рассмотрению случая малых значений параметра А, т. е. случая относительно широкого кольца. Главный член асимптотики решения интегральных уравнении (7) при малых А необходимо сконструировать из решений типа погранслоя, описывающих быструю изменяемость контактного давления в окрестности контуров г = а и г = Ь, и проникающего (вырожденного) решения, справедливого вдали от контуров г = а и г=Ь. Эта конструкция может иметь [4] мультипликативный вид (в размерных [c.212]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...