Уравнения для корреляционных функций и их исследование

Естественная постановка задачи для выяснения этого вопроса состоит в следующем- пусть в начальный момент времени (/ = 0) создано изотропное турбулентное движение, в котором функции bik r,t) и bik,i r,i) экспоненциально убывают с расстоянием. Выразив давление через скорости по написанной формуле, можно затем с помощью уравнений движения жидкости пытаться определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент t = 0) от расстояния при г- оо. Тем самым определится и характер зависимости от г самих корреляционных функций при t > 0. Такое исследование приводит к следующим результатам ). [c.202]

Такая система дифференциальных уравнений особенно часто встречается при исследовании динамической устойчивости стержневых конструкций, если поперечный прогиб стержня представить в виде разложения в ряд по формам свободных колебаний и сохранить в этом ряде лишь два первых члена. Определение параметров проводится по приведенной выше методике. Предположим, что Xi i) и %2 t) — стационарные случайные функции времени с известными корреляционными функциями W и взаимной [c.215]

В предыдущих параграфах при исследовании случайных колебаний использовались только два первых момента случайных функций (математические ожидания и корреляционные функции). Однако не все задачи могут быть решены методами корреляционной теории. В прикладных задачах, когда требуется решать нелинейные уравнения, определить все вероятностные характеристики методами корреляционной теории нельзя. Кроме того, решение ряда конкретных задач требует знания не только вероятностных характеристик, но и законов распределения выхода. Такие задачи решаются методами теории Марковских процессов [7, 42]. [c.85]

Отсюда следует, что корреляционная функция (5.93), а следо-вательно, и все расчетные соотношения для нахождения надежности и долговечности являются функциями одного аргумента — угла а. Исследование этих функций на экстремум определяет опасную площадку и расчетные значения надежности. В первом приближении можно считать, что расположение опасной площадки получают из условия максимума дисперсии расчетного напряжения. При этом уголка определяется решением уравнения [c.211]

Применение метода неравновесного статистического оператора к конкретным процессам сводится к исследованию обобщенных уравнений переноса. В частности, необходимо вычислить корреляционные функции, которые определяют значения кинетических коэффициентов в этих уравнениях. Кроме того, в каждом случае нужно обосновать выбор наблюдаемых, достаточных для описания процесса. [c.134]

Для исследования свойств обобщенных восприимчивостей в пределе а О удобно ввести матричные обозначения. Будем представлять базисные динамические переменные, внешние поля и параметры отклика в виде векторов-столбцов Р = .... .. , h uj) = ... hm uj)... и F uj) = ... Fm uj)... . Тогда восприимчивости образуют матрицы х ) = [ХтЛ )] и = [Хтп] Заменяя в уравнениях (5.1.18) динамические переменные Bj на базисные Рп и исключая с помощью (5.1.35) корреляционные функции с Рт получим матричное соотношение [c.352]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Решается такое уравнение обычно численными методами. Примеры решения [128] для случая гауссовского процесса ( ) с несколькими различными корреляционными функциями при уровнях и = т = О показывают хорошее согласование с результатами экспериментальных исследований для области т Тк. [c.224]

Для исследования корректности постановки указанной задачи необходимо рассмотреть ее в функциональных пространствах, приемлемых с точки зрения физической постановки. В качестве такого пространства можно взять гильбертово пространство Оператор А в уравнении (74) рассмотрим как оператор, действующий из 2 [О, оо) в 2 (—оо, оо). Если задача идентификации для заданных корреляционных функций имеет единственное решение, то ее решение сводится к построению обратного оператора А для оператора А. [c.62]

В связи с этим, если известны средний квадрат давления = Rp(0,0) и корреляционная функция Кр( т), можно оп делить структурную функцию на основании уравнения (1.5). Функция D( т) удобна, для экспериментального исследования случайного поля, поскольку ее определение дает ответ о статистической стационарности этого поля (среды). В самом деле, при увеличении пространственного разделения и времени задержки (С °о и т-юо) Кр( т)- 0. В этом случае D z, О - 2Кр(0,0) = р. Поэтому, если при указанных условиях D(t, стремится к некоторому конечному пределу, равному (1.6), то можно сделать вывод о статистической стационарности исследуемого процесса. Но поскольку в реальной среде условия стационарности выполняются на ограниченных промежутках пространства— времени, то структурная функция более полно характеризует статистическую обстановку, чем корреляционная функция. С другой стороны, зная структурную функцию, можно найти корреляционную, так как с учетом D(oo)- 2Яр(0,0) [c.8]

В этих уравнениях и S ,J — взаимные корреляционная функция и спектральная плотность входного и выходного сигналов и — автокорреляционная функция и спектральная плотность входного сигнала с — сдвиг (запаздывание) по времени X — время ш — частота / — мнимая единица (соответственно / ю — комплексная частота) к (I) — импульсная переходная функция исследуемой системы, т. е. функция, показывающая реакцию объекта исследования на импульсное воздействие в виде 8-функции. Последняя есть импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длитель- [c.169]

Не продолжая процедуры построения следующих уравнений, мы на примере полученных выще двух обнаруживаем чрезвычайно характерную для всей статистической механики неидеальных систем ситуацию уравнения для корреляционных функций (или их модификаций, а в квантовой статистике для корреляционных статистических операторов) образуют цепочку. Эти уравнения не замкнуты каждое уравнение для Ра содержит в интегральном члене функцию так что решению этих уравнений должна предшествовать процедура расцепления цепочки, так чтобы оставшаяся фуппа уравнений оказалась бы замкнутой. Универсального рецепта проведения такой операции нет, она производится по-разному в зависимости от типа рассматриваемой системы и физических условий, в которых она находится. В следующих разделах данного параграфа мы рассмотрим два характерных примера такого исследования (см. также 2 в разделе дополнительных вопросов). [c.306]

И наконец, чисто логический аспект ситуации. Метод Гиббса в равновесной статистической физике представляет собой замкнутый аппарат, полностью укомплектованный в аксиоматическом отношении и однозначно определяющий математическую профамму исследований. Он не содержит бессмысленных расходимостей, об устранении которых надо договариваться по,дороге, и других неприятностей, так характерных для полевых теорий. В него не надо вкладывать заранее придуманных решений для уравнений состояния и корреляционных функций — он сам выдает эти результаты, точно соответствующие рассматриваемой равновесной системе. [c.367]

Уравнения для корреляционных функций и их исследование 383 [c.383]

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [c.736]

В аннотации к обзору Дуга [1] подчеркивается, что многочисленные модификации уравнения Рэлея — Максвелла и попытки распространить его действие на системы, не соответствующие тем основным положениям, на которые опирается вывод этого уравнения (разбавленные дисперсии, в которых свойства обоих компонентов мало отличаются друг от друга, а дисперсные частицы не взаимодействуют друг с другом), делают получаемые выражения полуэмпирическими корреляционными уравнениями, для которых необходимо экспериментально определять примерные значения функции распределения. При теоретическом анализе явлений проводимости в композиционных твердых средах общим и неизбежным является допущение полного геометрического порядка в распределении фаз. Предполагается, что волокна распределены в матрице равномерно, на одинаковом расстоянии и параллельно друг другу. Одиако реальные композиционные материалы, получаемые в результате выполнения целого комплекса технологических операций, имеют структуру, значительно отличающуюся от наших представлений об идеальной модели. Микроскопические исследования реальных композиционных материалов достаточно убедительно показывают неравномерное распределение волокон, отклонение от взаимной параллельности волокон и наличие пористости. Кроме того, недостаточные знания свойств самих волокнистых наполнителей и матриц в свою очередь накладывают дополнительные ограничения на возможности применения теоретических уравнений для прогнозирования теплофизических свойств композиционных материалов. [c.294]

Статистический метод описания механизма турбулентного течения смеси в трубах, предполагающий осреднение нелинейных уравнений, приводит к появлению новых переменных типа двойных корреляций. В свою очередь осреднение уравнений с двойными корреляциями неизбежно приводит к тройным корреляциям и т. д. Система уравнений, описывающих турбулентное течение смеси в трубе, оказывается незамкнутой и весьма важно с этой точки зрения исследовать статистическую структуру как в пространстве, так и во времени. Частью таких исследований является изучение пространственных и временных корреляций пульсационных составляющих скорости. Корреляционные и спектральные функции позволяют определить частоту пульсаций скорости, оценить связь между пульсациями в различные моменты времени в разных точках сечения трубы, по ним можно определить размеры турбулентных возмущений, несущие большую часть энергии потока. [c.122]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

Трудности построения общей теории турбулентности повлекли изучение в первую очередь простейшего и, вообще говоря, очень узкого класса турбулентных движений — изотропной турбулентности. Начало исследованиям в этой области было положено Дж. Тейлором который сразу же и с успехом подверг некоторые выводы теории изотропной турбулентности экспериментальной проверке в потоке за решеткой а.эродинамической трубы. Т. Карман 299 дал затем соотношение между корреляционными функциями (вторыми моментами) изотропного поля скоростей (также подтвержденное экспериментально Тейлором) и, совместно с Л. Хоуартом, вывел основное динамическое уравнение, связывающее вторые и третьи моменты . Уравнение Кармана — Хоуарта послужило основой последующих исследований изотропной турбулентности и было также подтверждено (в 50-х годах) экспериментально. Однако это уравнение содержит две неизвестные функции и, как и все прочие уравнения турбулентного движения, требует для своего замыкания дополнительных гипотез. Такие гипотезы вводились, например, с помощью приближенных формул для спектрального переноса энергии (В. Гейзенберг, [c.299]

Как и раньше, физический смысл имеют только значения Г > 1, при которых фазовый объем системы сжимается. Численное исследование уравнений (4.31) при этих значениях Г показало, что в некотором диапазоне параметров решение имеет хартический характер, его корреляционная функция спадает, а точечное отображение плоскости Z = onst в себя сильно вытянуто вдоль оси Y и, следовательно, приближенно может быть сведено к одномерному. Вид точечного отображения, временная реализация процесса и характер аттрактора для А = 2,3, Г = 1,26 показаны на рис. 9.51. [c.311]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение ...Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера — Планка в случае переменных структурных чисел [Кв — структурные числа). Оно справедливо, если время корреляции Хкор много меньше постоянных времени системы и если не интересоваться интервалами времени порядка времени корреляции другими словами, если можно считать случайную функцию х 1) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова... . Оценка [c.35]

Советскими учеными выполнен также ряд исследований изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости. Как уже отмечалось выше, общий случай турбулентности в сжимаемой среде впервые рассматривался еще в работах Л. В. Келлера и А. А. Фридмана (1924) и Л. В. Келлера (1925). Далее следует отметить работу И, А. Кибеля (1945), рассмотревшего случай такой турбулентности в сжимаемой жидкости, при которой распределения вероятностей пульсаций инвариантны относительно произвольных сдвигов в горизонтальном направлении и вращений или отражений относительно вертикальной оси Дс целью применения полученных результатов к турбулентности в атмосфере вблизи Земли). В этой работе были выведены динамические уравнения для вторых моментов гидродинамических полей рассматриваемой турбулентности (в предположении о пренебрежимой малости третьих моментов). Попутно здесь же были выведены общие формулы, описывающие спектральное разложение корреляционных функций произвольной турбулентности, изотропной лишь в горизонтальных плоскостях (более общие формулы того же типа, применимые при наличии более или менее произвольных условий симметрии турбулент- ности, позже рассматривались А. М. Ягломом, 1962, 1963). [c.488]

Пример 10.2. Для исследования устойчивости системы распознавания изображений с помопц>ю РКЛ проведена серия вычиапительных экспериментов на компьютере по распознаванию тестовых изображений с использованием коэффициентов разложения по собственным функциям интегрального уравнения (10.10). При этом каждое изображение интерпретировалось как реализация случайно О моля. Корреляционная функция статистически однородных эталонных изображений определялась по одной реализации [29 . Усредненная корреляционная функция Я вычислялась как среднее арифметическое от всех Rij. [c.614]

Возник интересный вопрос почему квантовомеханический процесс может описываться классическим уравнением Фоккера— Планка Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответствия, который позволяет нам установить связь между квантовомеханическим описанием и классической формулировкой, не теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка теории была предложена Вигнером (1932 г.), который рассмотрел квантовые системы, описываемые операторами координаты и импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан (1963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но, конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3). В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить принцип соответствия. Задача была решена Гордоном (1967 г.) и Хаке- [c.30]

Как уже отмечалось, работа Лайтхилла [83] стимулировала большое количество теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению механизма генерирования звука турбулентностью и исследованию самого турбулентного процесса в различных его формах. Однако в целом объем знаний о турбулентности, как о форме движения, сопровождающемся акустическим излучением,-все еще далек от завершенности. Положение дел в этой области весьма емко сформулировал Фокс-Вильямс-см. [57, с. 172]. Решая задачу о шуме турбулентной струи и производя ряд последовательных преобразований с целью упрощения вида конечного выражения и, получив такое выражение. Фокс-Вильямс замечает ... хотя уравнение имеет внешне простой вид. в процессе его вывода произведено такое большое количество математических преобразований, что физический смысл результата остается неясным. Более того, нет никаких ни теоретических, ни экспериментальных способов определения формы корреляционной функции, не говоря уже об ее преобразовании Фурье, так что у нас не осталось базы, на которой можно было бы основывать вычисление звукового поля. Таким образом, поставленная цель не достигнута. Наиболее замечательная черта проведенного анализа состоит в том, что мы приходим к убеждению о бесполезности основывать вычисление звукового поля только на очень ограниченных сведениях о турбулентности . И если это авторитетное свидетельство справедливо по отношению к стационарным задачам турбулентного шума, то в области нестационарного турбулентного движения положение значительно сложнее. В сущности специфичной информации о структуре турбулентности при нестационарном движении нет. Последнее можно понять, поскольку видов нестационарности среднего движения чрезвычайно много и исследование каждого из них бессмысленно. Но в настоящее время нет и метода, позволяющего по известным характеристикам стационарной турбулентности прогнозировать их вид на случай нестационарного среднего движения. Сказанное в значительной мере обусловлено сложностью процессов, управляющих статистической структурой турбулентности. Немаловажное значение имеет четкое определение понятий стационарность-нестационарность к такому в житейском смысле слова нестационарному явлению, как турбулентность. Уже отмечалось, что большинство работ по турбулентности представляет ее в виде стационарного в статистическом смысле процесса, что обусловлено воз- [c.123]

Перечисленные выше исследования связали два крайних случая, а именно случаи полной когерентности или полной некогерентносги. Однако полученные результаты страдали некоторой ограниченностью, так как они относились главным образом к квазимонохроматическому свету и к случаям с достаточно ма.)юй разностью хода интерферирующих пучков. Для рассмотрения более сложных ситуаций и формулировки теории на строгой основе было необходимо дальнейшее обобщение. Оно было выполнено Вольфом [15, 16] и независимо Блап-Лапьерром и Дюмонте [17] в этих работах были введены более общие корреляционные функции. Оказалось, что такие функции строго удовлетворяют двум волновым уравнениям отсюда следует, что не только оптическое возмущение, но и корреляция между возмущениями распространяются в форме волн. В свете этого вывода многие из ранее выведенных теорем получают относительно простое истолкование. [c.452]

Аналогично можно исследовать вопрос об асимптотическом поведении спектра и корреляционной функции пульсаций температуры. В силу уравнения (14.58), если в момент t — 0 все семиинварианты экспоненциально убывают на бесконечности, то dBm(r, t)ldt при i = 0 также будет затухать экспоненциально. Однако выражения для последующих производных В (г, t) по времени уже будут содержать поле давления, так что следует ожидать, что, вообще говоря, функция Во (г, t) при i > О также будет убывать при г->оо лишь степенным образом. Детальное исследование порядка этого убывания, однако, представляется не особенно интересным. В самом деле, ясно, что влияние сил давления, наверное, не приведет к убыванию функции Вт (.г, I) более медленному, чем поэтому ингеграл (15.26) здесь естественно считать абсолютно сходящимся, а спектр Fmih, t) — непрерывным и непрерывно дифференцируемым по компонентам к во всем пространстве волновых векторов. Но отсюда ясно, что справедливость асимптотических формул (15.46) и (15.47), описывающих общий случай заключительного периода вырождения изотропных температурных пульсаций, в данном случае не вызывает сомнений. Точно так же не вызывает сомнений и справедливость закона сохранения (15.26), при выводе которого лишь требовалось, чтобы функция убывала не медленнее, чем 0(г ) в самом деле, легко понять, что более медленный порядок убывания функ-ции (г, t) не может быть вызван влиянием сил давления, если только в начальный момент все семиинварианты турбулентности убывают достаточно быстро. [c.160]

Мы уже знаем, что в теории турбулентности иногда приходится иметь дело с корреляционными тензорами поля скорости четвертого порядка так, например, обстоит дело при исследовании корреляционных функций, содержащих давление (см. выше п. 14.4). В этом случае в рассматриваемых уравнениях появляются новые неизвестные функции О- , лглг( - О и ДР-. о которых шлз речь [c.222]

Ряд примеров, когда уравнение Фоккера—Планка решается точно, включен в следующий раздел. Это известные задачи математической физики. Из дополнительных вопросов отметим несколько задач на вращательное брауновское движение, а также исследование структуры временных корреляционных функций (включая случай не только чисто экспоненциальной, но и периодической релаксации), связи получаемых с помошью стохастического уравнения результатов с фоккер-планков-ским формализмом и, наконец, несколько задач по учету Последействия среды на брауновскую частицу, влияние которого при достаточной его величине и длительности может привести также к колебательным релаксационным процессам, происходящим в системе уже не за счет внешнего поля. [c.99]

В теории, однако, проводится усреднение по статистическому ансамблю или по статистическому распределению результатов большого числа наблюдений. Ясно, что повторение наблюдений в идентичных условиях трудно исполнимо. Выход из этого затруднения в некоторых ситуациях указывает эргодическая теорема [16], согласно которой среднее значение случайной величины по объёму (1.3) совпадает со средним по ансамблю реализаций при условии, что распределение статистически однородно, то есть все разноточечные моменты поля усредненные по вероятностной мере, не изменяются при пространственном сдвиге, и радиус корреляции Гсогп то есть характерное расстояние, на котором изменяется корреляционная функция поля u [o ,x)uJ[(o,x + r fj, конечен. При нашем определении средних (1.3), (1.4) требуется, чтобы Гсоп- был мал по сравнению с Я. Этот тонкий вопрос о совпадении средних по объему и по ансамблю исследован в [17] на примере уравнения Шрёдингера для электрона в поле примесей. [c.10]

Так, например, на основании исследования усталости картеров ведуш,их мостов автомобилей ЗИЛ-164А при переменном изгибе в пульсирующем цикле получены корреляционные уравнения долговечности в функции нагрузки Q в Н-м при заданной вероятности Р [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...