Решение бигармонического уравнения

Всякое решение бигармонического уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных порядков по координатам. Независимыми центрально-симметрическими решениями являются г , г, г, 1. Поэтому наиболее общий вид, который может иметь бигармонический вектор зависящий, как от параметров, только от компонент постоянного тензора o. g> и обращающийся в нуль на бесконечности, есть [c.38]

Ординаты во внутренней области пластины (показанные на рис. 4.5, г пунктиром) определяются путем решения бигармонического уравнения (4.20). Указанные граничные условия определяют единственную поверхность ф (х, у), которая по формулам (4.21) дает искомые напряжения в пластине. [c.81]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

Последовательно интегрируя это уравнение четыре раза и учитывая, что функция F должна быть действительной функцией, получим общее решение бигармонического уравнения в виде [c.372]

Решение бигармонического уравнения для невесомой полуплоскости [c.168]

При этом условии функции (9.53) тождественно удовлетворяют уравнениям совместности (5.37). Таким образом, задача симметричной деформации тела вращения сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. [c.237]

Таким образом, решение плоской задачи в случае, когда объемной силой является сила тяжести, сводится к решению бигармонического уравнения (2.3.12), которое должно удовлетворять и условиям на контуре. [c.37]

Если числу п в соотношении (г) давать различные значения, то будут получаться новые функции, отличающиеся значениями параметра а и постоянных Л , В , С , D . Поэтому общее решение бигармонического уравнения (5.11) может быть представлено как сумма всех, его возможных частных решений, т. е. в виде бесконечного ряда [c.60]

Точное решение бигармонического уравнения плоской задачи во многих случаях оказывается очень сложным. Для его решения можно применить приближенный метод конечны разностей. Этот метод позволяет заменить дифференциальное уравнение системой лин ных алгебраических уравнений. [c.60]

Решение бигармонического уравнения методом конечных разностей 539 [c.574]

Следовательно, общее решение бигармонического уравнения можно представить в виде [c.494]

Решение сформулированной задачи легко получить с помощью подбора функций ф(2) и ф(г) = (г) комплексного переменного 2 = X (у, введенных в предыдущем параграфе при решении бигармонического уравнения для функции Эри. Полагая 2 = = ре и учитывая принятые выше обозначения Ф(С) == ф (г) = ф (0- Ф (2) = Ф (0 = перепишем фор- [c.508]

Решение бигармонического уравнения 494, 495 [c.565]

Тогда определение исходного напряженно-деформированного состояния пластины сведется к решению бигармонического уравнения [c.137]

Начальные усилия связаны зависимостями (4.3) с удлинениями и сдвигами е2, е , -у в срединной плоскости, которые с помощью линейных зависимостей (4.1) выражаются через производные начальных перемещений. Это позволяет свести задачу определения функции усилий Фо к решению бигармонического уравнения [c.194]

Переход к натуре — Формулы 585 — Показатель качества материала — Формулы 581 — Применение дислокаций 597 Модели для решения бигармонического уравнения — Схемы 605 [c.633]

Решение плоской задачи связано с определением функции напряжений Д. Эйри. Последняя может быть определена как решение бигармонического уравнения, имеющего одинаковую символьную форму записи с уравнением изгиба (7.6) [c.480]

Решение бигармонического уравнения (2.8) в полярной системе координат проиллюстрируем одним простейшим примером. Для кольцевой области (рис. 2.9) зададим функцию напряжений ф = С0. [c.52]

Само собой разумеется, что сказанным не исчерпывается многообразие решений бигармонического уравнения. [c.476]

Пусть внутренний цилиндр радиуса вращается с постоянной угловой скоростью (О, а внешний, радиуса неподвижен, причем оси внутреннего и внешнего цилиндров расположены одна от другой на расстоянии эксцентриситета е. В безынерционном приближении, справедливом при достаточно малых скоростях движения жидкости, задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока. Вводя биполярные ( , т]) координаты (ось х направлена по прямой, соединяющей центры окружностей внутреннего и внешнего измерительных поверхностей), [c.153]

Можно развить метод уравнений в конечных разностях для решения бигармонического уравнения (У Ф) = 0. Выражение для У Фо, о в точке = О, = О достаточно сложно. Если обозначить сумму значений в точках, симметрично расположенных вокруг 0,0, через [например, 4 , о представляет первые четыре члена числителя уравнения (188)], то можно записать [c.78]

Общее решение бигармонического уравнения. Пусть — частное решение уравнения [c.249]

Уравнение (27) при известной функции g(x,y) непосредственно дало бы нам решение бигармонического уравнения (23) при условии, что на границе С известны функции [c.84]

При этих предположениях задача сводится к решению бигармонического уравнения для функции тока [c.209]

Электрическая модель из двух соединенных сеточных моделей Решение бигармонического уравнения, однородного или с правой частью Потенциалы в узлах сеток Плоская задача напряжений и расчет плит (для заданных граничных условий, нагрузок и распределения температур) [13], [20], [29], [50], [52], [57], [69] [c.256]

Пластинчатая аналогия Решение бигармонического уравнения для плоской детали, совпадающего с уравнением для тонкой пластинки без нагрузки при одинаковой форме контура Прогибы тонкой пластинки при заданных перемещениях на ее контуре Плоская задача напряжений при заданной нагрузке на контуре (приближенное решение) [47 ] [c.257]

Фиг. IV. 7. Схема соединения сеток для решения бигармонического уравнения

Требуемые величины потенциалов F на сетке I получаются с применением делителя напряжений. При решении бигармонического уравнения плоской задачи сопротивления R отделяются от сетки II. Зависимости между замеряемыми потенциалами на сетках и искомыми функциями приведены в табл. IV. 3. [c.277]

Фиг. IV. 8. Схема электрической модели для решения бигармонического уравнения.

На основе обобщения опыта эксплуатации интегратора ЭМ(БУ)-6, являющегося электрической моделью для решения бигармонического уравнения, и ряда методических разработок, проведенных в научно-исследовательском секторе (НИС) Гидропроекта [22], [29], разработана методика решения неопределенной краевой задачи для приведенной выше системы уравнений, исключающая какие-либо вычислительные работы в процессе решения на интеграторе и делающая последнее чисто экспериментальным. [c.305]

Таким образом, задача сводится к решению бигармонического уравнения (IV. 29) при краевых условиях (IV. 32 и IV. 33). [c.306]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

Е. Билл [57] 0948 г.) рассмотрел полубесконечную пластину (1гп2>0, z = x+iy), к участку границы которой х>0 по всей длине присоединено полубесконечное ребро, нагруженное на конце х=0 силой Р вдоль оси X. Решение бигармонического уравнения для функции Эри берется в форме Ф=г/<р, где ф — гармоническая функция. Затем совершается конформное отображение полуплоскости на внутренность единичного круга 1. Решение для гармонической функции ф1 ( ) =ф(2) берется в виде ряда [c.122]

Полученное общее решение бигармонического уравнения (VIII.2) может быть использовано при построении интегральных уравнений различных граничных задач об изгибе пластин. [c.250]

Это и значит, что при решении приближённых уравнений Стокса для задача о движении круглого цилиндра в безграничной вязкой несжимаемой жидкости удовлетворить одновременно и условиям обращения в нуль скоростей на бесконечности и условиям прилипания частиц к поверхности не представляется ввзможным. Это заключение о невозможности решения бигармонического уравнения для задачи о движении круглого цилиндра в безграничной жидкости известно под названием парадокса Стокса ). Для эллиптического цилиндра этот парадокс был доказан Уилтоном ), а для цилиндра произвольного сечения Одквистом ). [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...