Суммирование диаграмм

Математический аппарат статистической механики — 212 Метод суммирования диаграмм — 213 [c.239]

Методы суммирования диаграмм и перенормировок, применяемые при описа-шш систем с высокой плотностью, были развиты в работах [c.320]

Суммирование диаграмм, позволяющее устранить эту расходимость, было проделано в работах [c.306]

Простые примеры. Прежде чем приступить к обсуждению нетривиальных проблем кинетической теории, связанных с суммированием диаграмм, приведем несколько простых примеров в качестве иллюстрации диаграммной техники. [c.194]

Если итерационный процесс сходится, т. е. суммирование диаграмм приводит к некоторой конечной функции G, то при п оо обе функции G и стремятся к G. С помощью явного выражения (3.3.17) для G результат суммирования диаграмм может быть представлен в виде уравнения [c.204]

Заметим, что описанная процедура аналогична суммированию диаграмм в параграфе 3.3 для учета последовательностей столкновений, охватывающих произвольно большое число частиц. Как и там, суммирование бесконечной последовательности диаграмм приводит к уравнению для Gab- Это уравнение получается из уравнения (3.4.39) в пределе п 00. В полных обозначениях оно имеет вид [c.224]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Формула (6.4.22) имеет структуру, удобную для диаграммной техники, так как при усреднении со статистическим оператором (6.4.23) можно применить теорему Вика. Используя диаграммное представление для G (1,1 ) и производя блочное суммирование диаграмм, можно вывести уравнение Дайсона ) и тем самым конструктивно доказать, что на расширенном контуре С существует обратная функция G (l,l ). Впрочем, для доказательства существования обратной функции не обязательно обращаться к теории возмущений и диаграммной технике. Добавляя на рис. 6.7 участок с термодинамической эволюцией операторов, мы фактически добиваемся того, что усреднение в конечной точке выполняется со статистическим оператором ( о) который удовлетворяет условию ослабления корреляций. Как уже отмечалось, это гарантирует существование функции G (l,l ). [c.67]

Суммирование диаграмм. Уравнение Дайсона. В большинстве задач квантовой статистики, как правило, нельзя ограничиться учетом нескольких первых членов ряда теории возмущений. Вместо этого приходится суммировать различные бесконечные последовательности членов, соответствующих так называемым главным диаграммам, вклад которых оказывается, в силу условий задачи, одинаковым по порядку величины. Замечательным свойством изложенной выше диаграммной техники для гриновских функций является тот факт, что суммированию какой-нибудь бесконечной (или конечной) совокупности членов ряда теории возмущений можно сопоставить своеобразное графическое суммирование диаграмм. Диаграмма, изображающая такую сумму, составляется из элементов, каждый из которых в свою очередь является результатом суммирования. Например, линии такой диаграммы могут изображать сумму какой-нибудь бесконечной последовательности членов теории возмущений для гриновской функции ( сумму диаграмм). Сопоставление диаграмме определенных выражений производится по тем же правилам, по каким вычислялись выражения по теории возмущений каждой линии диаграммы сопоставляется соответствующая ей сумма диаграмм и т. д. [c.120]

Это уравнение, связывающее 0-функцию с вершинной частью, называется уравнением Дайсона. Здесь мы получили это уравнение путем суммирования диаграмм. Ниже будет произведен аналитический вывод уравнения Дайсона и более подробное рассмотрение вершинной части. [c.124]

Вычисление Г может быть осуществлено путем суммирования диаграмм. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 23, а также на рис. 29, а, б, в. Уже из того, что диаграммы для Г можно рассматривать как некоторую часть диаграмм для О-функции, следует, что правила сопоставления каждой диаграмме соответствующих выражений остаются теми же, что и при вычислении О. В этом нетрудно убедиться и непосредственным образом, если воспользоваться аналитическим определением Г и действовать дальше в полной аналогии с методами предыдущего параграфа. [c.130]

Для вычисления многочастичных гриновских функций в принципе можно было бы написать уравнения, аналогичные уравнениям Дайсона, которые связывают эти функции с функциями следующих порядков. Однако на практике такая процедура не дает каких-либо полезных результатов и проще непосредственно суммировать диаграммы. При этом часто оказывается, что определенная последовательность диаграмм является наиболее существенной. Обычно в таких случаях суммирование диаграмм не представляет большого труда. [c.133]

Суммирование диаграмм приводит к интегральному уравнению для G(p,p со) [c.425]

Изложенная процедура есть не что иное, как стандартная квантовомеханическая теория возмущений, приведенная лишь к виду, максимально удобному для практического использования. В связи с этим возникает вопрос о суммировании ряда или хотя бы о нахождении частичных его сумм. (Об этом обычно говорят, как о суммировании диаграмм.) Очевидно, при рассмотрении того или иного конкретного эффекта надо суммировать лишь диаграммы с одним и тем же числом и типом внешних линий — различные порядки теории возмущений отличаются друг от друга лишь различной степенью учета виртуальных процессов. Иначе говоря, прежде всего надо начертить простейшую диаграмму, описывающую исследуемый процесс в наинизшем возможном порядке теории возмущений (такая диаграмма называется скелетной). Далее [c.274]

Аналогично двухчастичные, трехчастичные и т. д. функции Грина также представляют собой частичные суммы ряда теории возмущений, изображаемые диаграммами с соответствующим числом внешних линий того или иного типа. Это обстоятельство позволяет выполнять суммирование диаграмм по этапам . Именно, введем, обобщая случаи, представленные на рис. 2—4, понятия части собственной энергий, поляризации вакуума и вершинной части. По определению, частью собственной энергии называется диаграмма (или часть диаграммы), соединенная с остальными ее частями (или краем чертежа) лишь двумя внешними фермионными линиями. Очевидно, она получается из диаграммы рис. 3, если вставить в последнюю все возможные внутренние линии. Аналогично частью поляризации вакуума именуется диаграмма, имеющая лишь две внешние бозонные линии, а вершинной частью — диаграмма с двумя фермионными и одной бозонной внешними линиями. Таким образом, разность определяется суммой всех частей собственной энергии, — суммой всех частей поляризации вакуума, а Г — Г —суммой всех вершинных частей диаграмм. Введем далее понятие неприводимой диаграммы как диаграммы, не содержащей вершинных частей, частей собственной энергии и частей поляризации вакуума. (Неприводимая диаграмма, вообще го- воря, не совпадает со скелетной, ибо может содержать дополнительные внутренние линии.) Неприводимые диаграммы, получающиеся из данной скелетной добавлением различных внутренних линий, мы будем называть принадлежащими ей. Из определения вытекает, что для вычисления элемента 5 -матрицы, соответствующего какому-либо процессу, надо [c.276]

Во-первых, все рассуждения о суммировании диаграмм носили чисто формальный характер, ибо основывались на определенных предположениях об аналитических свойствах искомых функций. В частности, неявно предполагалась сходимость ряда теории возмущений в точке = 0. Фактически, однако, это. предположение может оказаться и несправедливым. Так, например, в квантовой электродинамике р д теории возмущений, по-видимому, является асимптотическим [1]. [c.278]

Поскольку по определению матричные элементы взаимодействия Vil отличны от нуля, лишь если 1ф Г, ряд (9.36) напоминает разложение i-матрицы (9.26), в котором последовательные индексы суммирования немедленно не повторяются. Однако при усреднении по ансамблю слагаемых, содержащих степени gi, различные сомножители оказываются коррелированными. Обойти эту обычную трудность не удается. Частичное суммирование диаграмм с помощью кумулянт [5] в конечном итоге также не дает лучших результатов, чем более непосредственный метод когерентного потенциала (см. 9.4), [c.387]

ТО полученное выражение для К совпадает с выражением (2.36), полученным непосредственным суммированием диаграмм. Аналогично, беря нулевое приближение для 2 [c.30]

Введение обобщенных блоков. Описанную выше диаграммную технику для спиновых операторов можно перестроить, производя некоторые частичные суммирования диаграмм в пределах данного порядка теории возмущений. Рассмотрим прежде всего ряды для парных корреляционных функций К и изображенные на [c.30]

Этот вывод легко проверить простым суммированием численности машин по вертикальным графам диаграммы N = ЗОН = 50 6 = 300). [c.18]

Рис. 8.7. Векторная диаграмма суммирования действия отдельных участков зоны.

Асимметрия цикла. Во многих случаях, кроме циклической доставляющей напряжения, имеется статическая (постоянная) составляющая, т.е. нагружение происходит асимметрично. При возрастании статической составляющей напряжений циклические напряжения, приводящие металл к разрушению, снижаются, так как фактически разрушение определяется суммированием статических и циклических напряжений. Наиболее простой случай одновременного статического и циклического нагружения— наложение статического растяжения (или сжатия) при циклическом одноосном растяжении—сжатии. В этом случае напряжения алгебраически складываются и металл подвергается асимметричному растяжению—сжатию, пульсирующему растяжению или пульсирующему сжатию. На рис. 104, 105 представлены так называемые полные диаграммы усталости сплавов ВТЗ-1 и Ti-6 % Al—4 % V (типа сплава ВТ6) при различных температурах и различной концентрации напряжений (круговой надрез) [95 и др.]. Эти диаграммы представляют зависимость разрушающих циклических напряжений, которые уменьшаются при наложении возрастающего статического напряжения растяжения. Предельной точкой этих диаграмм является величина статического напряжения, равная пределу текучести материала, когда практически нулевые циклические напряжения могут привести к разрушению. Циклическая состав- [c.169]

Амплитуда момента в плоскости первого цилиндра условно направлена вверх. Рабочие процессы в третьем и первом цилиндрах сдвинуты один относительно другого по фазе на 90 , поэтому относительная амплитуда момента направлена под углом 90-0,5 = 45° к амплитуде, первого цилиндра амплитуду в плоскости седьмого цилиндра — под углом 180-0,5= =90 и т. д. Такое же направление будут иметь вектора гармоник 4 /а> 8 /г, I2,. .., (4 + /а)-го порядков. Для З /., 7 /г. И /а. -, (4п — /г)-го порядков расположение векторов моментов будет в виде зеркального изображения рассмотренного случая. При геометрическом суммировании относительных амплитуд из формы колебаний для обеих групп гармоник фазовые диаграммы совпадают. Аналогично изложенному построены в [c.377]

Н. А. Бородачев разработал важные положения теоретико-вероятностных точностных технологических расчетов, результатом которых является построение теоретической точностной диаграммы. В формулы суммирования погрешностей им были введены коэффициенты относительного рассеивания и относительной асимметрии, широко используемые как при расчете точности обработки, так и расчетах ошибок размерных и кинематических цепей. [c.4]

Проблема исследования систем, когда к ним не применим критерий слабой неидеальности, требовала новых подходов. Одним из них стал метод получения интегральных уравнений для младших функций распределения, полученных на основе расцепления цепочки уравнений с использованием физических допущений. В 1935 г. Кирквуд предлагает суперпозиционное приближение [26], которое приводит к уравнению, наиболее широко используемому в настоящее время в форме Боголюбова [11]. В 1958 г. Перкус и йевик опубликовали полученное ими уравнение [27], которое обладает тем замечательным свойством, чта допускает точное решение для системы твердых сфер. Для описания систем при больших плотностях был развит метод суммирования диаграмм и перенормировок, на основе которого выведено ГПЦ уравнение [28]. [c.213]

Для проведения последовательного суммирования диаграмм на фиг. 20.5.2 изображены первые несколько диаграмм этого типа вплоть до порядка е . Общий случай довольно сложен. Поэтому здесь, как и ранее, ограничимся пространственно-однородными системами, удовлетворяющими условиям (20.3.1), (20.3.2) тогда, как нетрудно проверить, многие из изображенвЕЫХ на фиг. 20.5.2 диаграмм тождественно обращаются в нуль. В частности, все диаграммы с власовской верпшной В, действующие непосред- [c.288]

Чтобы привести результат суммирования диаграмм к окончательной ЯВНОЙ форме, необходимо решить уравнение (20.5.14). Это будет сделано в след пющем разделе. [c.294]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

Многочастичные процессы. Если число частиц, участвующих в процессе, превышает три, изложенный выше метод суммирования диаграмм становится неэффективным. Уже среди четырехчастичных диаграмм появляются такие, которые дают в интеграл столкновений расходящийся вклад. В разделе 3.1.5 было отмечено, что эти расходимости порождаются повторными (коррелированными) парными столкновениями. Поэтому во всех порядках по плотности необходимо выполнить суммирование соответствующих опасных диаграмм. Мы ограничимся для простоты пространственно однородными состояниями, когда fi(x,t) = /i(p, ). Обобщение на пространственно неоднородные газы не приводит к каким-либо принципиальных проблемам, но, конечно, усложняет математику. [c.202]

Энергограмма машины строится графическим суммированием диаграммы N (t) по интервалу Тр с учетом числа гнезд и. [c.274]

Суммирование диаграмм. Особенностью развиваемой диаграммной техники по сравнению с известной техникой для вторичноквантованных гамильтонианов является существенная зависимость числового коэффициента Сп от структуры диаграммы. Факториальные множители в выражении (1.16) приводят к рядам типа рядов Тейлора в отличие от техник для бозе- и ферми-систем, где характерным является появление простейших степенных рядов типа геометрической прогрессии. [c.15]

Как и всякая разумная диаграммная техника, гехника Келдыша позволяет проводить суммирования диаграмм блоками . Важнейшими такими блоками являются так называемые собственно-энергетические функции. [c.479]

Вывод кинетического уравнения для кристаллической решетки из уравнений Лиувилля методом суммирования диаграмм излагается в лекции Хенин. На этом простом случае видно, как из обратимого уравнения Лиувилля можно получить необратимое кинетическое уравнение. Эта лекция примыкает к циклу работ Пригожина и сотрудников по обоснованию кинетического уравнения. Весьма важные работы Н. Н. Боголюбова по выводу кинетического уравнения, к сожалению, не отражены в лекциях. [c.8]

Для получения правильного результата в этом приближении надо учесть все возможные диаграммы данного порядка. (Очевидно, например, что можно получить еще одну аналогичную диаграмму, если на рис. 1 поменять местами Рз и Pi). Вклады от iB ex диаграмм данного порядка суммируются. Поскольку все рассматриваемые диаграммы имеют по две вершины, каждая из которых характеризуется множителем У а, результат суммирования (в смысле амплитуды взаимодействия) будет пропорционален (интенсивность взаимодействий пропорциональна [c.15]

Использовавшаяся ранее координатная сетка на р—ц-диаграмме удобна для подсчета работы (см. рис. 3.2). Этот подсчет для цикла может быть произведен двумя способами. Один из них представлен формулой (3.1) и состоит в суммировании элементарных работ вдоль ломаной, приближенно представляющей кривую цикла удобство подсчета состоит в том, что на каждом вертикальном отрезке ломаной (элементарной изохоре) работа равна нулю. При бесконечном сгущении сетки работа цикла выражается криволинейным интегралом [c.54]

Соотношение для начального этапа роста усталостной трещины без усталостных бороздок использовано как верхняя граница для максимальной скорости роста трещины в соответствии с единой кинетической диаграммой для сплавов на основе А1. Выражения (12.1)-(12.3) относят к случаю разбиения всей зависимости на интервалы с прямолинейными j a TKaMH с их последующим суммированием для определения полного периода роста трещины. Результаты выполненных расчетов представлены в табл. 12.3. [c.639]

Для определения тангенциальных модулей по диаграммам деформирования, полученным из экспериментов при одноосном нагружении, Петит [19] использует деформации слоя ei и б2, развивающиеся при двухосном нагружении Этот прием не является вполне строгим. Сандху в своем подходе пытается учесть эффект двухосного напряженного состояния путем определения после каждого шага нагружения эквивалентных деформаций. Эти скорректированные деформации используются для определения средних упругих констант слоя, после чего вычисляется новое значение [Ау и по нему уточненные приращения деформаций. Процедура повторяется до тех пор, пока разность между приращениями деформаций, определенными в двух соседних итерациях, не будет меньше желаемой точности приближения. Окончательно приращения напряжений слоя получаются из этих исправленных величин приращений деформаций и тангенциальных модулей (уравнение (4.3), записанное через приращения). Текущие значения напряжений, деформаций и энергии деформирования на (rt+l)-M шаге определяются суммированием соответствующих приращений и текущих значений после предыдущего шага нагружения. Повторение этой процедуры позволяет получить диаграмму деформирования композита до тех пор, пока величина накопленной энергии деформирования любого слоя не достигнет своего предельного значения. [c.156]

Для грамотного проведения соиоставлеиия необходимо учитывать главные или, но крайней мере, большинство главных влияющих факторов, которые значимо снижают уровень сопоставимости. Для случая 6г, = нроведеио суммирование погрешностей при v = 0,5 и v = 0,15. Данные иредставлены в таблице и на рис. 6 в виде диаграммы Д/>, построешюй в за- [c.141]

Углы между кривошипами принимаются в компрессорах двухрядных простого действия — 180°, трёхрядных простого действия — 120°, двухрядных двойного действия — 90°, 120° и 180°. Наивыгоднейший угол и относительное опережение кривошипов в последнем случае определяют путём пробного суммирования тангенциальных диаграмм обоих рядов. [c.500]

Основываясь на результатах, полученных при исследовании производственных погрешностей преобразующих систем и обрабатываемых деталей, переходят к вопросам суммирования производственных погрешностей, завершающим этапом которого следует считать построение проектной точностной диаграммы. [c.452]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...