Среднее значение динамической переменно

Очевидно, что среднее значение динамической переменной L у систем такого ансамбля определяется формулой [c.191]

Среднее значение динамической переменной системы в смешанном ансамбле (11.29) определяется, как и среднее значение (11.24) у системы по общей с термостатом волновой функции Ч (х, q), той же матрицей плотности (11.25), записываемой теперь в виде (11.30). [c.193]

Вычисление средних значений динамических переменных. В теории вероятностей среднее значение величины (А), принимающей значения Х (п = 1, 2,. ..) с вероятностями а , вычисляется по формуле [c.110]

Это правило может быть обобщено среднее значение динамической переменной, представляемой оператором А, в состоянии, характеризуемом волновой функцией Ч, задается формулой [c.110]

Как вычисляются средние значения динамических переменных [c.116]

Дифференцирование операторов по времени, скобки Пуассона. С течением времени средние значения динамических переменных, вообще говоря, изменяются. Дифференцируя обе части равенства [c.122]

Таким образом, производная от среднего значения динамической переменной представлена как среднее значение от некоторого оператора. Естественно этот последний оператор принять за определение производной от оператора динамической переменной. Обозначая производную от оператора А символом с1Л/с1/, па основании (19.6) можно написать [c.123]

Среднее значение динамической переменной, представляемой в картине Шредингера независимым от времени [c.155]

С элементом фазового объема (1.1.6). Символом A q p t) обозначена динамическая переменная А для системы, содержащей N частиц, т.е. (г ,..., Гдг,Р1,..., Рдг, ). Если число частиц в системах ансамбля не фиксировано, то средние значения динамических переменных вычисляются по формуле [c.15]

Среднее значение динамической переменной А в произвольном квантовом состоянии Ф( )) определяется выражением [c.24]

Используя это определение, среднее значение динамической переменной в смешанном ансамбле (1.2.18) можно записать в виде [c.26]

Итак, мы имеем два эквивалентных выражения для решения квантового уравнения они даются формулами (1.2.68) и (1.2.70). Первое из них обычно более удобно для явных вычислений матричных элементов статистического оператора и средних значений динамических переменных, а второе позволяет рассматривать многие общие вопросы неравновесной статистической механики одновременно для квантовых и классических систем. В дальнейшем мы будем использовать оба выражения для статистического оператора g t). [c.38]

Из квантового уравнения Лиувилля, как и из его классического аналога, можно вывести уравнения движения для средних значений динамических переменных. Пусть динамической переменной соответствует оператор который может явно зависеть от времени. Дифференцируя равенство [c.39]

Квазиравновесное распределение для классических газов. В параграфе 2.1 уже отмечалось, что на кинетической шкале времени для описания неравновесного состояния классического разреженного газа вполне достаточно задать одночастичную функцию распределения. Эту функцию можно определить как среднее значение динамической переменной (2.1.4). Вводя фазовые переменные X = (г, р) и аналогичные переменные для i-ои частицы х- = (г-, pj, перейдем к компактным обозначениям [c.92]

Легко убедиться в том, что член Ag t) не дает вклада в среднее значение динамической переменной V t)Pm> В самом деле, эта часть потока является линейной комбинацией базисных переменных поэтому ее средние значения, вычисленные с истинным неравновесным распределением (2.3.25) и с квазиравновесным распределением ( ), совпадают в силу условий самосогласования (2.3.4). С учетом этого обстоятельства уравнения (2.3.24) приводятся к виду [c.111]

Вообще говоря, эргодические условия, как и все другие граничные условия для статистических распределений, должны пониматься в слабом смысле , т. е. для средних значений динамических переменных, которые вычисляются с данным статистическим распределением. [c.130]

Как уже неоднократно отмечалось, предельный переход +0 должен выполняться после термодинамического предельного перехода в средних значениях динамических переменных. Интегрирование по частям выражения в левой части (2.4.39) дает [c.131]

В случае слабого возмущения ХН можно ожидать, что диагональные элементы матрицы плотности (2.5.29) будут медленно меняться со временем по сравнению с недиагональными элементами, поэтому вклад последних в средние значения динамических переменных будет мал на достаточно грубой шкале времени. Па основании этих соображений естественно выбрать диагональные элементы матрицы плотности в качестве наблюдаемых и вывести для них обобщенное кинетическое уравнение, которое и будет описывать неравновесный процесс в системе. [c.139]

Согласно формулам (2Д.8) и (2Д.10), средние значения динамических переменных записываются как [c.161]

Итак, мы выяснили, что поправки к средним значениям динамических переменных выражаются через параметры отклика /" (0 ), которые удовлетворяют системе линейных уравнений (5.1.22). Эти уравнения мы будем обычно называть уравнениями отклика. Коэффициенты в них составлены из равновесных корреляционных функций вида (5.1.19), которые, таким образом, играют исключительно важную роль в теории линейной реакции. [c.344]

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

Формула (5.1.57) позволяет дать физически наглядную интерпретацию запаздывающей функции Грина. Рассмотрим влияние мгновенного возмущения Н1 = В 6 t —to) на среднее значение динамической переменной А. Согласно (5.1.57) имеем [c.350]

В параграфе 5.1 мы рассмотрели формулировки теории линейной реакции, в которых средние значения динамических переменных выражались через временные корреляционные функции или запаздывающие функции Грина. Эти формулировки очень важны с точки зрения общей теории, так как они приводят к универсальным соотношениям между измеряемыми в эксперименте макроскопическими величинами и характеристиками микроскопической динамики равновесных флуктуаций. Однако для практических приложений требуются эффективные методы вычисления корреляционных функций. Хотя в настоящее время существует несколько методов такого рода, ни один из них не является универсальным. В этом параграфе мы обсудим подход, который позволяет изучить некоторые важные свойства корреляционных функций, включая их поведение во времени, не обращаясь явно к сложной динамике системы многих частиц. В этом смысле излагаемый ниже подход напоминает наше исследование восприимчивостей и кинетических коэффициентов в предыдущем параграфе, но он более тесно связан с линейными уравнениями переноса. [c.372]

Термодинамические функции Грина. Мы видели в начале параграфа, что в неравновесной термодинамике величинами, представляющими интерес, являются средние значения динамических переменных и их корреляционные функции (6.1.5) в квазиравновесном ансамбле ). Однако диаграммная техника может быть построена не для них, а для специальных величин, которые мы назовем термодинамическими функциями Грина ). [c.12]

Из обсуждения в разделе 6.1.2 ясно, что, зная одночастичную функцию Грина, можно вычислить квазиравновесные средние значения динамических переменных, которые являются билинейными формами от операторов рождения и уничтожения ). Многочастичные корреляции в квазиравновесном состоянии описываются термодинамическими функциями Грина высших порядков. Определим 5-частичную функцию Грина с помощью соотношения [c.19]

Формально статистический оператор (8.4.83) описывает равновесное состояние сверхтекучей жидкости, но, как и в случае нормальной жидкости, при вычислении средних значений динамических переменных А г) в фиксированной точке г параметры /5 и /х [c.201]

Напомним, что бесконечно малый источник, отбирающий такие решения, стремится к нулю после вычисления термодинамического предела в средних значениях динамических переменных. [c.282]

Полученная структура уравнения движения (2.45) описывает временную зависимость средних значений динамических переменных М-системы (излучателей). Однако, на её основе могут быть получены и характеристики излучения, если воспользоваться выражениями для интегралов движения гамильтониана (2.26). [c.74]

Операторное уравнение движения (4.86) позволяет вывести уравнения для средних значений динамических переменных поля. Уравне- [c.163]

К счастью, однако, для решения подавляющего большинства задач полная информация, содержащаяся в матрице плотности, фактически не нужна [2], [3]. Действительно, чаще всего приходится иметь дело лишь с операторами аддитивного и бинарного типов. При вычислении средних значений динамических переменных, описываемых этими операторами, общая формула (1.2) значительно упрощается. Рассмотрим, например, среднее значение А некоторого аддитивного оператора А. В силу симметрии оператора р мы имеем [c.20]

Замечание. В каноническом распределении среднее значение динамической переменной А может быть записано в виде [c.130]

Несколько неожиданным является тот факт, что здесь момент времени Т может быть выбран произвольно. Отметим, однако, что сами по себе гриновские функции — вспомогательные величины, поэтому выбор момента Т зависит от того, какие физические величины вычисляются с их помощью. Допустим, например, что нас интересуют средние А- которые определяют наблюдаемые значения динамических переменных в [c.61]

Как и в главе 8, базисные динамические переменные, удовлетворяющие локальным законам сохранения, будут обозначаться посредством а г). В гидродинамике неравновесное состояние системы описывалось средними значениями а г)) для которых выводились гидродинамические уравнения. В теории флуктуаций такого описания недостаточно, так как средние значения локальных переменных и моменты их флуктуаций удовлетворяют цепочке связанных уравнений. Таким образом, нужно расширить набор базисных переменных, включив в него произведения а г2), 2( 2) газ( з) и т.д. Недостатком этого подхода является то, что в нем приходится иметь дело со сложными формальными выражениями, содержащими бесконечные векторы и матрицы [98, 99]. Поэтому более удобно использовать уравнение для функции распределения (или функционала распределения) гидродинамических переменных, которое мы выведем в этом параграфе. [c.217]

Решение. Обозначим координаты и импульсы единым символом z=(x, р). Пусть z = z[zq, t) — решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Hq z). Среднее значение произвольной динамической переменной Л , (2) в равновесном состоянии [c.282]

Совокупность различных значений Li динамической переменной L, полученных в результате ее измерения у системы с волновой функцией ijj, представляет собой статистический коллектив,, или квантовый ансамбль, величины L. В этом статистическом ансамбле и определяются средние значения (L) измеряемой величины. [c.189]

Средние значения любых динамических переменных в состоянии ti(q) можно вычислить теоретически, исходя из физического смысла волновой функции. Действительно, поскольку квадрат волновой функции в координатном представлении i))(q) = определяет плотность вероятности.обнаружения частиц системы в соответствующих точках пространства, то [c.189]

Г. На рис. 187 изображена динамическая модель системы с упругой муфтой постоянной жесткости. Слева от муфты 2 показана модель двигателя /, а справа модель рабочей машины 3. Под номерами и 5 условно показаны приведенные массы с моментами инерции Д и Уа. Коэффициент жесткости упругого элемента равен с нм рад. В общем случае приведенные моменты инерции могут быть переменными, но если их величины не сильно колеблются, то можно считать их постоянными, равными их средним значениям, что конечно, понизит точность исследования, но сделает задачу исследования разрешимой. [c.301]

В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее определенном числовом значении в данный момент времени и изменении этого значения со временем. Поэтому классическое описание движения частицы и выражение динамических переменных в виде функций времени теряют смысл. Основные положения квантовой механики аксиоматически могут быть сформулированы в виде следующих четырех постулатов (более общая формулировка этих постулатов дана в 23). [c.110]

В ответ на последнее возражение заметим, что для получения огрубленных средних значений динамических переменных нужно совершить два предельных перехода обычный термодинамический предельный переход V оо N/V = onst) и предельный переход АГ 0. Нет оснований полагать, что результат не будет зависеть от порядка, в котором совершаются эти предельные переходы. Огрубление функций распределения имеет смысл, если сначала вычисляется предел К оо, а уже затем АГ О, причем сходимость не является равномерной. Интересно, что Гиббс [13], проводя аналогию между стремлением классического статистического ансамбля к равновесию и перемешиванием в несжимаемой жидкости, вводил, по существу, процедуру огрубления фазовой функции распределения и отмечал отсутствие равномерной сходимости. [c.49]

Для масштабов времени таких, что At описание состояния системы еще более упрощается, поскольку в макроскопически малых объемах успевает установиться локальное равновесие. Наступает гидродинамическая стадия эволюции для описания которой достаточно полумакроскопических величин локальной концентрации частиц (п(г)) , плотности импульса (р(г)) и плотности (кинетической) энергии Н г))К Эти величины являются средними значениями динамических переменных [c.82]

Уравнения баланса для наблюдаемых РтУ не являются единственным способом описания релаксационных процессов. Например, в разделе 2.4.1 первого тома излагался проекционный метод Цванцига, который позволяет получить формально замкнутое уравнение для квазиравновесной части статистического оператора, соответствующей сокращенному описанию неравновесного состояния системы. Таким образом, метод Цванцига оперирует не со средними значениями динамических переменных, а с приведенными статистическими распределениями. Уравнения, описывающие эволюцию таких распределений, называются основными кинетическими уравнениями ). [c.104]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...