Приближенное решение уравнения функции тока

В результате получают первое приближенное решение уравнения функции тока. [c.117]

Полученное уравнение в общем случае является уравнением первого порядка, но нелинейным, а потому не может быть решено в квадратурах. В конечном виде его можно представить в том случае, когда Мд а) оказывается линейной функцией угловой скорости [см. равенство (7)]. При приближенном решении задачи можно считать, что у электродвигателей постоянного тока с параллельным возбуждением и у асинхронного двигателя трехфазного тока при устойчивой работе развиваемый момент является линейной функцией угловой скорости. [c.51]

После решения задачи в одномерной постановке можно приближенно вычислить распределение параметров потока в зазорах между решетками или в соответствующем поперечном сечении проточной части из тех же уравнений равновесия (43.20) и (43.24), которые рассматриваются при этом как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестной Р, причем для интегрирования этих уравнений должны быть дополнительно заданы или оценены входящие в них функции. Постоянная интегрирования определяется либо по результатам одномерного расчета (по величине л<,р в характерной точке), либо из условия обеспечения известного расхода газа через ступень (т. е. из интеграла уравнения расхода (43.11)). Последний способ сложнее, но зато он позволяет уточнить величину Л р и построить приближенно все средние поверхности тока в турбомашине. [c.300]

Пусть внутренний цилиндр радиуса вращается с постоянной угловой скоростью (О, а внешний, радиуса неподвижен, причем оси внутреннего и внешнего цилиндров расположены одна от другой на расстоянии эксцентриситета е. В безынерционном приближении, справедливом при достаточно малых скоростях движения жидкости, задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока. Вводя биполярные ( , т]) координаты (ось х направлена по прямой, соединяющей центры окружностей внутреннего и внешнего измерительных поверхностей), [c.153]

Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (Моо < 1) или сверхзвуковым (М > 1), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом случае (Моо < 1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (Мсо >1) переписать в виде [c.215]

Если задаться видом функции д х ), то, вычисляя интеграл (72), получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г и а позволит вычислить и проекции скорости У( и ЕД Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, по.пучить интегральное уравнение, в котором д (х ) будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока. Карман ) разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким. [c.299]

Для достаточно густой решетки отличие приближенных решений от точных значений с увеличением к существенно возрастает. Если в случае [25] достаточно при s = 0,95 решать систему уравнений пятого — восьмого порядка, здесь уже необходимо рассматривать системы очень высоких порядков. 0 объясняется тем, что для густой решетки и и 1 оказывается уже недостаточной даже аппроксимация функции плотности токае помощью 20 точек, расположенных на контуре цилиндра с учетом вероятного распределения плотности тока. Эти выводы хорошо согласуются с результатами решения других задач дифракции, в которых функции тока имеют сильно осциллирующий характер либо особенность вблизи ребер. [c.66]

Для экспериментальных исследований создавались все более мощные сверхзвуковые трубы, в конце 40-х годов стал применяться новый тип труб — ударные трубы (первые эксперименты проведены в США в 1949 г.), получившие всеобщее признание в 50-х годах. Усовершенствование оптического метода позволило получать более четкие картины течений, проследить процесс появления скачков уплотнения, уточнить структуру течения. Экспериментальные исследования в значительной мере способствовали выяснению причин появления скачков уплотнения, условий устойчивости ударных волн, структуры ударной волны, характера взаимодействия скачков, характера потока за скачком. Эти вопросы подверглись и теоретическому изучению. В 1939 г. А. Е. Донов предложил аналитическое решение задачи о вихревом сверхзвуковом течении. Он исследовал такое течение около профиля, рассматривая некоторые комбинации дифференциальных уравнений характеристик, а также выражения для дифференциала функции тока. Затем А. Ферри (1946) с помощью метода последовательных приближений определил систему характеристик уравнения движения для вихревого сверхзвукового течения, составленного Л. Крокко в 1936 г. Пример точного решения плоской вихревой задачи газовой динамики привел И. А. Кибель (1947), это ре- [c.326]

Уравнение импульса показывает тогда, что переменная часть давления Ар О ). При этом граница О В области О в первом приближении должна оставаться прямой. Теория малых возмуш ений, применяемая к сверхзвуковому потоку 1, показывает, что отклонение наклона О В от прямой О (е ). Для получения стационарного решения температура газа То в области О в первом приближении равна температуре стенки Т . Плотность ро тогда в первом приближении постоянна и соответствует значениям р = Ро, Т = То. Подстановка приведенных оценок в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода е О показывает, что течение в области О описывается полными уравнениями Эйлера для невязкой несжимаемой жидкости. Движение остается безвихревым, так как все струйки тока начинаются при хд +оо из состояния покоя (втекая затем в зону смешения). Для функции тока можно написать уравнение Лапласа [c.39]

Для построения течения в этой области можно опять использовать переменные и асимптотические разложения (8.4), в которых индекс 3 следует поменять на индекс 2 . Подстановка таких разложений в уравнения Навье-Стокса приведет, очевидно, в первом приближении при е О к системе уравнений Эйлера (8.12), решению для возмущения энтальпии (8.13) и к краевой задаче (8.14) для функции тока (всюду с индексами 2 вместо индексов 3 ), решение которой можно представить в виде малых возмущений относительно сдвигового потока — пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине [c.384]

Сначала задача была решена приближенно, путем сведение ее к краевой задаче для уравнения Трикоми (вместо уравнения Чаплыгина) с интегральным краевым условием на звуковой линии. Действительно, для решения уравнения Трикоми в характеристическом треугольнике с однородным граничным условием на характеристике имеет место [10, 11] соотношение между функцией тока и ее нормальной производной на звуковой линии [c.106]

Токи и ПОЛЯ меняются с частотой ш, и проводимость а может быть функцией (I). Эту зависимость мы получим из приближенного решения кинетического уравнения. Сейчас задача состоит в решении уравнений Максвелла. Для поперечного электрического поля, рассматриваемого здесь, не происходит накопления зарядов [c.352]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Если вычислить ток ] по функции —решению уравнения (82,16), то ввиду нечетности этой функции по переменной т) интеграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от нуля результат получается лишь с учетом следующего по г /Ер члена разложения подынтегрального выражения. Эго приводит (как и при Г 0) к значению термоэлектрического коэффициента (обычные единицы) [c.417]

Для анализа технологических операций разработаны различные теоретические методы. Первой особенностью предлагаемой читателю книги является ее определенная односторонность Поскольку книг основана главным образом на работах автора, анализ технологических задач выполнен только методом сил, которые выражены через кинематические параметры деформируемой заготовки. Такой подход приводит к дальнейшему развитию приближенною метода решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнений, описывающих состояние пластичности, и применению анализа с использованием функции тока. Решения, рассматриваемые в книге, выполнены с использованием теории пластического течения. [c.3]

Подход, связанный с рассмотрением вихря скорости, часто оказывается более удобным, чем решение уравнений для простейших физических переменных одно из наиболее интересных приближений состоит в определении зависящей от времени функции тока и, следовательно, поля конвективных скоростей только по вычисленному распределению вихря. Граничные условия для расчетов в некоторой выделенной области на мелкой сетке удобно определять по результатам предыдущих расчетов на более грубой сетке. В метеорологических задачах стационарные решения обычно не представляют интереса, однако они могут представлять интерес в других геофизических задачах (например, ячеечная конвекция, вызванная солнечной радиацией). Обычно в метеорологических задачах требуется по крайней мере второй порядок аппроксимации по времени. Интересной особенностью этих задач является то, что гидростатическое давление р иногда принимается за независимую переменную вместо вертикальной координаты h, которая представляется как h(p). [c.455]

Функции т называются координатными или базисными при представлении тока или напряженности поля их часто называют модами. Функции %т обычно представляют собой первые М функций некоторой полной системы тп "т=1. Так как выражение (2.17) является лишь приближенным решением рассматриваемой системы операторных уравнений (2.16), то при его подстановке в исходную систему уравнений невязки левых и правых ча- [c.58]

Тем не менее линии уровня аналитической функции от х, у (в данном случае это линии тока) в общем случае могут иметь точки излома или возврата. Если такая точка в рассмотренных примерах попадает в начало координат, то схема стоксова течения в случае уравнения Навье - Стокса может разрушиться. Поэтому желательно показать, что разделяющие линии тока у точных решений /, уравнения Навье -Стокса в малых окрестностях точки (О, 0) мало отличаются от разделяющих линий тока для стоксовых приближений / . Это устанавливается на основе следующего утверждения. [c.83]

Случай, когда ю отлично от нуля, является более трудным, чем случай отсутствия вертикальных течений в воздухе. При слабых вертикальных токах можно считать величину малой и весьма естественно разложить функции, определяемые уравнениями (12) — (17) по степеням ,. В этом параграфе мы определим коэффициенты при степенях ц и ,, которые дадут первое приближение для решения дифференциальных уравнений (12) - (17). [c.90]

Применение ФДТ. Предположение о сильной связи с термостатом (т. е. пренебрежение реакцией излучения и радиационным охлаждением) позволяет для решения неравновесной проблемы о ТИ использовать равновесные моменты поляризации (4.2.4) или токов, полученные с помощью ФДТ. Как и при выводе (4.2.8), сперва решаются феноменологические уравнения Максвелла (линейные в однофотонном приближении) при заданных граничных условиях и сторонних источниках, т. е. отыскивается функция Грина б — восприимчивость электромагнитного вакуума к действию движущихся зарядов. Далее образуются вторые моменты для напряженностей электрического и магнитного поля, и в результате получаются формулы вида (4.2.8). [c.119]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Для отыскания этой функции в первом приближении применяют следующий прием. Не учитывая наличие пограничного слоя, решают задачу о потенциальном обтекании данной твердой поверхности идеальной жидкостью. При этом получают значения скорости на поверхности, а так как толщина пограничного слоя мала, считают, что эти же значения скорость имеет и на его внешней границе. Затем решают систему (8.69) или уравнение (8.70). Простейшим случаем, для которого найдено точное решение уравнения (8.70) функции тока, является обтекание плоской полубес-конечной пластины, поставленной по потоку (рис. 8.23). При этом можно допустить, что и = щ = onst. Действительно, при обтекании бесконечно тонкой пластины идеальной жидкостью равномерный поток не испытывает никакого возмущения, поскольку отрезок любой линии тока можно заменить телом пластины. [c.333]

Следовательно, в рассматриваемом случае имеем на замкнутой границе области расчета ш=0 и фиксированные значения функции тока (29) — (33), т. е. задачу Дирихле для дифференциальных уравнений (12), (15). При решении задачи методом конечных разностей область интегрирования (см. рис. 2) покрывается прямоугольной сеткой с конечными размерами по оси х. Поэтому граничные условия в жестких областях прих->—ооих- 4"°° выполняются приближенно. В результате этого численные расчеты показывают, что во всех узлах сетки имеется неоднородная пластическая деформация. Но малые значения скоростей деформаций, соизмеримые с погрешностями вычислений, приводят к неустойчивости итерационного процесса, так как коэффициенты и источниковый член в уравнении для вихря (12) вычисляются с большой погрешностью. Такие малые значения скоростей деформаций возникают вблизи левой и правой границ сетки, где неоднородное поле скоростей пластического течения не-црерывно переходит в однородные распределения скоростей жестких зон. Пусть функция гр вычислена с некоторой ошибкой е. Тогда, обозначая через к среднее значение шага сетки вблизи ее левой или правой границы, определим возможную среднюю ошибку б эффективной скорости деформации Ве по формулам (7), (16), (23) При введении условия [c.64]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

В пятидесятых годах решение прямой задачи начинает внедряться в практику расчета и проектирования турбомашин и получает многочисленные примеры применения. Решение задачи относительно составляющих скоростей производится обычно по методу прямых и сводится к последовательности краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в естественной сетке с использованием кривизн (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962) или в нолуфиксированной и в фиксированной сетках (Л. А. Симонов, 1950, 1957 Я. А. Сироткин, 1959—1963 Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 М. И. Жуковский, 1967). Решение задачи относительно функции тока получается методом сеток (Г. И. Майкапар, 1958 Я. А. Сироткин, 1964) или вариационным методом Галеркина (П. А. Романенко, 1959). Во всех случаях из-за нелинейности задачи применяются последовательные приближения, причем их сходимость проверяется или достигается (путем выбора шагов сетки или весовых коэффициентов) с помощью численного эксперимента. Расчеты в общей постановке задачи оказываются весьма трудоемкими и ориентируются в основном на применение современных ЭЦВМ. [c.148]

Условия ф = 1 яа А1А2 и ф = О яа КВ для функции тока определяют корректную краевую задачу для уравнения Чаплыгина. Если значение Л в близко к единице, это решение приближенно выражается точным решением [c.87]

Уравнения первого приближения для возмущений по-прежнему допускают решение вида (1.3.23). Обычные исследования ограничиваются возмущениями с осевой симметрией. В этом случае использование функции тока опять упроидает анализ. Если мы введем функцию тока для возмущения вформе (1.3.25) [c.20]

Решение задачи о стационарных потоках вблизи круглого цилиндра, [основывающееся не на уравнениях пограничного слоя, а на решении для несжимаемой среды и последовательно уравнений первого приближения (8) и затем уравнений второго приближения (16)] проведено в работах [26, 27]. Из полученного решения следует, что качественно вид потоков не изменяется. Однако оно слишком громоздко, чтобы его приводить здесь. Из этого решения, в частности, следует большая, чем шлихтинговская, толщина вихрей пограничного слоя при небольших значениях а/б при больших а/б толщина пограничных вихрей приближается к шлихтинговской. Анализ уравнений третьего приближения показывает, что оно, естественно, не вносит вклад в стационарные потоки. Это решение подвергнуто анализу также в работе [28], где, кроме всего, еще найдены функции тока в лагранжевой системе координат. [c.107]

В случае установившегося движения и равны нулю. Решение этих уравнений для потока около тела, у поверхности которого должны удовлетворяться пограничные условия прилипания (u = v = 0), представляет непреодолимые трудности, за исключением отдельных частных случаев. Необходн. .о поэтому найти какой-либо приближенный метод. Понятие об идеальной жидкости основано на том, что вязкость жидкости мала и что членами, содержащими V, можно пренебречь по сравнению с динамическими членами, содержащими квадрат скорости. В другом предельном случае можно рассматривать медленное установившееся движение вязкой жидкости, при котором можно пренебречь динамическими членами по сравнению с членами вязкости, содержащими v. В этом случае левая часть уравнений движения исчезает и, исключив давление и выразив скорость через функцию тока ф, получим единственное уравнение [c.84]

Вместе с тем при изучении стоксовского течения в угловой области обнаружена бесконечная система вихрей. Функция тока / стоксовского течения подчиняется би-гармоническому уравнению. Его решение при / = О и нулевой нормальной производной от / на границах угловой области получено в [4, 5]. В [5] доказана полнота найденной системы функций в частном случае параллельных стенок. Там же содержится утверждение о полноте и в угловой области. Подробное рассмотрение структуры стоксовских течений в угловых областях проведено в [6]. Авторы работ [7, 8] независимо от [5] вьшели условия сходимости рядов по упомянутым функциям при решении одной краевой задачи для бигармонического уравнения в полуполосе. В приведенном в [8] приближенном решении задачи о течении в прямоугольной каверне показаны возникающие в углах области вторичные вихри. В [9] вихревые системы в угловых областях получены как частный случай решения более общей задачи. [c.62]

В [3] получено численное решение уравнений Навье - Стокса в приближении Буссинеска, записанных в переменных функция тока / - вихрь со. Использовался ориги- [c.56]

Это уравнение определяет траектории трещин как линии тока векторного поля grad или, другими словами, траектории тре щин ортогональны к линиям уровня скалярного поля Ф(д , у) Если представить себе легкий шарик, скатывающийся по по верхности Ф = Ф(х, у), то проекция пути этого шарика на по верхность тела даст искомую траекторию трещины (см. рис. 7) Для распространения трещины в точке В В — на поверхности тела) удовлетворялось условие =Ф- Очевидно, что при у = = onst ее значение несущественно, а траектория трещины целиком определяется видом функции ф, которую следует задавать в соответствии с классическими теориями прочности по значениям напряжений или деформаций в теле без трещины. Безусловно, этот метод не может претендовать на полное решение задачи о пути распространения трещины и его можно использовать только в качестве начального приближения. Хрупкое разрушение, как известно, описывается первой или второй теориями прочности. Поэтому на основании первой теории прочности принимаем, что ф=аоь где oi = ri(x, у) — наибольшее главное напряжение на поверхности тела а — коэффициент. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...