Некоторые методы теории возмущений

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 9.1. Явный вид уравнений Лагранжа второго рода [c.237]

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [c.242]

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ [c.246]

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 9 [c.250]

Опять нужно подчеркнуть, что рассмотренный пример является чисто гипотетическим, но Служит для иллюстрации общего случая. В общем случае точные рещения можно найти только для уравнений, относящихся к независимым полям. Более сложные уравнения для взаимодействующих систем обычно рассматриваются с помощью некоторых методов теории возмущений, при применении которых члены взаимодействия предполагаются малыми. Этот метод приемлем для случая взаимодействия между электромагнитным полем и обычной материей, но в некоторых известных случаях константы связи столь велики, что метод становится неприменимым. Разработка новых методов рещения таких задач составляет одну из основных проблем современной теоретической физики. [c.159]

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. [c.254]

НЕКОТОРЫЕ Методы теории. возмущен ип [c.258]

В теории возмущений предполагается, что различие между реальной (возмущенной) системой и ее упрощенной (невозмущенной) моделью можно рассматривать как малые возмущения. Возмущения появляются, например, за счет того, что к основным силам, приложенным к точкам механической системы, добавляются некоторые другие силы, являющиеся в определенном смысле малыми по сравнению с основными силами. Например, если пренебречь влиянием Солнца и считать Землю и Луну материальными точками, то невозмущенной задачей о движении Луны вокруг Земли будет задача двух тел (материальных точек). Влияние притяжения Солнца и отличие Земли и Луны от точечных масс можно считать малыми и отнести к возмущающим воздействиям, которые можно учесть методами теории возмущений. [c.388]

Будем применять методы теории возмущений, рассмотренные в 7 гл. XI. Нахождение областей неустойчивости основано на нескольких следующих одно за другим канонических преобразованиях, приводящих функцию Гамильтона (29) к некоторой простейшей форме, отражающей резонансный характер задачи и позволяющей весьма просто построить искомые области неустойчивости. [c.554]

С целью возможного применения методов теории возмущений (асимптотических методов) важно выделить малые или большие параметры, входящие в систему урав нений и характеризующие основные особенности изучаемых физических процессов. Знание таких параметров может позволить упростить исходную систему уравнений в некоторых областях определения решения и тем самым применить более экономичные численные подходы. Так обстоит дело, например, в задачах стационарного обтекания тел вязким газом на основе уравнений Навье-Стокса, когда вязкость зачастую можно учитывать лишь в области пограничного слоя вблизи тела, а в основной области течения можно пользоваться более простыми уравнениями Эйлера. [c.22]

Закончим этот раздел замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса сходится ли разложение Чепмена — Энскога В общем случае этот вопрос весьма труден, но в случае линеаризованного уравнения Больцмана все же можно получить некоторые результаты. В связи с этим отметим, что как линеаризация уравнения Больцмана, так и разложение Чепмена — Энскога являются результатом соответствующих методов теории возмущений, примененных к уравнению Больцмана. [c.278]

Периодические решения. Поиску периодических решений уравнения (1.1) посвящена обширная литература. Обычно для этой цели применяют методы теории возмущений или используют функциональные и вариационные методы. Ссылки на некоторые наиболее известные работы можно найти, например, в книгах [2, 3]. Укажем также некоторые более поздние работы [4]-[8]. [c.235]

Задача о движении тяжелого твердого тела не интегрируется в квадратурах, и общими методами регпения этой задачи для конкретных начальных данных на ограниченных интервалах времени являются либо метод численного интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений, либо в случаях, когда задача близка к некоторой интегрируемой, используются методы теории возмущений, для которых в качестве главного приближения обычно используется регпение задачи в соответствующем интегрируемом случае. Перечислим некоторые из них. [c.388]

Как следует из результатов гл. 3, типичные процессы взаимодействия излучения с атомными системами могут описываться с достаточной точностью при помощи методов теории возмущений, зависящих от времени. При этом последовательные приближения, приводящие к уравнениям (В2.21-11) и (В2.21-12), после некоторого конечного числа щагов обрываются. Такая возможность описания основана как на структуре важнейших характеристических соотношений между величинами, доступными измерению, так и на количественных результатах. Благодаря зависимости оператора взаимодействия от операторов рождения и уничтожения фотонов и от напряженности электрического поля применяемая методика позволяет также осуществить классификацию процессов по числу фотонов, участвующих в элементарном акте или по порядку величины определяющих компонент поляризации. Однако из разд. В2.21 следует, что результаты приближенного расчета такого рода могут быть поставлены под сомнение при сильных взаимодействиях, т. е. при высоких интенсивностях излучения, а также при больших длительностях взаимодействия. [c.480]

При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами. [c.39]

Вычисление эффективной массы электрона. В области экстремума функции Еа(к), определяющей зависимость энергии электрона от волнового вектора к, тензор обратной эффективной массы электрона в некоторых случаях можно вычислить методом теории возмущений. Предположим для простоты, что экстремум [c.132]

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, аппроксимирующих в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы. [c.82]

Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым 1229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы KAM. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан Я = Яо -г еЯ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по 8 изменялся на единицу на каждом шаге [c.162]

Общая теория, включающая распространение метода на случаи вырожденной невозмущенной системы, была по предложению Л. И. Мандельштама разработана С. П. Шубиным в работ- Некоторые проблемы теории возмущений линейных колебательных систем > Журнал прикладной физики, том 7, вып. 2, 69, 1930). [c.11]

Однако в случаях малых Ке можно ожидать существования лишь очень слабой турбулентности (например, только что возникшей при потере устойчивости ламинарного течения или же очень сильно вырожденной). Наибольший же интерес в теории турбулентности представляют течения с очень большими Ке, при которых можно ожидать существования развитой турбулентности. Ясно, что разложение по степеням Ке не является удобным методом для изучения решений при больших Ке если даже получаемый ряд и будет сходящимся при больших Ке, то сходимость, вероятно, будет крайне медленной, и ряд сможет быть полезным, лишь если его удастся полностью просуммировать (аналогичная трудность возникает при всех попытках использования методов теории возмущений для описания динамики систем с сильным взаимодействием). Тем не менее даже и при больших Ке формальное решение уравнения Хопфа в виде разложения по степеням Ке может быть полезным для некоторых целей (например, как эталон, с которым можно сравнивать решения, получаемые теми или иными приближенными методами). [c.651]

ДОМ 900 лет (см. разд. 6.7.3). Однако в случаях, когда отношение средних движений очень близко к соизмеримости (например, для некоторых пар спутников, для систем Нептун—Плутон, или астероид—Юпитер), приходится применять другие методы теории возмущении. [c.266]

То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихе [1955] обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные. В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности в остальных главах развивается техника сведения неравномерных разложений к равномерным. [c.27]

Возможность записать кинематические уравнения в виде уравнений Гамильтона интересна в тех случаях, когда динамические уравнения Эйлера можно проинтегрировать независимо от кинематических. Проекции мгновенной угловой скорости р, q, г будут известными коэффициентами в уравнениях (6.152). Записав кинематические уравнения в виде уравнений Гамильтона, мы можем применить некоторые методы аналитической механики, например метод Гамильтона — Якоби. Для приближенного интегрирования кинематических уравнений может оказаться полезным метод теории возмущений, основанный на вариации канонических постоянных. [c.426]

Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167]

Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволяющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощенная задача, называемая невозмущенной задачей, допускает точное решение. Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уравнениями. [c.388]

Однако в общем случае приходится использовать методы теории возмущений для приближенного вычисления винеровских интегралов. Последние широко используются не только в теории брауновского движения, но и (с некоторыми изменениями) в квантовой статистической физике, в физике полимеров, в квантовой механике (фейнмановские интегралы по траекториям) и в ряде других областей физики и математики. [c.95]

В данной главе рассматриваются задачи, в которых величину е,/(х) удобно изучать со статистической точки зрения. Функцию р(х) будем считать детерминированной, однако никаких серьезных дополнительных трудностей не возникает и в том случае, когда она также трактуется статистически. Предположим, что значения ф(х) (если Ej x) = d(f )/dxj) или iiieiiEj заданы на некоторой поверхности S и что требуется изучать свойства материала в ограниченной этой поверхностью области V-, форму этой поверхности и граничные условия будем считать детерминированными. Статистические вариации величины ф или BijEj могут быть включены в постановку задачи, однако введение случайных изменений в геометрию поверхности S очень сложно и представляет собой задачу, которой уделялось очень мало внимания (см. тем не менее работу Ломакина [30], в которой эта задача решается методами теории возмущений). [c.243]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

До сих пор мы рассматривали среды, в которых электродинамические характеристики (г и х) зависели только от одной пространственной координаты 2 , т. е. среды, однородные в поперечных направлениях х и у. Когда среда является неоднородной во всех трех направлениях в пространстве, задача об образовании излучения пролетаюш,ей заряженной частицей становится математически весьма трудной и точно решается только в некоторых частных случаях (например, в случае шара [69.6]). Однако если неоднородность среды незначительна, задачу можно решить приближенно методом теории возмущений. Это особенно оправданно для частот, намного превышающих атомные (в частности, рентгеновских), так как при таких частотах диэлектрическая проницаемость очень близка к единице (см. (1.58)). Если при этом эазмеры области неоднородности невелики, метод теории возмущений оказывается применимым. [c.149]

Продолжались также работы по построению аналитических теорий движения спутников Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна, а в самое последнее время начались работы по изучению движения спутников Марса. В этих работах применялись обычные методы теории возмущений небесной механики для определения возмущений координат или кеплеровых элементов орбит или строились теории, в которых за промежуточную орбиту принималась некоторая периодическая орбита, отличная от кеплерова эллипса. [c.351]

В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для рещений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее рещения некоторой нелинейной динамической системы с рещениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной взаимодействия . (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.) [c.177]

Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это люжет представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.16) или же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона—Хейлеса. [c.274]

Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование по-луклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса. [c.197]

Напомним, что нелинейные члены уравнений Навье — Стокса (включая градиент давления, квадратично выражающийся через поле скорости) описывают силы инерционного взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости. Если перейти в этих уравнениях к безразмерным переменным у = х/Ь, V = иЦ и т = vинерционного взаимодействия. Если Не мало, то силы инерционного взаимодействия будут создавать лишь малые возмущения основного потока , описываемого линейными уравнениями (получающимися из уравнений Навье — Стокса отбрасыванием нелинейных членов). В этом случае решение полных уравнений Навн е — Стокса с помощью рядов по степеням Не будет представлять собой применение обычного метода теории возмущений, и мы сможем использовать все ее общие результаты, включая и разработанные в квантовой теории поля (см., например, Швебер, Бете и Гофман (1955)) способы графического изображения слагаемых ряда по степеням константы взаимодействия в виде некоторых диаграмм . Если же Не велико, так что инерционные взаимодействия очень сильны, то непосредственное использование рядов по степеням константы взаимодействия будет, как н всегда в теории систем с сильными взанмодейетвиями, неэффективным, но формальные ряды по степеням Не все же будут полезными для целей, указанных выше. [c.270]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...