Двумерные уравнения теории поля

Двумерные уравнения теории поля [c.329]

Запишем дифференциальное уравнение для симметрической двумерной задачи теории поля [c.182]

Рассмотрены ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости и теплообмен в каналах при произвольном малом отклонении их поверхности от цилиндрической. Приведена линейная система уравнений и граничных условий для возмущенных динамических и тепловых полей, полученная путем линеаризации полной системы уравнений Навье-Стокса около решения для развитых течений в цилиндрических трубах произвольного сечения. Для практически важного случая, когда возмущения поверхности каналов сосредоточены на участке конечной длины, показано, что интегральные динамические и тепловые характеристики каналов находятся без решения трехмерных уравнений путем перехода к эффективным двумерным краевым задачам, сложность решения которых не выше, чем для развитых течений. Дано обобщение развитой теории на течения с силовыми источниками малой эффективности. Рассмотрены приложения к плоским каналам и круглым трубам с возмущенными поверхностями. [c.374]

Для описания деформации неоднородных тел важное значение имеют проанализированное нами уравнение сплошности, а также использованная в работе техника моторного анализа. Кроме того, рассмотрены дефекты и концентраторы напряжений, допускающие описание в двумерной постановке. Методами классической теории упругости с использованием функций комплексного переменного получены комплексные потенциалы, через которые легко описать поля напряжений и их особенности. Тем не менее уже в классической теории необходимо учитывать если не моменты, которые полагают равными пулю в классической постановке, то повороты, являющиеся следствием релаксации момента. Эти повороты испытывают элементы структуры (включения) в полях внутренних и внешних напряжений. К тому же при их взаимодействии создаются концентраторы напряжений. [c.4]

В монографии рассмотрены методы решения широкого класса двумерных граничных задач математической теории трещин для изотропных тел. С помощью аппарата сингулярных интегральных уравнений решены новые плоские и анти-плоские задачи теории упругости для ограниченных и неограниченных тел, ослабленных криволинейными трещинами при действии внешней статической нагрузки и стационарного температурного поля. Изучены задачи об изгибе пластин и оболочек с криволинейными трещинами. [c.2]

Существуют различные варианты нелинейных моделей оболочек, и литература по данному вопросу обширна. К достаточно часто используемым в практических расчетах относятся нелинейные модели оболочек вращения, предложенные в [182, 193], и геометрически нелинейные модели оболочек и пластин, содержащие квадратичную нелинейность [35]. Детально проработаны вопросы нелинейной теории упругих оболочек с обобщенными гипотезами Кирхгофа [190, 191]. Нелинейные модели оболочек типа Тимошенко рассмотрены, например, в [40, 195], модели оболочек обобщены в [196] с точки зрения построения двумерных моделей градиентного типа, когда в качестве мер деформаций используются компоненты тензоров градиентов полей линейных и угловых перемещений. При этом векторные уравнения движения оболочки аналогичны приведенным в (2.6.8). [c.50]

Изложив общую теорию, авторы применяют свои уравнения в ряде частных случаев. Они показывают, каким образом единственную входящую в их уравнения упругую постоянную можно получить опытным путем из испытаний на растяжение или на равномерное сжатие. Далее, они ставят перед собой задачу о полом круговом цилиндре и выводят формулы для напряжений, вызываемых равномерным внутренним или внешним давлением. Эти формулы используются для вычисления необходимой толщины стенок цилиндра при заданных значениях давлений. В своих исследованиях они пользуются теорией наибольшего напряжения, но предусмотрительно обращают внимание на то, что каждый элемент цилиндра находится в условиях двумерного напряженного состояния и что предел упругости, определенный из испытания на простое растяжение, может оказаться неприменимым к этому более сложному случаю. Следующими вопросами, разобранными в этой части их работы, являются задачи о простом кручении круглого стержня, о сфере, подвергающейся действию сил тяжести, направленных к ее центру, и о сферической оболочке, нагруженной равномерно распределенным внутренним или наружным давлением. Для всех этих случаев авторами выводятся правильные формулы, которые с тех пор нашли разнообразные применения в технике. [c.142]

Мы не собираемся полностью излагать теорию такого резонатора, а хотим лишь дать читателю представление о том, как выглядят моды резонатора. Из сказанного в предыдуще.м разделе видно, каким образом принцип Гюйгенса позволяет определить конфигурации поля внутри конфокального резонатора в сравнительно простом виде. Здесь же мы хотим в сжатом виде продемонстрировать результаты модельных расчетов, которые не основаны иа приближениях, использованных в принципе Гюйгенса. Для простоты рассмотрим двумерную модель резонатора Фабри—Перо, который состоит из двух плоских металлических зеркал. Предположим, что пространство между зеркалами заполнено активным материалом, который может быть описан комплексной восприимчивостью % = = + х . В строгом рассмотрении должны быть использованы уравнения Максвелла. [c.75]

Бутенина Н. Н. Бифуркации сепаратрис двумерной динамической системы при повороте поля. Качественные методы теории дифференциальных уравнений и их приложения Ц Ученые записки ГГУ,— 1973,—Вьш. 187. [c.478]

Книга [3] посвящена геометрической теории дифференциальных уравнений иа плоскости и сфере. В ией фактически содержится полный набор топологических инвариантов аналитических векторных полей с изолированными особыми точками иа двумерной сфере. [c.141]

Легко показать, что для двумерной системы соответствующий показатель степени равен 3/2. Если отвлечься от величины коэффициента С, зависящей от геометрии решетки растворителя и от особенностей взаимодействия между макромолекулярными сегментами, описывающего исключенный объем, то вывод формулы (7.66) можно считать достаточно общим. С точки зрения формальной статистической механики, использованные выше термодинамические соображения показывают, что мы имеем здесь по сути дела приближение среднего поля ( 5.2), аналогичное теории критических явлений Ландау ( 5.11) и уравнению Ван-дер-Ваальса ( 6.2). [c.317]

Рассмотрим нормальные -волны двумерного гребенчатого волновода (рис. 4.2), имеющие компоненты поля Ну=Ц х, г), Ех, Ег. В основу теории положим эквивалентные граничные условия импедансного типа, полученные в 4.1. Принятые при анализе допущения соответствуют использованным в 3.6, 4.1 снова останавливаться на них не будем. Таким образом, математическая постановка задачи следующая требуется найти решение уравнения [c.169]

Отличный от них подход недавно был развит в [2.14], в которой замыкание уравнений основывается на соображениях подобия, аналогичных тем, которые были использованы в теории двумерных течений в пограничном слое, а не на обращении к полю средних скоростей. При таком подходе пограничный слой подразделяется на приземный слой воздуха и внешний пограничный слой. Можно утверждать, что напряжение приземного трения Тц должно зависеть от скорости потока на некотором небольшом расстоянии г от поверхности земли, шероховатости местности (т.е. параметра шероховатости z ) и плотности воздуха р, поэтому То выразится в виде функции F от этих величин, т.е. [c.37]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

В ранних теориях распространяющегося срыва использовались линеаризованные уравнения движения и предполагалось, что характеристики лопаточного венца можно заменить характеристиками двумерных решеток [8.51]. В поля осредненных течений на входе в решетку и выходе из нее вносились малые возмущения потока и наблюдалось их затухание или раскачка. Таким образом был получен критерий устойчивости, используемый при расчете вращающегося срыва. [c.237]

Однако если в двухпроводной или коаксиальной линиях выполняются условия малости расстояния Ь между проводами по сравнению с длиной линии I и длиной волны к b l, Ь Х) и малости сопротивления проводников, то в линии сущестует только поперечная электромагнитная волна. Такая волна характеризуется тем, что векторы электрического и магнитного полей лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, и в этой плоскости удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа. Таким образом, в плоскости, нормальной к линии, распределение этих полей совпадает с распределением электрического и магнитного полей для статического случая. Поэтому для малых участков линии dx можно считать применимой теорию квазистатичесй их [c.320]

Локальные поля в окрестности клиновидного надреза/трещины. Решение Уильямса. Приведем классическое ре-гиение двумерной задачи теории упругости методом разложения в степенные ряды [64]. Рассмотрим задачу о пластине, ограниченной двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая область представляет собой бесконечный двугранный угол 2а (рис. 2.3). Пластина находится в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. При отсутствии объемных внегиних сил уравнения равновесия тождественно удовлетворяются с помощью со-отногиений [c.85]

Данная ситуация подобна ситуации в калибровочных теориях в четырехмерном евклидовом пространстве R , где двумерные уравнения, описывающие цилиндрически-симметричные автодуальные конфигурации полей Янга — Миллса, полностью интегрируются, тогда как без наложения этих симметрийных соображений удается построить лишь инстантонные (параметрические) решения в подстановке Атья — Дринфельда — Мани-на — Хитчина. Эти решения (равно как и солитонные образования для периодической цепочки Тода, для эволюционных уравнений типа Кортевега — де Фриза и для других систем) не обеспечивают полного решения соответствующей задачи в смысле зависимости от необходимого числа произвольных функций, заданных на характеристиках. Они отвечают только подклассу общих решений, выделяемому определенными граничными условиями и зависящему от соответствующего набора числовых параметров. [c.8]

Отметим, что равномерное давление, распределенное по части FD мембраны, статически эквивалентно давлению той же величины, равномерно распределенному по пластинке D, а растягивающие усилия в мембране, действующие вдоль границы этой пластинки, находятся в равновесии с равномерной нагрузкой на пластинке. Следовательно, в рассматриваемом случае может использоваться тот же экспериментальный метод с мыльной пленкой, что и раньше, так как замена части мембраны FD пластинкой D не вызывает изменений в конфигурации и в условиях равновесия остальной части мембраны. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда границы отверстия уже не являются траекториями иаирял ений для сплошного вала. Из общей теории кручения мы знаем (см. 104), что вдоль каждой границы функция напряжений должна быть постоянной, однако эти постоянные не могут выбираться произвольно. При рассмотрении многосвязных границ в двумерных задачах было показано, что в подобных случаях необходимо обраи1,аться к выражениям для перемещений, и постоянные интегрирования следует подбирать таким образом, чтобы эти выражения становились однозначными. Аналогичная процедура необходима и по отношению к задачам о кручении полых валов. Постоянные значения функции напряжений вдоль границ следует определять таким образом, чтобы перемещения были однозначными. Тогда будет получено достаточное число уравнений для определения [c.335]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

За последние 20 лет появилась и достигла определенной полноты теория двумерной турбулентности, отличающейся неколмо-горовским каскадом энергии и логарифмической нелокальностью. Ей мы здесь посвящаем IX раздел, сняв имевшуюся в первом издании главу Турбулентность и волны , тематика которой в настоящее время отражена в ряде специальных монографий (см., например, книгу В. И. Татарского (1967)). В X разделе рассматривается решение уравнения Хопфа для характеристического функционала поля турбулентности методом Галеркина, найденное М. И. Вишиком и А. В. Фурсиковым. В этом издании нашли отражение и появившиеся в последнее двадцатилетие новые сведения об океанской турбулентности. [c.4]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Возникающие в рамках развиваемого в книге подхода системы нелинейных уравнений порождаются посредством представления типа Лакса в двумерном пространстве элементами градуированных алгебр или супералгебр Ли. В зависимости от выбора адекватной алгебраической структуры и градуировки в ней они описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики в физике элементарных частиц (калибровочные поля и монопольные конфигурации), в твердом теле и плазме, теории электролитов, нелинейной оптике, аэродинамике, космологических моделях, проблемах экологии (динамика сосуществования видов), в радиотехнике и т. д. [c.5]

Читателям, заинтересовавшимся моделью тепловой конвекции Лоренца, следует прочитать ее подробное обсуждение в посвященной этой проблеме монографии Спэрроу [178]. Гукенхеймер и Холмс [57] написали современную математическую книгу, основанную на четырех парадигмах современной динамики, уравнении Ван дер Поля, модели Дуффинга изогнутого стержня, системе Лоренца и аттракторе Энона. Еще одна классическая модель хаотической динамики — масса под действием внешних соударений, например шарик, подскакивающий на колеблющемся столе или отскакивающий от пары стенок. Эта модель находит применение в теории ускорения электронов в электромагнитных полях, и ее иногда называют моделью ускорения Ферми. Она описывается двумерным отображением, аналогичным отображению Энона. Хорошее обсуждение модели Ферми и системы Лоренца можно найти в книге Лих-тенберга и Либермана [110]. [c.75]

Анализ распространения по пограничному слою малых двумерных возмущений в ряде случаев сводится к решению одного нелинейного уравнения относительно некоторой функцш , зависящей от времени и продольной координаты [209]. Если амплитуда а и длина волны / возмущений удовлетворяют условиям Ке < а < 1, / = 0(Ке а ), где число Рейнольдса Ке —> определено по характерному размеру обтекаемого тела, то двумерное поле течения в пограничном слое может быть построено в результате решения уравнения Бюргерса [257] при сверхзвуковом режиме обтекания и уравнения Бенджамина-Оно [211, 212] при дозвуковых скоростях набегающего потока. Упомянутые уравнения, выведенные в [209] с помощью асимптотических разложений решений полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваются в [210] как следствие предельного перехода в теории свободного взаимодействия [78, 79, 81] к высокочастотным крупномасштабным возмущениям. [c.90]

При Т, незначительно меньших Тиз уравнения (33.60) следует, что спонтанная намагниченность меняется как Т — Ту/ независимо от размерности решетки (см. задачу 6). Этот вывод находится в резком противоречии с известным результатом, заключаюш,емся в том, что М (Т — Т) , где = /g для двумерной модели Изинга, а для большинства реальных и модельных систем в трехмерном случае V3. Отметим, однако, что и здесь согласие с результатами теории молекулярного поля улучшается с ростом размерности ). [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...