Множество предельное для

Несложно сконструировать диффеоморфизм, имеющий больше одного модуля устойчивости. Для этого достаточно, чтобы неустойчивое (устойчивое) многообразие точки р(< ) было предельным для неустойчивых (устойчивых) многообразий других седловых точек (как, например, в теореме пункта 6.2). В [139] выведены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы диффеоморфизм, лежащий на границе множества систем Морса—Смейла, имел единственный модуль. [c.141]

Множество таких точек I называется положительным предельным множеством или множеством предельных точек для рассматриваемой траектории обозначим его через Л. Точки I множества Л называются Л-точками. Л-точки кривой С являются предельными точками (точками сгущения) этой кривой, но не все предельные точки С принадлежат к числу Л-точек. [c.387]

Предельной для рассматриваемых групп является непрерывная группа т, имеющая ось бесконечного порядка и бесчисленное множество продольных плоскостей. [c.16]

Нетрудно видеть, что множество предельных точек Z . ограниченной фазовой траектории x(i) не пусто и состоит из фазовых траекторий. Однако физически, т. е. с учетом неизбежных малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству Ха будет наблюдаться лишь в том случае, когда — предельное множество не только для фазовой траектории x(i), но и для всех других фазовых траекторий, близких к Х . Если множество Ха обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие аттракторы — это асимптотически устойчивые состояния равновесия и периодические движения. [c.124]

Т. е. точка Ф( , t) является предельной для полутраектории Ф(р, t) 0[c.12]

Но точка 8 1 лежит в s-окрестности точки Oq. Так как S есть произвольное достаточно малое число, то отсюда следует, что точка Oq—предельная для Р, S-q — произвольная точка Р следовательно, любая точка Р есть предельная точка этого множества, т. е. РсР. Таким образом, мнр-жество Р плотно в себе так как оно замкнуто, то оно совершенно. [c.164]

Рассмотрим траекторию Ф q, t). Эта траектория является сй-предельной для Ф р, t) и потому лежит в множестве [c.308]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Пусть область D плоскости R 7i, I2 имеет с прямой /2 = 0 непустое пересечение. Тогда SS П D является множеством, ключевым для класса A D). Действительно, пусть аналитическая функция f Ii, I2) равна нулю на SS П D. Фиксируя Ii = /°, получаем аналитическую функцию одного переменного, нули которой имеют предельную точку I2 = О, лежащую внутри ее области аналитичности. Значит, f равна нулю на любой прямой Ii = 7° и, следовательно, во всей области D. Таким образом, на множестве D Ii, I2 х T [c.25]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Введем множество Ф = X = X t,q) t G R . Известно [14], что Ф С т. е. все точки траектории X t,q) являются Сс -предельными для точки р. Очевидно, система (3.11), (3.12) на множестве Ф может быть представлена в виде (4.1) [c.275]

Предположим теперь, что траектория о является предельно для какой-нибудь полутраектории, например для (полутраектория выделена, очевидно, из незамкнутой траектории, отличной от Ьд или совпадающей с Ьо). Тогда, в силу оиределения, все точки траектории и, в частности, точки Мп являются предельными для Таким образом, на дуге без контакта I лежит счетное множество предельных точек полутраектории [c.108]

Примеры главы I показывают, что существуют предельные множества всех указанных типов. В примерах 3 и 4 состояния равновесия являются предельными для незамкнутых траекторий. В примере 7 замкнутая траектория является предельной для траектории вне и внутри нее. В примере И предельным континуумом является восьмерка , состоящая из трех траекторий (среди которых одна — состояние равповесия). [c.113]

Предельные точки этих траекторий Ои О2,. ..,0ц могут быть различными или совпадать. Каждая точка О является со-предельной для траектории и а-предельной для траектории + 1 I = 1, 2,. . Н, и под д+1 подразумевается траектория 1). Обозначим через К[ц замкнутое множество, составленное из всех точек траекторий (1) и точек О1 (1 = 1, 2,. . ., К). [c.415]

Пусть Р произвольная точка множества Е, е произвольное положительное число. Согласно предположению кривая движения, проходящая через Р, не может быть замкнута, так как иначе множество X состояло бы только из этой кривой. Следовательно, при tl ф 2 имеем Pf ф Р<2. Кроме того, согласно сказанному (см. 2-й абзац 7) каждая точка Р является ш-предельной для рассматриваемой кривой движения. [c.397]

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

В общем случае обозначим через а (О множество предельных точек для I, принадлежащих абсолюту. Гомотопическим классом вращения полутраектории потока на М называется множество ц( .)= и (< (0)- Каждый автоморфизм т [c.234]

Обозначим через Рх" замыкание интегральной кривой а ( ) = = х°, —( < <-1-00, при некотором фиксированном х° или, иными словами, совокупность тех точек множества X, которые или принадлежат кривой х 1) = х° или являются предельными для точек этой кривой. Хотя само собой очевидно, что 2 ° содержится в Рх , однако и из эргодической теоремы и из теоремы возвращения, вместе взятых, не вытекает, что 2 " = Рх почти для всех х°. [c.114]

Термин предельная точка употребляется и в теории множеств. Точка М называется в теории множеств предельной точкой множества АГ, если Б любой сколь угодно малой ее окрестности лежат точки множества ЛГ, отличные от М. Не следует смешивать эти два понятия. Например, состояние равновесия является предельной точкой для самого себя (в смысле определения, данного в тексте), но не является предельной точкой в теоретико-множественном смысле. В самом деле, в этом случае все множество ЛГ состоит из единственной точки (из состояния равновесия) и поэтому в любой окрестности состояния равновесия не содержится никаких отличных от него точек множества ЛГ. [c.398]

Неравенство (11.2) устанавливает только максимально возможную величину силы трения покоя, так как сила трения является слагающей пассивной реакции связи и ее сначала неизвестное направление определяется в дальнейшем только активными силами. Из этого неравенства также следует, что сила трения покоя имеет всегда такую величину, которая необходима для предотвращения скольжения тел одного относительно другого, но не может превзойти некоторого предельного значения. Если бы трение отсутствовало, то равновесие было бы возможно при вполне определенных значениях сил или координат, определяющих положение тела. При трении имеется целая область положений равновесия и бесконечное множество значений активных сил, при которых имеет место равновесие. [c.215]

Ли и Йорк (1975) высказали гипотезу, которая заключается в том, что эта величина совпадает с хаусдорфовой размерностью множества Л (определенной как нижняя грань хаусдорфовых размерностей множеств единичной инвариантной меры, предельной для меры Лебега в фазовом пространстве). Численные расчеты для нескольких двумерных отображений и одного трехмерного потока показали, что величины (2.89) и (2.87) практически совпадают. [c.130]

Снижение пределов текучести ПТФЭ при растяжении по главным направлениям (охр, Огр) и сжатии в осевом направлении (охс) с повышением температуры показано на рис. 6.5. Опыты подтверждают наличие множества предельных кривых текучести для ПТФЭ в зависимости от температуры и скорости деформиро [c.217]

Доказательство. Пусть Ь+ — рассматриваемая полутраектория. Если она выделена из замкнутой траектории, то последняя является для полутраектории предельной замкнутой траекторией. Предположим поэтому, что — полутраектория незамкнутой траектории пусть Ьд — одна из ее предельных траекторий. Допустим, что 0 — незамкщ а и М — какая-нибудь ее предельная точка. В силу т ремы И М является состоянием равновесия. Но очевидно, точка М, как предельная для Ьд, является предельной и для полутраектории (в силу замкнутости предельного множества), н это противоречит условию теоремы. [c.111]

Доказательство. Предположим противное, т. е. допустим, что среди точек континуумов К у и К 2, являющихся граничными для рассматриваемой двусвязной ячейки g, есть точки, не являющиеся предельными для траекторий ячейки. Пусть L — какая-нибудь траектория рассматриваемой ячейки. В силу предыдущей леммы множество точек g, не принадлежащих траектории L, есть односвязная область. Обозначим, как и в лемме 19, эту область через g. Проведем через какую-нибудь точку Q траектории L дух у без контакта I, целиком лежащую в g и кроме точки Q не имеющую уже больше ни одной общей точки с траекторией L. Возьмем на дуге I точки Р и Р", расположенные по разные стороны от точки Q, и соединим эти точки простой дугой s, целиком лежащей в области g (рис. 187), так, чтобы часть Р Р" дуги I и дуга s вместе составляли простую. шмкнутую кривую С (см. лемму 19). Кривая С имеет только одну общую точку с траекторией L. В точке Q траектория U при возрастании t переходит из одной из областей, опреде.тепных кривой С, в другую, предположим, например, что L переходит из области вне С в область внутри С. Следовательно, континуум Ку, содержащий а-пре-дельные точки траекторий, будет лежать вне С, а континуум К2, содержащий (о-прсдельные точки траектории L, — внутри С. Но тогда, очевидно, всякая траектория ячейки g должна иметь как точки вне С, так [c.310]

В частност , даже бесчисленное множество точек седлово дуги без контакта (см, 18, п. 3 и 19, п. 2) может принадлежать особым полутраекториям име Но, в случае, когда седловая область примыкает к сепаратрисам, являющимся предельными для како -н1 будь особой полутраектории (или нескольких особых полутраекторий). [c.457]

Лемма 26.6. Пусть wo — изолированное решение задачи ijt, имеющее ненулевой индекс. В этом случае Wq принадлежит множеству предельных точек wj, и, значит, для ка ждого из этих решений и>о и любого сколь угодно малого г можно найти такое число N, что при всех n>N система (26.3) (соответственно (26.4)) имеет для Dnk действительные решения такие, что е Шд, (г, wo). [c.228]

Лемма 27.17. Пусть ао — изолированное решение задачи ix, имеющее в Ны ненулевой индекс. В этом случае ао прхгаадлежнт множеству предельных в Htx точек а , и значит, для любого такого решения и любого сколь угодно малого г можно найти такое число N, что при всех n>-N система (27.2), (27.3) (соответственно 21 Л), (27.5)) имеет для действительные решения а та- [c.241]

Лемма 27.18. Пусть ао — обобщенное решение задачи ix, придающее функционалу Зы ь Ни строгий относительный мннимум (максимум). В этом случае ао принадлежит множеству предельных в Ни точек а ), и значит, для любого такого решения и любого сколь угодно малого г можно найти такое число N, что при всех гасистема (27.2), (27.3) (соответственно 27Л), (27.5)) имеет для Спк, Dnk действительные решения а такие, что a eIII(r, ао). [c.241]

Доказательство. Допустим, что для устойчивости + движения /(р, /) множество не является связным. Тогда его можно представить в виде суммы двух непустых замкнутых непересекающихся множеств = Так как компактно, то расстояние р(А, В)=<1 между мно кествами А и Сбудет в этом случае положительным Рассмотрим две точки геЛ г. г еВ. Так как обе точки гиг являются и-предельными для движения /(/>, /), то найдутся такие две последовательности значений времени 1- +со и что /(р, ) - г, [c.38]

Таким образом, множество точек (4.10) всюду плотно на меридиане ср==< о поэтому любая точка ( о, бц) этого меридиана будет предельной для последовательности (4.10). Очевидно, что согласно (3.10) последовательность значений времени = Ро+2яя , соответствующих точкам (4.10), стремится к + СО и поэтому точка (ср , 0 ) является ш-предельной для движения (3.10). В силу произвольности сро и 00, заключаем, что со-предельное множество движения (3.10) представляет собой весь тор и, в частности, существуют ш-предельные точки, принадлежащие траектории, то 1сть это движение устойчиво Р+. Аналогично доказывается его устойчивость Р , а следовательно, устойчивость Р. [c.47]

Зародыши кристаллизации. Переохлаждённая среда может долго сохранять, не кристаллизуясь, неустойчивое метастабильное состояние, напр, мелкие (диам. 0,1 мм) капли хорошо очищенных металлов можно переохладить до темп-р 0,5 Однако при достижении нек-рого предельного для данных условий критич, переохлаждения в жидкости или паре возникает множество мелких кристалликов, наз. зародышами К. [c.319]

Чтобы понять точный смысл этого утверждения, нужно познакомиться с микроскопическим способом описания состояний макроскопических систем. Будем считать для простоты, что частицы, входящие в состав таких систем, суть материальные точки. Тогда состояние каждой частицы будет определяться заданием ее положения г и импульса р - А состояние системы N таких частиц будет описываться множеством 2М векторов г , р, , I = 1, 2,. .., N. Состояние системы, описанное таким предельно подробным образом, назьшают микроскопическим. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...