Новый метод теории возмущений

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений принцип усреднения, КАМ-теория и пр. [c.15]

НОВЫЙ МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [c.460]

Опишем новый метод теории возмущений, при помощи которого в первом неисчезающем приближении можно получить энергию основного состояния в виде (19.33). Как объяснялось выше, новый метод основан на предположении, что ряд в (19.32) в пределе (19.2) является конечным числом, хотя каждый член ряда расходится. [c.460]

Новый метод теории возмущений 459 [c.461]

ТОЛЬКО те состояния л). в которых конечную долю N составляет только число заполнения нижнего состояния Лд, а никакие другие числа заполнения конечной доли от N не составляют ). Эти состояния I п) образуют подпространство 5 гильбертова пространства системы. По. порядку величины можно различать три класса матричных элементов (19,36), взятых между состояниями из 5. Нетрудно видеть, что матричные элементы класса 1 пропорциональны N. матричные элементы класса II пропорциональны У М, а матричные элементы класса III вообще от N не зависят. Для получения результата в низшем порядке нового метода теории возмущений мы пренебрегаем всеми недиагональными матричными элементами. За исключением матричных элементов класса I. [c.462]

Чтобы завершить построение нового метода теории возмущений, дадим также и диагональные матричные элементы гамильтониана, которые должны быть учтены. В соответствии с (19.17) диагональный матричный элемент для состояния с числами заполнения (лк) есть [c.463]

Очевидно, что по отношению к состояниям из подпространства 5 этот оператор имеет те же самые матричные элементы, что и даваемые формулами (19.40), (19.41) и (19.45). Наименьшее собственное значение //дфф дает энергию основного состояния в нижнем порядке нового метода теории возмущений. Гамильтониан (19.46) представляет собой невозмущенный гамильтониан нового метода теории возмущений ). [c.464]

По нашему мнению, обоснование модели с энергетической щелью получится как следствие строгой теории. Основное различие между нормальным и сверхпроводящим состояниями заключается, по-видимому, в том, что в последнем для возбуждения электрона требуется конечная энергия с. Магнитные свойства могут быть определены методами теории возмущении (см. раздел 3). Вероятным результатом может быть нелокальная теория, аналогичная теории, предложенной Пиппардом теория Лондона будет представлять только предельный, в действительности не реализующийся случай. Процессы релаксации при высоких частотах зависят от деталей модели. В заключение отметим, что фундамент строгой теории сверхпроводимости существует, но полное решение задачи сопряжено со значительными трудностями. Требуются новые радикальные идеи, в частности, для получения удовлетворительной физической картины сверхпроводящего состояния и выяснения природы параметра упорядочения, если он существует. [c.778]

Опять нужно подчеркнуть, что рассмотренный пример является чисто гипотетическим, но Служит для иллюстрации общего случая. В общем случае точные рещения можно найти только для уравнений, относящихся к независимым полям. Более сложные уравнения для взаимодействующих систем обычно рассматриваются с помощью некоторых методов теории возмущений, при применении которых члены взаимодействия предполагаются малыми. Этот метод приемлем для случая взаимодействия между электромагнитным полем и обычной материей, но в некоторых известных случаях константы связи столь велики, что метод становится неприменимым. Разработка новых методов рещения таких задач составляет одну из основных проблем современной теоретической физики. [c.159]

Настоящая книга является итогом многолетнего исследования авторов по развитию метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе использования аппарата непрерывных групп преобразований, заложенного в основополагающих трудах С. Ли и его учеников. Соединение двух конструктивных методов, имеющих широкое применение в современной математике и ее приложениях, с одной стороны, расширяет возможности методов теории возмущений, а с другой — может оказаться интересным и для теории непрерывных групп преобразований, так как позволяет рассматривать новые задачи, например почти инвариантные системы. [c.5]

Для волн сравнительно небольшой амплитуды дальнейшие результаты можно получить методами теории возмущений, которые основаны на разложениях но малой амплитуде и которые можно назвать почти линейной теорией . В частности, можно вернуться к описанию, базирующемуся на фурье-анализе, и исследовать малые нелинейные взаимодействия между фурье-компонен-тами. При взаимодействии различных компонент между ними происходит перераспределение энергии, а вследствие наличия в уравнениях членов типа произведений из существующих компонент генерируются новые. Эти взаимодействия можно эффективно [c.466]

Состояние учения о свободной конвекции в настоящее время таково, что многие стационарные задачи имеют точные или приближенные аналитические решения. Среди аналитических работ преобладают исследования ламинарных потоков, возникающих при свободной конвекции. Труднее математической обработке поддаются вопросы свободной конвекции при турбулентном течении в пограничном слое. В этом случае, как и в случае ламинарного режима, для описания теплообмена в условиях свободной конвекции применяются методы теории подобия с широким использованием эксперимента. Изучение вопросов нестационар- ной свободной конвекции имеет также большое значение. Одним из важнейших вопросов теории нестационарного теплообмена в условиях свободного движения является вопрос о влиянии вибраций на конвективные процессы. Вибрационный эффект, создаваемый или перемещением нагретой поверхности в окружающей среде или подводом возмущений в виде акустических или других периодических колебаний к самой среде, может изменить теплоотдачу в несколько раз. Такое изменение теплоотдачи позволяет качественно по-другому подходить к решению новых задач в условиях естественной конвекции, и в настоящее время обширные исследования посвящены этому вопросу. Получить общее аналитическое решение задачи не всегда удается, поэтому большинство работ посвящено экспериментальному и аналитическому исследованию частных случаев. [c.143]

Применительно к инженерно-физическим проблемам изложен, новый метод исследований, основанный на использовании математического аппарата сопряженных уравнений и теории возмущений. Рассмотрено применение метода при решении задач теплообмена и гидродинамики, анализе прочности элементов конструкции ядер-ных реакторов, исследовании электротехнических характеристик систем прямого преобразования энергии, а также при идентификации нестационарных процессов для целей технической диагностики ядер-ных энергетических установок. Обсуждаются преимущества метода и даются рекомендации по его использованию. [c.2]

Даламбера-Лагранжа [25]. Термин, оставляя возможность отвлечься от способа реализации в случае идеальных связей, наполняется новым содержанием при появлении новых моделей. В частности, модель системы с идеальными связями может быть получена как предел различных последовательностей моделей, в которых рассматриваются конкретные силовые поля, участвующие в создании сил, являющихся реакциями. Для конструктивных способов реализации связей [44] требуется обобщение представления о виртуальных перемещениях и расширение сферы применения изучаемых методов. Заметим, что известная [119 некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений также может быть устранена с помощью конструктивного построения физических моделей. [c.12]

Удвоение числа переменных позволяет развить новый метод интегрирования уравнений релятивистской динамики в виде ряда теории возмущений, гг-й член ряда содержит только гг-ю степень напряженностей поля. [c.521]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Классические аналитические методы, разработанные для больших планет, становятся непригодными или трудно применимыми для астероидов, что объясняется тем, что малые параметры, по степеням которых ведутся классические разложения, перестают быть малыми для большинства малых планет. Поэтому здесь приходится разрабатывать новые методы для построения аналитических теорий, что и составляло одну из важнейших проблем небесной механики в рассматриваемом периоде, или применять методы численного интегрирования для определения важнейших возмущений. [c.340]

Добавки (возмущения) ба.....бш в методе И. Н. Боголюбова зависят от новых переменных а,., ., й, а не ст как в классических вариантах теории возмущений. [c.442]

Теория нелинейного резонанса играет важную роль в общем анализе возникновения стохастичности в гамильтоновых системах. Обычно при действии некоторого возмущения на систему 1Ш отыскиваем новое решение, пользуясь тем или иным приближенным методом. Действие этих методов можно классифицировать, рассматривая различие между исходным поведением системы и ее возмущенным поведением. Иллюстрация сравнений приведена на рис. 1.7 а) метод сглаживает все или часть существующих особенностей б) метод сохраняет число и характер особенностей в) метод позволяет обнаружить новые особенности, обусловленные возмущением. К последнему типу относится теория нелинейного резонанса. [c.17]

Исходим из того обстоятельства, что ряд в (19.32) содержит наиболее быстро растущие члены в каждом порядке по а. Именно, в каждом порядке по а число N входит в наибольшей возможной степени. В соответствии с этим исследуем матричные элементы гамильтониана на их зависимость от N. Сохраним только те матричные элементы, которые содержат наибольшую степень М, отбросив остальные. Таким образом мы получим эффективный гамильтониан, который играет роль невозмущенного гамильтониана в новом методе теории возмущений. Эффективный гамильтониан диагонализируется тривиальным образом, причем для энергии основного состояния получается выражение вида (19.33). [c.460]

Теория возмущений для декремента затухания температурных гармоник. Аналогично тому, как это было сделано в предыдущих разделах, используя метод теории возмущений, можно найти изменение собственного значения v при изменении тепло-физических параметров и размеров системы. Такие формулы, несомненно, представляют интерес, не только теоретический, но и практический. Теория возмущений дает в распоряжение исследователей строгие соотношения, связывающие изменения декремента затухания отдельных гармоник температурного распределения 6vft, которые наблюдаются экспериментально при измерениях в нестационарных режимах, с изменениями различных параметров теплофизической системы. Тем самым открываются новые возможности для идентификации этих параметров, о чем будет сказано ниже. [c.107]

За последнее время в статистической физике были достигнуты значительные успехи благодаря широкому использованию методов, заимствованных из квантовой теории поля. Плодотворность этих методов связана с новой формулировкой теории возмущений и в первую очередь с широким использованием так называемых диаграмм Файнмана. Основное преимуш,ество диаграммной техники состоит в ее наглядности оперируя понятиями одночастичной задачи, эта техника позволяет установить структуру любого приближения и с помош,ью правил соответствия написать нужные выражения. Новые методы позволили решить большое количество вопросов, к которым нельзя было подступиться при старой формулировке теории, а также получить целый ряд новых общих соотношений. В настоящее время эти методы являются наиболее мощными и результативными в квантовой статистике. [c.7]

Перенормировка. Анализ встретившихся трудностей привёл к идее перенормировок. Оказалось, что в квант, электродинамике и нек-рых др. теориях в выражениях для физ. величин бесконечно большие значения всегда появляются лишь в виде добавок к затравочной массе или к затравочному заряду, так что невозможно экспериментально отделить эти части друг от друга (такие теории наз. ренорми-руемыми или перенормируемыми). Перенормировка заключается в использовании для суммы этих частей эксперим. значений массы и заряда. Это позволяет перестроить разложение (по методу теории возмущений) по ц разложением по физ. заряду е, уже не содержащему бесконечных величин (подробнее см. Перенормировка). Однако не всегда перенормировка конечного числа величин устраняет расходимости. В нек-рых случаях рассмотрение диаграмм всё более высокого порядка приводит к появлению расходимостей новых типов, тогда говорят, что теория неперенормируема. (Таковы, напр., первые варианты теории слабого вз-ствия.) [c.266]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

В последние десятилетия разработаны новые способы применения канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри-Хори. С алгоритмической точки зрения он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур — обращения рядов, а формулы метода задаются рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине . [c.403]

В этих и аналогичных исследованиях незаменимую роль для расчетного анализа могут сыграть аппарат сопряженных функций и формулы теории возмущений. Разумеется, принципиальная возможность привлечения новых методов для исследования инженерно-физических характеристик ЯЭУ, таких как метод сопряженных функций и теория возмущений, сама по себе не является решающей для успеха дела. Кроме того, необходимо, чтобы использование новых методов было экономически целесообразно, чтобы эти методы были конкурентоспособными в сравнении с традиционными. С этой точки зрения крайне актуальна разработ ка на новой основе достаточно эффективных расчетных aлгopит мов и программ для ЭВМ, развитие простых и плодотворных экспериментальных методов с использованием понятия функции цен ности. [c.5]

Исторически понятие Э. з. пришло на смену возникшему ранее и идейно весьма близкому понятию инвариантного заряда. Роль, к-рую играют инвариантный и 3. з. в методе ренормгруппы, видна из соотношения /(1п/ /ц, g) = =/[0, G(ln /n, g)], справедливого для физ. величин, зависящих от одного импульсного аргумента р. Видно, что эффективно параметром разложения для / является не заряд g, а ф-ция G(ln/j/)i, g) (отсюда и её назв.— Э, з.). В теориях с асимптотической свободой, где С(1пр/ л, g) стремится к нулю с ростом импульса р, новый параметр разложения G npj[i, g) при больших импульсах становится малым, и мы получаем улучшенную теорию возмущений (по сравнению с исходной, основанной на разложении по параметру g, к-рый малым не является). [c.646]

Задача отыскания возмущений, вызванных присутствием взвешенной частицы в потоке с постоянным градиентом скорости, была рассмотрена ргесколько позже соответствующей задачи для однородного потока. Интересно, что впервые она была решена в докторской диссертации Альберта Эйнштейна (1879—1955 гг.). Эйнштейн родился в Германии, по изучал физику в Политехническом институте в Цюрихе. После получения степени доктора в 1905 г. он принял швейцарское подданство. Среди прочих вопросов в его диссертации был рассмотрен новый метод определения размеров молекул химических веществ. Для этой цели он разработал теорию сопротивления сдвигу суспензии маленьких сферических частиц, взвешенных в непрерывнорг жидкой среде. Такая суспензия служила ему моделью больших молекул, находящихся в растворе. Он показал теоретически, что наблюдаемое увеличение вязкости жидкости, несущей частицы, мож1го связать с объемной концентрацией твердых частиц (или молекул растворенного вещества) при помощи простого коэффициента пропорциональности <1906, 1911 гг.) [10]. [c.27]

В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Обпще положения развиваемой им теории Донкин прилагав к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [c.26]

В динамике космического полета можно отчетливо проследить плодотворные взаимодействия техники и ряда фундаментальных и прикладных наук. Особенно следует подчеркнуть широкое использование методов и результатов небесной механики для решения задач динамики в гравитационных полях Солнца и планет солнечной системы. Так теория кеплеровых движений, теория возмущений орбит, исследование движений в оскулирующих элементах (метод Лагранжа) перешли из небесной механики в динамику космического полета с относительно небольшими изменениями и дополнениями. Но в ряде задач (например, теория движения искусственных спутников Земли) динамики космического полета пришлось создавать и разрабатывать совершенно новые методы исследования. Эти новшества вызываются дополнительными силами, которые в задачах небесной механики не играют существенной роли. Так, при движении спутников Земли на высотах до 500—700 км аэродинамические силы, обусловленные наличием атмосферы, оказывают влияние на законы движения и приводят к постепенному изменению (эволюции) орбит спутников. Изучение этих эволюций требует знания строения атмосферы на больших высотах и знания, законов аэродинамического сопротивления при полете с первой космической скоростью в весьма разреженной среде. Развитие космонавтики обусловило быстрый прогресс и аэродинамики и метеорологии. [c.19]

Два года я занимался этой проблемой, и полюбил ее. Оказалось, что в ней много интересного. В первом порядке теории возмущений все просто, но дальше шли перенормировки, которые в теории слабых взаимодействий в то время никто не умел делать. А еще были дважды логарифмические асимптотики, суммирование по мягким фотонам... Поначалу Давид Абрамович, по-видимому, надеялся, что я устану и отстану, говорил мне, что у него четырнадцать учеников, что ему некогда, но постепенно становилось все интереснее, и он решил применить к этой проблеме изобретенный им метод дифференцирования по заряду, который он успешно использовал в своем подходе к нелокальным теориям. Наконец-то , — подумал я, и с новыми силами принялся за дело. [c.387]

Исследование колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, было естественно начать с изучения волновых движений малой амплитуды, т. е. с построения инфинитезимальных теорий. При изучении чисто гравитационных волн этим термином обычно называют теории возмущений свободной поверхности, невозмущенная форма которой известна. В теории гравитационных волн она представляет собой горизонтальную плоскость (или сферу, если, например, речь идет о волнах на поверхности гравитирующей сферы). В рассматриваемой теории эта невозмущенная форма свободной поверхности заранее неизвестна, ее нужно определить. Таким образом, первым шагом в построении теории является разработка методов, позволяющих определить фигуру равновесия. В последние годы появились новые исследования, содержащие решение ряда задач гидростатики (см. монографию Н.. Н. Моисеева и В. В. Румянцева, 1965, и работы Н. Н. Моисеева, 1965). В частности, был разработан весьма универсальный прием, позволяющий рассчитать [c.65]

В 1937 г. Майер [11] на основании метода, предложенного ранее Урселом [12], вычислил для газа и благодаря относительно большим расстояниям между частицами смог учесть парные, тройные и более высокого порядка взаимодействия. Вскоре Н. Н. Боголюбов [13] на базе теории возмущений механики совокупности молекул создал новый, более совершенный метод определения разделительных функций. Обе теории приводят к следующей форме уравнения состояния реального газа [c.11]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...