Обобщенное уравнение Фоккера Планка

Обобщенное уравнение Фоккера-Планка. Перейдем теперь к выводу уравнения эволюции для Следуя методу неравновесного статистиче- [c.220]

Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гидродинамических флуктуаций уравнение (9.1.35) можно существенно упростить. [c.224]

Заметим, что при выводе обобщенного уравнения Фоккера-Планка нигде не использовался явный вид уравнений движения для базисных динамических переменных. Поскольку переменные й (г) соответствуют плотностям сохраняющихся величин, эти уравнения движения должны иметь форму локальных законов сохранения [c.224]

Рассмотрим связь между обобщенным уравнением Фоккера-Планка (9.1.66) и гидродинамическими уравнениями (9.2.24), в которых все величины считаются флуктуирующими переменными. Сначала для читателей, не знакомых в достаточной степени с теорией стохастических процессов, мы приведем основные сведения, знание которых необходимо для дальнейшего обсуждения конкретного случая флуктуационной гидродинамики ). [c.275]

В работе [45] выведено обобщенное уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для процессов, описываемых уравнением тина (1.91) [c.35]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

Обобщенное уравнение Фоккера — Планка для лазера [c.305]

Обозначения (11.86) — (11.88) связаны с тем, что для операторов 5+, 5 и выполняются такие же коммутационные соотношения, как и для компонент оператора спина. Явно мы это обстоятельство здесь использовать не будем, хотя оно играет известную роль в подробном выводе обобщенного уравнения Фоккера—Планка, о котором пойдет речь. [c.306]

Выше уже говорилось, что подробный вывод обобщенного уравнения Фоккера—Планка весьма громоздок, а потому мы здесь приведем только окончательный результат. Уравнение для функции распределения имеет вид [c.307]

Уравнение (11.96) вместе с выражениями (11.97) — (11.100) представляет собой обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера. Отметим, что некоторые слагаемые имеют привычный для уравнения Фоккера—Планка вид и выражаются только через пер- [c.308]

Редукция обобщенного уравнения Фоккера — Планка [c.309]

В этом разделе мы хотим показать, как обобщенное уравнение Фоккера—Планка, вывод которого в общих чертах был намечен в предыдущем разделе, приводится к обычному уравнению Фоккера—Планка. Чтобы проделать это преобразование, мы должны оценить заранее масштаб величин и, v, D в лазере. Разумеется, в исходном уравнении самого общего вида [c.309]

В заключение отметим, что обобщенное уравнение Фоккера— Планка (11.123) приложимо и в том случае, когда лазер находится значительно выше порога (при этом метод адиабатического исключения может оказаться уже неприменимым). [c.315]

II.3. Обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера [c.341]

Редукция обобщенного уравнения Фоккера—Планка См. [11.81 [c.342]

Обобщенное уравнение Фоккера — Планка 306 Оператор рождения и уничтожения фотонов и электронов 252 [c.345]

Уравнение (141) есть обобщенное уравнение Фоккера — Планка его следует решать при начальных условиях [см. (65)] [c.204]

В одном из этих методов используется разложение функции преобразования, которая связывает распределение в момент времени с распределением в момент (. Разложение производится по приращениям импульса и пространственных координат за время Д/. Если пренебречь при этом всеми моментами приращений порядка выше второго, то мы получаем обобщенное уравнение Фоккера—Планка, которое может служить основой для феноменологической макроскопической теории процессов переноса. Такое рассмотрение аналогично подходу, применяемому обычно при исследовании броуновского движения. В некоторых случаях высшими моментами действительно можно пренебречь. В других случаях метод дает лишь приближенные результаты. [c.224]

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

Такая запись уравнения Фоккера - Планка открывает путь к некоторым обобщениям. Будем символами х, у,. .. обозначать не точки / -пространства, а точки трехмерного пространства. Рассуждения, приведшие нас к уравнению Фоккера - Планка, сохраняют силу и в этом случае, и мы получим уравнение (83.9) с плотностью тока (83.10), но в трехмерном пространстве. Вектор at представляет собой в этом случае обычную скорость частицы г, а тензор btt — функцию корреляции между смещениями частицы в направлениях координатных осей. [c.459]

В этом случае эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский процесс. Совместная плотность вероятностей координат и скоростей должна подчиняться уравнению Фоккера— Планка—Колмогорова, а определение среднего времени, в течение которого изображающая точка достигнет некоторой границы в фазовом пространстве, сводится к краевой задаче для уравнения Понтрягина (1.67). [c.30]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

Подстановка выражения (9.4.87) в (9.4.80) приводит к формально замкнутым уравнениям для средней скорости и корреляций Эти уравнения аналогичны обобщенным уравнениям переноса, которые выводились ранее методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля, поэтому в общем случае они сильно нелинейны и содержат эффекты памяти. Тем не менее, вполне возможно, что более детальное изучение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка — один из путей построения последовательной статистической теории турбулентности. Надеемся, что читатель, дочитавший до конца книгу, достаточно подготовлен к тому, чтобы принять участие в решении этой важной и увлекательной проблемы. [c.270]

СИЛЫ. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и квантовомеханическому состоянию системы, получим полуклассические уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение других методов, например метода матрицы плотности или подхода, основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут указаны в следующем разделе. [c.317]

Итак, необходимые и достаточные условия, при которых выпол няется принцип детального равновесия, в окончательном виде сводятся к равенствам (10.4.37), (10.4.41) и (10.4.42). Условие (10.4.38), или эквивалентное ему условие (10.4.40), если рассматривать его как дифференциальное уравнение относительно Ф, позволяет находить обобщенный термодинамический потенциал с помощью квадратур, т. е. криволинейного интеграла. Тем самым стационарное решение уравнения Фоккера—Планка может быть полностью определено. [c.345]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

В динамической теории флуктуаций уравнение (9.1.35) принято называть обобщенным уравнением Фоккера-Планка так как по структуре оно напоминает уравнение Фоккера-Планка, которое широко используется в теории броуновского движения и во многих других физических задачах [146]. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в форме (9.1.35) было выведено Цванцигом [175] с помощью разработанного им метода проектирования ). Аналогичное уравнение для квантовых систем получено методом неравновесного статистического оператора в работе [28]. [c.223]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение ...Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера — Планка в случае переменных структурных чисел [Кв — структурные числа). Оно справедливо, если время корреляции Хкор много меньше постоянных времени системы и если не интересоваться интервалами времени порядка времени корреляции другими словами, если можно считать случайную функцию х 1) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова... . Оценка [c.35]

Гл. 4 Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения , пожалуй, слишком фрагментарна. Основное внимание в ней уделяется двум возможным трактовкам нелинейных стохастических уравнений (дилемма Ито—Стратоновича) и переходу к соответствующим уравнениям Фоккера—Планка. Вопрос о преимуществах каждой из двух трактовок фактически не обсуждается, а такой анализ был бы полезен, поскольку они не исчерпывают всех вариантов возможна иная запись уравнения Фоккера—Планка и соответствующего уравнения Ланжевена, более естественная с точки зрения общей кинетической теории. (Для системы с диссипативной нелинейностью это приводит к обобщенному выражению Эйнштейна для коэффициента диффузии.) [c.8]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...