Принцип усреднения

В соответствии с этим принцип усреднения по толщине пластинки, выраженный в понятии обобщенного плоского напряженного состояния , дает мало выгод. Исключая области вблизи границы, всюду преобладает простое параболическое изменение. Вблизи границы изменение напряжений по г отличается от параболического и зависит от изменения по г внешней нагрузки, [c.286]

В общем случае при нахождении аналитического решения уравнения (217) встречаются существенные затруднения. Некоторые из них можно преодолеть, используя принцип усреднения. [c.137]

Согласно принципу усреднения решение уравнения (219) при 8 О можно приблизить на сколь угодно большом конечном интервале времени решением уравнения [c.137]

Конец 60-х — первая половина 70-х гг. характеризуются широким внедрением в практику ОПК хорошо разработанных к этому времени методов математического программирования (МП), существенно расширивших возможности постановки и решения более сложных задач оптимизации конструкций из композитов. Применение методов МП как средства эффективного решения многомерных задач оптимизации позволило качественно изменить содержание задач ОПК из композитов на основе включения в число параметров оптимизации одновременно геометрических параметров конструкции и структурных параметров конструкционного материала. Возникшая при этом потребность в уточнении моделей расчета конструкций, прежде всего слоистых оболочек, стимулировала развитие соответствующих разделов механики конструкций [8, 15, 118 и др.]. В свою очередь, потребность в моделировании деформативных и прочностных характеристик композитов с усложненными свойствами и структурой армирования обусловила устойчивый интерес и, следовательно, быстрое развитие структурной механики композита [15, 25, 54, 63, 75, 105, 127 и др.]. Распространение принципа усреднения на методы расчета деформативных характеристик поли- [c.11]

Из приведенных рассуждений можно сделать вывод о том, что оптимизацию пространственных структур армирования следует осуществлять на основе принципа суперпозиции структур армирования, являющегося естественным следствием основополагающего принципа структурной механики композита — принципа усреднения. В соответствии с принципом суперпозиции любая структура армирования композита может быть представлена в виде [c.202]

Применим теперь принцип усреднения к системе (128), т. е. выпишем усредненную систему, используя оператор Ж, (см. 1.3) [c.162]

Всякий раз, когда в исследуемом уравнении, описывающем состояние какой-либо динамической системы, присутствует малый числовой параметр > О, возникает задача об асимптотическом (при 0) поведении ее состояния. Наличие малого параметра в правых частях дифференциальных уравнений, в возмущающих воздействиях, при старших производных в левых частях уравнений стимулировало в разное время острый интерес и бурное развитие важных разделов теории теории возмущений и разложения решений в ряд по степеням малого параметра, принципа усреднения, теории сингулярных уравнений и т.д. Разумеется, присутствие малого параметра в уравнениях и необходимость рассмотрения асимптотических задач диктуются, прежде всего, обилием возникающих реальных ситуаций, множеством практических примеров, связанных с наличием малого параметра. [c.387]

Оказывается, существует путь решения этой задачи в рамках привлечения сильного корректирующего множителя [333] с последующим применением принципа усреднения для стохастических систем [67]. Идея этого подхода довольно простая и заключается в том, чтобы соответствующей коррекцией правую часть уравнения (12.64) максимально приблизить к виду правой части уравнения (12.63). Легко видеть, что для реализации этой программы действий надо взять в качестве вектора Ti(t)x вектор порядка е Ti(t) х. [c.388]

Б. Принцип усреднения. Пусть Г, ф — переменные действие — угол в интегрируемой ( невозмущенной ) системе с функцией [c.256]

Принцип усреднения для системы (1) состоит в ее замене другой системой, называемой усредненной системой [c.257]

Рассматриваемый принцип усреднения явно встречается уже у Гаусса (при изучении возмущений планет друг другом Гаусс предложил размазать массу каждой планеты по ее орбите пропорционально времени и заменить притяжение планет притяжением полученных колец). Тем не менее удовлетворительное исследование связи между решениями систем (1) и (2) в общем случае не проведено и посейчас. [c.257]

Принцип усреднения основан на представлении о том, что и в общем случае движение системы (1) можно разделить на эволюцию (2) и малые осцилляции. В общем виде такое представление не обосновано, а сам принцип неверен. [c.258]

Сказанного достаточно, чтобы убедиться в важности принципа усреднения сформулируем теперь теорему, обосновывающую этот принцип в одном весьма частном случае — случае одночастотных колебаний к — 1). Эта теорема показывает, что усредненное уравнение правильно описывает эволюцию на большом отрезке времени (О < i < 1/е). [c.258]

Посмотрим теперь, что происходит при малом возмущении функции Гамильтона с нерезонансными инвариантными торами. Формальное применение принципа усреднения (т. е. первое приближение классической теории возмущений, см. 52) приводит к выводу, что никакой эволюции нерезонансный тор не претерпевает. [c.371]

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений принцип усреднения, КАМ-теория и пр. [c.15]

В настоящей главе рассматриваются методы теории возмущений, которые группируются вокруг принципа усреднения и идеи о разделении движения на плавный дрейф и быстрые осцилляции. [c.152]

Принцип усреднения. Если на интегрируемую консервативную систему наложить малое возмущение, то величины, бывшие интегралами в невозмущенной задаче, начнут медленно эволюционировать. На временах порядка 1 эволюция мала. На временах порядка 1/е, где е — малость возмущения, эволюция может быть значительной (порядка 1). Формулируемый ниже основной принцип, который называют принципом усреднения, позволяет написать замкнутые уравнения для эволюции, содержащие только плавно изменяющиеся переменные. [c.152]

В приложениях обычно основной интерес представляет поведение медленных переменных. Принцип усреднения состоит в том, что для приближенного описания их изменения на временах порядка 1/е система возмущенных уравнений (2) заменяется на усредненную систему [c.153]

Таким образом, получается замкнутая система для описания медленного движения, которая гораздо проще исходной например, шаг численного интегрирования для нее можно выбрать в 1/е раз большим. Поэтому принцип усреднения чрезвычайно продуктивен и широко используется на практике. [c.153]

Принцип усреднения основан на представлении, что и в общем случае отброшенные при усреднении осциллирующие члены приводят только к малым осцилляциям, которые накладываются на дрейф, описываемый усредненной системой. Д [c.154]

Вторая трудность состоит в том, что в ходе эволюции частоты (о(/) сами медленно изменяются. Поэтому на интервале времени 1/е точка может многократно пересекать окрестности резонансных поверхностей. Следовательно, даже замена переменных первого приближения не определена, вообще говоря, вдоль всей траектории на интервале времени 1/е. Однако эта замена является основным средством анализа движения между резонансами. Происходящие при пересечении резонансной поверхности явления рассмотрены ниже в пп. 1.7, 1.8. Грубо говоря, дело здесь обстоит так суммарная мера резонансных областей оказывается малой поэтому для большинства начальных данных движение в них не может сильно повлиять на эволюцию и принцип усреднения позволяет описать большинство траекторий. [c.158]

В одночастотном случае обоснование принципа усреднения проведено практически полностью. Ниже приводятся результаты о точности усреднения на временах порядка 1/е, свойствах высших приближений процедуры исключения быстрой переменной и о связи интегральных многообразий (стационарных точек, циклов, инвариантных торов) точной и усредненной систем. [c.161]

Принцип усреднения Боголюбова [8] состоит в том, что что вместо исходной системы в стандартной форме рассматривается усредненная система [c.169]

Применение принципа усреднения. Пусть невозмущен-ная гамильтонова система вполне интегрируема, некоторая область ее фазового пространства расслоена на инвариантные торы, в этой области введены переменные действие—угол [c.181]

Эта форма уравнений — стандартная для применения принципа усреднения. Если не оговорено противное, функции Яо, Н будем считать аналитическими. [c.182]

Так как 0—интеграл задачи, то для /j, ф, получается система с двумя степенями свободы и двумя частотами. Применяя принцип усреднения, получаем, что действия />—интегралы, а фазы ф испытывают равномерное вращение, близкое к вращению в задаче Эйлера—Пуансо. Из анализа уравнения ё = = е< Я /( 0 легко следует, что в рассматриваемом приближении изменение угла д близко к равномерному вращению с угловой скоростью порядка е. Итак, получается, что в системе координат, связанной с вектором кинетического момента и вертикалью, тело совершает движение почти по Эйлеру—Пуансо , а сам вектор кинетического момента медленно прецессирует вокруг вертикали. Д [c.184]

Фазы ф,, />г являются медленными переменными. Согласно принципу усреднения, для приближенного описания эволюции надо усреднить уравнения возмущенного движения по быстрым фазам ф(, 1 г. Аналогично предыдущему доказывается следующее утверждение. [c.184]

В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных Им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае). [c.184]

Форма уравнений (36)—стандартная для применения принципа усреднения п. 1.1. [c.215]

Подобный принцип усреднения применяется при анализе тяжелых фракций нефтепрод ктов, когда аыделение отдельных химических компонентов из смеси и их четкая идентификация невозможны. Тогда на основании комплексных исследований определяется структура фикпганой среднестатистической молекулы, по особенностям которой судят о свойствах выделенной фракции в целом. [c.148]

Тогда урав11ения для огибающих, полученные с использованием принципа усреднения применительно к системе (5), примут вид [4] [c.269]

К о л о м и е ц В. Г. О принципе усреднения для стохастических систем с последействием.— В кн. Тр. V Международной конференции по не линейным колебаниям. М. Ин-т мат. АН УССР, 1070, С. 171—176, [c.249]

Самойленко А. М. Обоснование принципа усреднения для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.—В кн. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.— Киев Изд-во АН УССР, 1963, с. 90-95. [c.249]

Приводимость систем с почти периодическими коэффициентами изучена в цикле работ А. Е. Гельмана, выполненных в 1955—1957 гг. специальную теорию приводимости развил И. 3. Штокало для уравнений с малым параметром (метод Штокало основан на идеях принципа усреднения Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова). [c.131]

В книге применены поня ия средних значений степеней черноты, поглощательных способностей и других величин. Усредненные величины в случае надобности отмечены горизонтальной чертой над буквой. Иногда величины усредняют по разным признакам и по нескольким признакам одновременно. Тогда возникает несколько понятий средних величин. Если по смыслу изложения неясно, о каком принципе усреднения идет речь, то в таком сл)гчае дайо специальное пояснение. [c.14]

Полученные в предыдуш их параграфах уравнения для отклонения оценки состояния системы от истинного значения состояния в 12.4 изучаются для выяснения статистического и асимптотического характера поведения решений синтезированного оптимального фильтра. Центральное место в асимптотическом исследовании занимает наличие больших возмуш ений и применение принципа усреднения для создания системы эффективной ответной реакции, демп-фируюш ей (гасяш ей) все такие возмуш ения. [c.360]

Принцип усредаения и асимптотика уклонений при больших возмуш ениях. Лля исследования уравнения (12.67) обратимся к принципу усреднения [67], по которому траектории x t) исходной системы (12.67) и усредненной системы x t) будут близки в вероятностном смысле. [c.389]

Положительным свойством гидростатических опор является их способность в значительной, мере усреднять исходные геометрические погрешности сопряженных поверхностей. Принцип усреднения погрешностей можно пояснить на простейшем примере плоской опоры, имеющей периодическую погрешность одинакового шага и равной амплитуды на сопряженных поверхностях (рис. 135). При движении без смазк исходные погрешности приведут к вертикальным смещениям, равным 2а. В режиме гидростатической смазки можно рассмотреть два предельных случая. Расположение выступов одной поверхности напротив впадин другой (см. рис. 135) обеспечивает постоянную толщину щели Ло = onst. Относительное смещение поверхностей на половину шага создает периодически изменяющуюся толщину щели [c.158]

Воспользуемся принципом усреднения, применявшимся еще Гауссом при анализе возмущений кеплеровых орбит планет (см. [3, гл. 51). Для этого усредним правую часть уравнения (4.3) по периоду невозмущенного периодического движения [c.51]

Глава 4 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравненнй движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указа-11Ы разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих золотой фонд классической динамики. Материал этой гл 1ВЫ используется в главе 5, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики — теории возмущений. Основная задача теории возмущений — исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый принцип усреднения ) возникли в небесной ме-> анике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 4 и 5 примыкает глава б, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравненнй движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в лаве 5. Классическим вопросам небесной механики посвящена "1торая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, [c.9]

Сформулированный принцип усреднения использовали Лагранж и Лаплас в теории вековы.х возмущений орбит планет. После их работ этот принцип стал стандартным средством небесной механики. Позднее его переоткрыл и использовал для решения задач теории нелинейных колебаний Ван-дер-Поль (В. van der Pol). Широкое применение принципа усреднения в теории колебаний было стимулировано работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского. История принципа довольно запутана, ее изложение содержится во вводных параграфах монографии [96]. В настоящее время принцип усреднения в различных вариантах (и иногда под различными названиями) используется во многих прикладных областях. [c.154]

Влияние отдельного резонанса. Основные особенности многочастбтных систем связаны с резонансами. В соответствии с принципом усреднения, для описания возмущенного движения вблизи одного выбранного резонанса и вдали от остальных резонансов следует частично усреднить уравнения движения с учетом выбранного резонанса. Это приближение во многих случаях может быть обосновано с помощью процедуры п. 1.3. В настоящем пункте рассматривается получающаяся частично усредненная система. Она имеет обычный вид возмущенной системы, но возмущение зависит от фаз только через одну их целочисленную комбинацию [c.170]

Задачу о влиянии малых гамильтоновых возмущений на интегрируемую гамильтонову систему Пуанкаре назвал осно ной задачей динамики. Эта задача имеет много приложений, именно к ней относятся исторически первые формулировки принципа усреднения и первые результаты теории возмущений. Формальная сторона теории здесь в принципе такая же, как для общих негамильтоновых возмущений. Одиако характер эволюции под влиянием гамильтоновых возмущений совсем иной. Соответственно, для обоснования рецептов теории возмущений используются существенно другие методы, чем в негамильтоновом случае. [c.181]

I, д равномерно вращаются с частотами, отличающимися от не-во мущепных частот на величины порядка е. Итак, принцип усреднения приводит к следующей картине движения. Астероид движется по эллипсу, который медленно равномерно вращается вокруг своего фокуса (центра масс системы Солнце — Юпитер). Д [c.183]

Теория KAM —это теория возмущений условно-периодиче- iaix движений гамильтоновых и родственных им систем в целом для бесконечных интервалов времени. Она дает, в частности, строгое оправдание фундаментальному выводу об отсутствии эволюции в таких системах, вытекающему нз эвристического принципа усреднения и формальных процедур интегрирования. [c.197]

Приложения теории KAM. Теория KAM во многих классических задачах механики и физики дала строгое обоснование выводам, которые ранее были получены с помощью эвристического принципа усреднения и формальной теории возмущеннй. Вот наиболее известные (см. [6], [30]) примеры [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...