Составление уравнений, их решение

Составление уравнений, их решение [c.337]

Определители (детерминанты) и их приложения. При составлении уравнений для решения многих технических задач (частоты и формы колебаний, критические нагрузки и др.) и при решении ряда теоретических вопросов важную роль играют определители. Определитель л-го порядка представляет собой функцию га- величин ajj, а,2, а,д,..., ащ, 21 22, которые называются его элементами. Они располагаются в п строках и п столбцах определителя, соответственно своим индексам — первый индекс означает номер строки сверху, второй—номер столбца слева. [c.114]

Трудности расчета статически неопределимых систем состоят не в составлении этих уравнений, а в их решении. [c.205]

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.) или лк>-бую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то дополнительно составляют уравнения, учитывающие или условия равновесия отдельных частей конструкции, или их деформации (задачи, требующие учета деформаций, решаются в курсе сопротивления материалов). [c.15]

Таким образом, задача определения числа зубьев сводится к составлению исходных уравнений, отражающих указанные условия для каждой конкретной схемы, и совместному решению их. Методов их решения, а значит, и методов подбора чисел зубьев, обеспечивающих все эти условия, имеется много. Рассмотрим два из них на конкретных схемах. [c.424]

В уравнения (19) и (20) не входит сила Т и поэтому составить их проще, чем уравнения (17) и (18). Однако решение системы уравнений (14)—(18) легче, чем решение системы (14), (15), (16), (19) и (20). Значит, выбрав оси лс1, уу, 2у вместо осей х, у, г, мы добились упрощения составления уравнений моментов относительно осей уу и 2у, но усложнили решение системы уравнений равновесия. Объем вычислений в обоих случаях примерно одинаков. [c.177]

Как известно, при движении системы силы реакций связей, вообще говоря, переменны. Они могут быть функциями времени, координат материальных точек, их скоростей и их ускорений. Поэтому при решении обратных задач динамики, в которых движение определяется по заданным силам, приходится исключать силы реакций связей из составленных уравнений движения. [c.413]

Поступательное движение твердого тела. Наиболее общим приемом составления уравнений динамики поступательного движения твердого тела является применение теоремы о движении центра инерции системы материальных точек. Теорема преимущественно используется в проекциях на оси декартовых координат. В число данных и искомых величин должны входить массы материальных точек, их уравнения движения, внешние силы системы. Решение обратных задач упрощается в случаях, когда главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу, постоянен либо зависит только от 1) времени, 2) положений точек системы, 3) скоростей точек системы. Труднее решать обратные задачи, в которых главный вектор внешних сил одновременно зависит от времени, положения и скоростей точек системы. [c.540]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Описание задания. Цель расчета — знакомство с методикой составления уравнений относительного движения материальной точки, методикой их приведения к безразмерной форме и приобретение опыта решения этих уравнении на ЭВМ. [c.67]

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения записать в форме уравнений равновесия. Этим, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как при этом лишь упрощается составление уравнений движения, задача же их интегрирования, вообще говоря, сохраняется. [c.361]

Теория пограничного слоя широко используется при получении расчетных формул для коэффициента теплоотдачи. Но так как при составлении уравнений пограничного слоя и при их решении вводятся упрощающие предпосылки, то полученные результаты не всегда обладают высокой точностью, поэтому теоретические формулы нуждаются в опытной проверке. [c.322]

Наиболее разработанной является группа аналитических методов, которые заключаются в составлении дифференциальных (иногда интегральных или конечных) уравнений движения, учитывающих специфику конкретного гидродинамического явления, и в отыскании точных или приближенных их решений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения составляется расчетная модель или схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные свойства. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. [c.23]

Такую особенность необходимо учитывать при составлении уравнений возмущенного движения, а также при отыскании их решений, дающих соответствующие передаточные функции и коэффициенты. Причем эти характеристики можно упростить, если учесть, что часть лобового сопротивления, создаваемого рулями, пренебрежимо мала (с О, / л 0). Кроме того, можно не принимать во внимание динамические коэффициенты и [c.56]

Выбор того или иного варианта составления уравнений равновесия, а также выбор точек и направлений осей, используемых при составлении этих уравнений, производится в каждом конкретном случае с таким расчетом, чтобы по возможности не проводить совместное решение уравнений. Для проверки правильности определения опорных реакций полученные их значения рекомендуется подставить в какое-либо уравнение равновесия, не использованное ранее. [c.216]

При составлении программы численного решения задачи по явной схеме для хранения температур следует выделять два массива. В одном находятся температуры, найденные на предыдущем временном слое, а элементы другого массива — температуры текущего временного слоя — вычисляются по явным формулам типа (3.27) с использованием температур предыдущего слоя. После определения всех новых температур их значения переписываются в массив температур предыдущего слоя, и выполняется следующий временной шаг. В отличие от программы расчета по неявной схеме рабочих массивов для решения системы разностных уравнений не требуется. [c.105]

При составлении уравнений равновесия (см. гл. 2) для различных систем сил необходимо вычислить проекции сил на оси и моменты сил относительно точек, а для произвольной пространственной системы сил — моменты сил относительно осей. В гл. 1 было показано, что если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю, а если линия действия силы пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю. Отсюда следуют практические выводы для решения задач 1) при составлении уравнений равновесия, в которые входят проекции сил на оси, выбрать эти оси надо так, чтобы отдельные неизвестные силы были перпендикулярны осям 2) при составлении уравнений равновесия, в которые входят моменты сил относительно точек, выгодно выбрать эти точки так, чтобы через них проходили линии действия одной или нескольких неизвестных сил 3) согласно (1.25) при составлении уравнений равновесия, в которые входят моменты сил относительно осей, выбрать эти оси надо так, чтобы отдельные неизвестные силы были параллельны этим осям или пересекали их. [c.45]

Уравнения (4.76) представляют систему трех однородных уравнений относительно составляющих X, У, Z собственного вектора R. Поэтому они определяют эти составляющие лишь с точностью до их отношений. Физический смысл этого состоит в том, что однозначно определенным является только направление собственного вектора, а не его величина, так как при умножении собственного вектора на любую постоянную получается опять собственный вектор. Во всяком случае, будучи однородными, уравнения (4.76) могут иметь нетривиальное решение только тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю. Таким образом, мы получаем уравнение [c.137]

Завершение расчета системы. После составления канонических уравнений и их решения, которое в силу симметрии матрицы коэффициентов относительно главной диагонали (как и в методе сил) может быть осуществлено при помощи сокращенной схемы Гаусса, находятся усилия по формулам [c.597]

После составления эквивалентной схемы машины переходят к составлению дифференциальных уравнений движения системы и их решению—к расчету динамики переходного процесса. [c.17]

Хотя способ составления уравнений по Лагранжу и не обладает той наглядностью, связанной с возможностью геометрической интерпретации, которая присуща способу, основанному на принципе Даламбера, однако он является совершенно общим и позволяет анализировать системы совершенно автоматически. Применяя принцип Даламбера, решающий задачи, как правило, изображает объекты и действующие силы, причем у него нередко возникают сомнения в правильности выбора знаков перед тем или иным членом в уравнении. При применении метода Лагранжа отпадают всякие затруднения с определением знаков, так как используются выражения энергии и отыскиваются их производные по координатам и по времени, и знаки получаются сами собой. В анализе сложных систем метод Лагранжа незаменим. Нужно только иметь в виду, что большая или меньшая простота решения задачи зависит от удачного выбора обобщенных координат. [c.15]

Таким образом выражение кинетической энергии получилось достаточно простым. Объясняется это тем, что мы применили упрощающий способ распределения масс по отдельным точкам звеньев механизма. Составление уравнений движения, необходимых для дальнейшего решения задачи, производится так же, как и в предыдущем примере, т. е. надо определить частные и полные производные кинетической энергии и подставить их в уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенными силами здесь являются момент движущих сил и момент сил сопротивления. Эти моменты приложены к звену / и к звену 4. [c.165]

Эти уравнения являются линейными однородными уравнениями относительно г/( и ф . При их решении можно получить либо У =0 и ф =0, что означает отсутствие прогибов вала, либо и й/, не равные нулю, что имеет место тогда, когда уравнения (2.52) будут линейно зависимыми. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных и f, , должен рав-пяться нулю. Ввиду того, что элементы данного определителя [c.51]

Определение угла относительного поворота звеньев, образующих винтовую кинематическую пару. Решение этой задачи понадобится при определении положений механизмов, построенных по схемам 8а и 86 (см. табл. 3). В первом случае угол относительного вращения звеньев, входящих в винтовую пару, может быть определен как угол между плоскостью R и плоскостью, в которой расположены пересекающиеся продольные оси кривошипа и звена АВ. Для составления уравнения этой плоскости Р в подвижной системе координат могут быть использованы координаты трех точек А (О, О, 0), В (О, 6, 0) и S ( 5,1П5, Qs). Но так как координаты точки S заданы в неподвижном пространстве, то необходимо предварительно преобразовать их к системе подвижных координат. Известно, что такое преобразование может быть выполнено при помощи следующих равенств [c.42]

Если аналитическим способом найдены перемещения пространственного механизма произвольного вида, т. е. определены функциональные зависимости различных переменных параметров механизмов (см. табл. 3) от параметра времени t или, что то же, от заданной функции угла поворота ведущего звена ф = Ф (/), то определение скоростей не представляет принципиальных трудностей, а лишь требует большей или меньшей затраты времени на вычислительные операции. В этом случае исходными являются уже составленные системы уравнений различных разновидностей механизмов, схемы которых приведены в табл. 3. Остается лишь их продифференцировать однажды по параметру времени, в результате чего получатся системы линейных уравнений относительно значений скоростей изменения соответствующих параметров. Их решение осуществляется по одному из известных методов (см. гл. 5). [c.116]

Кусочная линеаризация нелинейностей, масштабирование переменных, исключение высокочастотных составляюш>1х при учете высокочастотных составляющих составление сепаратных систем второго и первого порядков и их решение (гл. IV) при наличии автоколебаний — гармоническая линеаризация нелинейностей, получение укороченных уравнений и определение по ним параметров автоколебаний (гл. V) [c.10]

Для расчета основной системы используют формулы (1.65), которые являются уравнениями равновесия узлов. Если часть усилий, например опорные реакции, определить составлением уравнений равновесия для всей системы в целом, то для решения этой системы потребуется только обратный ход. По-видимому, можно предложить и специальные методы для решения этой системы уравнений, используя их специфику. [c.45]

Перечисленными примерами не исчерпываются возможные приемы выбора расчетной схемы для исследования колебаний системы. Важно иметь в виду, что исследование колебаний конкретной системы заключается не только в составлении дифференциальных уравнений и получении их решения. [c.15]

Составление уравнений, описываюш,их динамическое состояние планетарные редукторов, и их решение связаны с двумя трудностями- принципиального характера (различие уравнений, описываюш,их поведение элементов с распределенными и с сосредоточенными параметрами — уравнения в частных производных в первом случае и обыкновенные дифференциальные уравнения — во втором) и вычислительного характера (число уравнений достаточно велико). [c.96]

Одним из эффективных методов составления исходных дифференциальных уравнений и решения соответствующих краевых задач теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных тел (многослойных, армированных, со сквозными и с несквозными включениями) в случае выполнения на поверхностях сопряжения их однородных элементов условий идеального термомеханического контакта, для многоступенчатых тонкостенных элементов, локально нагреваемых путем конвективного теплообмена тел, тел е зависящими от температуры свойствами, с непрерывной неоднородностью является метод [52], основанный на применении обобщенных функций [7, 18,22, 50,87] и позволяющий получать единые решения для всей области их определения. В этих случаях физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, толщина (диаметр) многоступенчатых оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела могут быть описаны для всего тела (поверхности) как единого целого с помощью единичных, характеристических функций, а физико-механические характеристики тел с непрерывной неоднородностью с зависящими от температуры физико-механическими характеристиками могут быть аппроксимированы с помощью единичных функций. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в дифференциальные уравнения второго порядка теплопроводности и термоупругости неоднородных тел, дифференциальные уравнения оболочек, пластин, стержней переменной толщины (диаметра), дифференциальные уравнения теплопроводности или условие теплообмена третьего рода с переменными коэффициентами теплоотдачи приходим к дифференциальным уравнениям или граничным условиям, содержащим коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную [52]. При получении дифференциальных ура,внений термоупругости для тел одномерной кусочно-однородной структуры наряду с вышеописанным методом эффективным является метод [67, 128], основанный на постановке обобщенной задачи сопряжения для соответствующих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Здесь за исход- [c.7]

Простые выражения (73) и (75) углов б и i]) получены из точных формул (67) путем пренебрежения высокочастотными колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом же предположении основыралась приближенная теория гироскопа ( 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой теории, можно непосредственно прийти к упрощенным дифференциальным уравнениям для углов б и tp, минуя громоздкий путь составления точных уравнений (48), нахождения их решений и последующего упрощения этих решений. [c.615]

Описание задания. Цель расчета — приобретение опыта решения задач статики составление уравнений равновесия и их решение на ЭВЛА. [c.6]

Принцип решения задач первого типа остается тем же, что и для произвольной плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела будет рассматриваться, отбрасывают наложенные на тело связи, заменяют их действие на тело соответствующими силами реакций и составляют уравнения равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Задачи этого типа решаются при помощи шести уравнений равновесия (в частном случае, когда все заданные силы и реакции связей параллельны, имеем три уравнения равновесия). При составлении уравнений равновесия для определения проекций сил иа координатные оси нужно восполь.зоваться указаниями, данными в 24. [c.190]

Оси координат и точки, относительно которых берутся моменты сил, выбираются так, чтобы не подлежащие определению неизвестные силы не входили в уравнения равновесия. Если из составленных уравнений для нерас-члененной системы определить искомые величины hj представляется возможным, то применяют метод расчленения системы на составные части. К каждой части прикладываются активные силы (внешние и внутренние), реакции отброшенных внешних и внутренних связей и силы инерции. Составляются уравнения принципа Да-ламбера для каждой части, и в результате их совместного решения находятся искомые величины. [c.284]

Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню к р-й кратности соответствует ровно р линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня Ху р-й кратности можно найти р линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частвт существует и линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае. [c.239]

Классический метод решения сформулированной задачи заключается в составлении уравнений Эйлера — Лагранжа и их ре-шенпи [13]. Для этого, переписав уравнение (21-20) в форме [c.318]

Теперь для составления уравнения Лагранжа рассматриваемого трансформатора надо определить частные и полные производные кинетической энергии механизма. В 25 исследование было выполнено в общем виде и потому мы можем применить здесь уравнения (174) в качестве уравнений движения трансформатора, считая, что инерционные коэффициенты /п, /и и /44, а также моменты и М 4 известны. Конечно, решение уравнений (174) связано с трудоемкими вычислениями, однако применение быстродействуюш,их электронно-вычислительных машин позволяет значительно ускорить решение задачи этого типа. [c.162]

Ио] математической моделью процесса следует понимать уравнения и другие соотношения, приведенные в расчетной модели, алгоритмы решения уравнений, составленные на их основе программы для ЭЦВМ, аналоговые схемы для решения задач на аналоговых машинах й т. д. При этом необходимо стремиться jk эффективным математическим моделям. Это означает,-что алгоритмы для решений уравнений должны быть по возможности простыми, но не в ущерб необходимой точности, должньГ носить универсальный характер, допускающий их удобное применение при различных граничных условиях, разнообразном характере внешних воздействий и т. д. [c.23]

Одной из важнейших задач при исследовании каких-нибудь физических процессов является составление уравнений, описывающих изучаемые процессы. В большинстве случаев получить общее решение уравнений бывает невозможно и приходится ограничиваться решениями частных случаев или прибегать к различным долущениям и упрощениям. Однако независимо от возможности или невозможности решения уравнений наличие их позволяет более полно понять физическую сущность исследуемых явлений. Часто наличие уравнений позволяет применить к исследованию теорию подобия. Благодаря этому облегчается постановка эксперимента и полученные результаты принимают более общий характер. [c.301]

Подстригач Я. С., Коляно Ю. М., Кушнир Р. М. Об одном методе составления уравнений термоупругости кусочно-однородных тел и построения их решений. — В кн. XV научное совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций Тез. докл., Киев Наукова думка, [c.365]

Так как в упругопластической области исходные дифференциальные уравнения становятся нелинейными, а коэффициенты переменными, методы их решения существенно усложняются. Однако в данной работе применен способ разбиения интервала интегрирования на участки, в пределах которых коэффициенты уравнений считаются постоянными. При этом использование решения в матричной форме метода начальных параметров также дает существенное преимущество [11]. Поскольку соответствующая этому способу физическая дискретизация конструкций, состоящей из разнородных оболочек, пластин и колец, не отличается, по существу, от случая упругого расчета, то матричный метод расчета, изложенный в работе [9], и составленная на ого основе сомпактная программа расчета для ЭЦВМ оказываются полностью пригодными для упругопластического расчета составных конструкций из элементов оболочек, пластин и колец. Эффективность предлагаемого метода упругопластцческого расчета определяется не только этим удобством. Выполненные расчеты показа-, ли значительно более быструю сходимость последовательных приближений по сравнению с методами, основанными на замене дифференциальных уравнений интегральными [3]. Еще в большей мере, чем при упругих расчетах, сказывается экономичность предлагаемого метода расчета на Э1],ВМ по сравнению с методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. , [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...