Отображение двумерное

Рис. 69. Отображения двумерных элементов (по О. Зенкевичу)

Связь неподвижных точек отображения с критическими точками производящих функций кажется более глубоким фактом, чем сама теорема об отображениях двумерного кольца. [c.386]

Дополнительный интеграл систем (3.1), (3.2) всегда существует в ве-щественно-аналитическом классе функций. Это связано с тем, что уравнение (3.2) задает линейное отображение двумерной сферы за период, которое также сохраняет меру. Такие отображения интегрируемы. [c.199]

Первый случай обычно отбрасывается из физических соображений, а система (6.9)-(6.10) определяет некоторое дискретное отображение (двумерное), исследование которого представляет собственный теоретический интерес. [c.293]

Докажите, что аффинное отображение двумерного тора, [c.169]

Мы получали результаты о структурной устойчивости (определение 2.3.3) гиперболических множеств и прежде, причем неоднократно. Так, мы доказали структурную устойчивость для линейных растягивающих отображений окружности, для гиперболических линейных отображений двумерного тора (см. теоремы 2.4.6, 2.6.3) и для обобщенных подков (предложение 6.5.3). [c.572]

Это и есть в точности та часть неравномерной гиперболической теории, которая рассматривается в настоящей работе. Для простоты мы в большинстве случаев ограничиваемся анализом обратимых отображений двумерного многообразия. Во всяком случае, для ряда главных приложений теории (см. [140], [145] и Д 5) этого достаточно. [c.657]

Существование двух периодических траекторий установлено Биркгофом с помощью последней теоремы Пуанкаре всякое отображение двумерного кольца на себя, сохраняющее площадь и вращающее границы кольца в противоположных направлениях, имеет не менее двух геометрически различных неподвижных точек [67]. Эта теорема была высказана Пуанкаре. Ее доказательство дано Биркгофом (см. [42]). Ниже приводится вариационное доказательство теоремы 1 из работы [34]. [c.58]

Ускорение Ферми. Как уже было отмечено в 1.2, существует тесная связь между гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. Преобразование, задающее последовательные пересечения траектории с некоторой поверхностью, является именно таким отображением. И обратно, динамическую систему, заданную отображением, можно описать и гамильтонианом, который получается разложением отображения в ряд Фурье ). [c.68]

Пример. Теорема Уитни ([372]). Отображение двумерного многообразия в двумерное устойчиво в точке тогда и только тогда, когда в подходящих локальных координатах (хь xz) в прообразе и (г/ь г/г) в образе отображение записывается в одном из трех видов [c.157]

Трансверсальность. В разобранном в предыдущем пункте примере отображений двумерных многообразий устойчивые особенности различных типов наблюдались на подмножествах разной размерности складки — на кривых, сборки — в изолированных точках. Это явление, а также отсутствие в устойчивой ситуации в рамках данного примера других вырождений основаны на теореме трансверсальности Тома. [c.159]

До сих пор мы рассматривали равновесное многообразие Х= = Х(У) как отображение прямой на прямую при фиксированном Хк- Будем теперь менять параметр Х , тогда многообразие Х= Х( , Хк) представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (X, , Х/с), задающую отображение двумерного многообразия в двумерное. Если нарисовать поверхность Х=Х(У, Х ) в координатах (X, , Хк), то мы получим картину, изображенную на рис.99. В точке С это отображение имеет особенность — сборку, и соответственно, здесь мы получаем более сложную катастрофу — типа сборки. Согласно теореме Уитни, эта особенность устойчива и не разрушается шевелением поверхности, описывающей отображение. [c.233]

Для отображений двумерных областей всякое каноническое (в смысле инвариантности приведенного интеграла) отображение сохраняет площадь и обратно, если отображение сохраняет площадь, то указанный интеграл будет инвариантом отображения. [c.53]

При работе на дисплеях, графопостроителях и печатающих устройствах (технических средствах отображений графической информации) трехмерная графическая информация преобразуется в двумерную проекцию объекта на плоскости. При этом используются как параллельные аксонометрические и ортогональные проекции, так и центральные проекции (перспективы) с одним или двумя центрами проецирования. Математическое описание технических объектов участвует в создании программ генерации изображений. Для создания реалистических изображений учитывают оптические законы прохождения, отражения и рассеивания света и передачи цвета. Параметры геометрической и физической информации в ЭВМ обрабатываются в основном методами вычислительной математики, в том числе — вычислительной геометрии. [c.427]

В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах. [c.70]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре [471 в связи с качественным исследованием фазовых траекторий на двумерном торе. Это исследование было продол- [c.294]

В заключение заметим, что хотя изложение ради наглядности относилось к двумерным отображениям, все сказанное легко переносится на многомерные отображения, а формулировка и доказательство основной теоремы остаются прежними [411. [c.314]

Описанный выше способ численного изучения применялся и к двумерному точечному отображению Т в случаях, изображенных на рис. 7.77, 7.79 и 7.81. При этом были обнаружены случаи с одним-единственным концевым классом, включающим очень большое число областей а,-. [c.345]

Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. [c.172]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Теорема справедлива и для отображений областей любой размерности (а не только двумерных). Доказательство утверждения 2 использует тот факт, что все отображения, близкие к отображению на прямую, сжимают двумерные объемы. [c.86]

Нелокальные бифуркации на сфере однопараметрический случай. Начнем с определений. Пусть М — двумерная замкнутая гладкая поверхность, —множество С -гладких семейств -гладких векторных полей на М это множество состоит из С -отображений отрезка /=[0, 1]Эе в пространство уЛ(М). Семейство типично, если оно принадлежит множеству второй категории Бэра в [c.99]

Все компоненты линейной связности пространства 3. двумерны. Существует взаимно однозначное отображение множества этих компонент на множество траекторий топологической схемы Бернулли из р символов. Компонента линейной связности компактна, если и только если соответствующая траектория периодична. [c.118]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Отметим, что проведенное рассмотрение отображения двумерного кольца в себя непосредственно обобщается на отображение -мерной тороидальной области С (ИгИ Го, 0 ф<2я), являющейся топологическим произведением (ге — 1)-мерного шара 11г11 Го и одномерной окружности. Пример такого отображения для п = 2 был рассмотрен в 1 гл. 2. [c.146]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Б. Нормальная форма канонвческого преобразования вблизи неподвижной точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставляет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа Я = = (т. е. является поворотом на угол а в подходящем симплектическом базисе с координатами р, д). Такое преобразование будем называть эллиптическим. [c.354]

Отображения указанного вида возникают при исследовании динамических систем с двумя степеняьш свободы. А именно, отображение двумерной поверхности сечения на себя строится так каждая точка поверхности сечения переходит в следующую точку пересечения выпущенной из этой точки фазовой кривой с поверхностью сечения (см. добавление 7). [c.384]

Это следствие показывает, что замыкание Е упорядоченной орбиты содержится в графике липшицевой функции <р 5 —>(0,1). Заметим, что ограничение проектируется в гомеоморфизм проекции Е на 5, который мы можем также продолжить по линейности на дополнительные к этому множеству интервалы, получая при этом гомеоморфизм окружности. Таким образом, можно определить число вращения упорядоченной орбиты как число вращения индуцированного гомеоморфизма окружности. Мы также видим, что внутренняя динамика упорядоченных орбит закручивающего отображения двумерного кольца по существу одномерна. В следующем параграфе будет показано, что в любом закручивающем отображении таким образом представлена динамика одномерных отображений со всеми числами вращения из интервала закручивания. [c.427]

Критерии существования неподвижно точки многомерного точечного отображения. Уже на примере точечного отображения прямой в прямую можно было видеть, насколько сложным может быть поведение его последовательных преобразований. С увеличением размерности, естественно, трудности исследования и возможная сложность поведения значительно возрастают. Однако все же разница между одномерными отображениями и многомерными не столь разительна, как между двумерными и многомерными дифференциальными уравнениями. Некоторое объяснение этому можно видеть в том, что рассмотрение двумерной системы дифференциальных уравнений при сведении к точечному отображению прямой в прямую всегда приводит к взаимно однозначным отображениям, структура которых очень проста. В то время как исследование многомерных дифференциальных уравнений может свестись к изучению как многомерных точечных отображений, так и невзаимпо однозначных точечных отображений. [c.297]

На рис. 7.45 изображена двумерная область G, гомео-морфная двумерному шару, которая преобразуется непрерывным отображением Т в область й. При этом, согласно [c.298]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

Механизм универсального удвоения для диффеоморфизмов. Рассмотрим двумерный случай. Пусть g — автрквадратное отображение из пункта 6.5. Рассмотрим отрезок I —1, 1], у=0 на плоскости и построим чрезвычайно вырожденное авто-квадратное отображение окрестности отрезка / в себя. Положим [c.84]

Аналогично пакетам проблемно-ориентированных программ решен пакет программ графического отображения информации. В основе этого пакета лежат разработанные ранее [6] программы 1втоматического черчения, что позволяет в настоящее время получать одномерные и двумерные картины течения наблюдавшихся л эксперименте величин. [c.82]

В случае нелинейной корреляционной зависимости криволинейной регрессии) и непостоянства условных дисперсий часто применяются перечисленные вьше теоретические вероятностные характеристики связи (меры зависимости) между величинами, относящиеся к линейной регрессии (прямые регрессии, коэффициент регрессии, коэффициент корреляции). Однако здесь они уже не имеют того физического смысла, как при линейной регрессии, а именно отображения одного из вполне определенных реальных свойств двумерной случайной величины X, Y) — зависимости условных средних значений одной из величин от значения другой величины. В этих случаях прямые регрессии имеют чисто услов- [c.181]

Одна из причин широкого применения А. ф. в физике связана с физ, требованиями типа причинности, Так, в квантовой теории поля аналитичность Уайтмена функций и амплитуд рассеяния вытекает иа исходных постулатов теории. Метод дисперсионных oonDiomeiiuii целиком базируется на теории А.ф,, ур-ния Янга — Миллса можно записать как условия аналитичности нек-рмх ф-ций. Большое число приложений А. ф. связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т. д., где используются, напр., конформные отображения. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...