Функциональные определители

Заметим, что решить систему (1.4) можно лишь относительно тех координат, для которых функциональный определитель [c.12]

Последнее следует из того, что функциональный определитель системы [c.323]

Функциональные определители (9.5) широко применяются в термодинамике для преобразования частных производных. Не вдаваясь о теорию определителей Якоби (см., например, [И]), перечислим некоторые их важные для практического применения свойства. [c.77]

Действительно. Для полного интеграла функциональный определитель [c.310]

Доказать, что определитель коэффициентов при д , д , д в уравнениях (2) п. 292 равен квадрату функционального определителя величин X, у, Z, рассматриваемых как функции параметров д- , до, д . [c.506]

Если известны п — 1 независимых между собой интегралов 02,.. п-ь то всякий другой интеграл будет функцией этих же величин б , 02,. .., 9 - . и наоборот, любая функция от 0 , 09,. .., 0и ( будет интегралом. Поэтому, если обозначить через 0 какой-нибудь произвольный интеграл, то функциональный определитель [c.398]

Произведем замену переменных. Тогда, если У1, Уг,. ... Уп — новые переменные, то по известному свойству функциональных определителей получим [c.401]

Если М есть множитель для переменных х , лгз,. .., х , то произве-дение М на функциональный определитель ...является множителем для новых переменных у , уз..............у . [c.402]

Заметим также по этому поводу, что функциональный определитель [c.404]

Разделим на Z) и (пользуясь свойствами функциональных определителей) примем во внимание соотношения [c.295]

Единственным существенным предположением является лишь то, чтобы смешанный функциональный определитель [c.256]

Геометрическая интерпретация условий полной каноничности. Рассмотрим функциональный определитель преобразования (28), который символически, очевидно, можно представить в виде [c.263]

Другая явная форма условий полной каноничности. Скобки Пуассона. Из сопоставления двух видов D и D, которые можно придать функциональному определителю какого-нибудь преобразования, в случае полной каноничности вытекают другие важные следствия. [c.264]

Этот вывод обратим действительно, если квадрат функционального определителя (D ) преобразования (28) вычисляется умножением D на D по строкам вместо столбцов, то, принимая во внимание только что данное определение скобок Пуассона, найдем [c.265]

Рассматривая функциональный определитель от xi t x°) по x [c.290]

Что функция V есть интеграл, можно видеть непосредственно из равенства (91в), если принять во внимание равенства (91 ), так что остается только подтвердить его полноту. Для этой цели достаточно проверить, что смешанный функциональный определитель от V по и 1г (п. 35), т. е. в силу уравнений (91 ) якобиан от sj, Юд. , 9 по т , не будет тождественно равен нулю. Но это есть необходимое и достаточное условие для разрешимости уравнений (86 ) относительно тг, обеспеченное заранее тем обстоятельством, что эти уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (86), которые как раз и являются разрешенными относительно it. [c.313]

Для того чтобы убедиться, что определенный таким образом интеграл уравнения (130) является полным, мы должны согласно правилу п. 38 проверить, что, по крайней мере, при соответствующих качественных ограничениях не будет равен нулю тождественно его смешанный функциональный определитель относительно р, g и G, 6, [c.348]

Речь идет о том, чтобы проверить, согласно определению полного интеграла (п. 35 гл. X), что смешанный функциональный определитель [c.440]

Элементы этого функционального определителя для первых п строк и п столбцов (А, А = 1, 2,.. .определяются на основании уравнений (52 ) равенствами [c.442]

Поэтому матрица, образованная из первых п столбцов этого функционального определителя, т. е. матрица [c.446]

Если воспользоваться инвариантностью выражения X f) и правилом умножения функциональных определителей , то последнее равенство можно записать так [c.319]

Функциональный определитель импульсов. Ради краткости будем обозна-ЗН [c.438]

Отсюда легко получается теорема Лиувилля о том, что функциональный определитель канонического преобразования равен +1 или —1. [c.823]

Из этого равенства заключаем, что Д может равняться нулю лишь в том случае, когда каждый из функциональных определителей, стоящих в правой части, равен нулю. Но из того, что [c.196]

Аналогично из равенства нулю двух остальных функциональных определителей следует, что существуют некоторые соотношения [c.196]

Зл. Число таких определителей, очевидно, равно числу сочетаний из Зл элементов по а- -Ь. Определитель 0р может обратиться в нуль лишь тогда, когда каждый из упомянутых функциональных определителей равен нулю. Но в таком случае между функциями / и (fp существовала бы зависимость [c.300]

Функциональные определители — Геометриче ский смысл 1 (1-я)—180 Функциональные ряды — Определение [c.328]

Отображение областей. Вычисление площади. Геометрический смысл функционального определителя. Равенства f u,v) = x, (u,v)=y устанавливают соответствие между координатами х,у точек некоторой области G плоскости ху и координатами и, v точек другой области Gi, расположенной на координатной плоскости UV. Точки области О называются образами соответствующих точек области Gj. Область G называется образом области G,. [c.180]

Таким образом абсолютная величина функционального определителя в некоторой точке М, области G] (плоскость uv), образом которой является точка М области G (плоскость ху), равна пределу отношения площади некоторой малой области g, заключающей внутри себя точку М, к площади соответствующей области заключающей внутри себя точку УИ], при безграничном уменьшении площади области jgj и одновременном стремлении к нулю наибольшего расстояния точки от контура области 1. [c.181]

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ [c.89]

Для расчета термодинамических свойств, не (входящих непосредственно в фундаментальное уравнение, используют условие равенства вторых смешанных производных (4.10) и некоторые другие математические соотношения и методы. Так, очень часто возникает потребность перейти от одного набора независимых переменных к другому. Для этой цели удобно применять метод функциональных определителей Якоби. Пусть, например, требуется заменить переменные хи.. .,Хп на новые леременные уи...,уп. Это означает, что каждая из у (i = = 1,...,л) может рассматриваться как функция старых переменных yi = yi(xi,..., Хп), причем все у,- должны быть независимыми между собой. Дифференцирование функции у,- дает систему п линейных относительно dxj (/= ,...,л) уравнений [c.77]

Выражение производной (ди ди]т через термические параметры р, V, Т имеет важное значение в термодинамике оно устанавливает связь между термическим и калорическим уравнениями состояния. Найдем указанное выражение, анализируя процесс деформации прямоугольной координатной сетки р—о-диаграммы в косоугольную сетку изотерм и адиабат (см. рис. 3.11) в окрестности точки М. Детальный анализ геометрического существа такой деформации с использованием математического аппарата функциональных определителей (якобианов) позволяет ввести 7— -диаграмму без использования цикла Карно или принципа адиабатической недостижимости рассмотрение этого вопроса, однако, выходит за рамки данного учебника. Ниже дан нестрогий вывод выражения для ди1ди)т. [c.92]

Согласно условию, которому должен удовлетворять пойный интеграл (п. 38, гл. X), все сводится к доказательству того, что функциональный определитель от /7 = dAjdqj по п из параметров q O и не будет тождественно равен нулю. Заметим теперь, что система (54"), (54" ) может рассматриваться- как результат решения по отношению к р , t—tQ, и1 уравнений, которые получатся путем присоединения уравнения Н = Е к интегральным выражениям q через р , t — Отсюда следует, что, обратно, эта система (54"), (54" ) будет разрешима по отношению к к 1 аргументам q к Е, л это обеспечивает, что соответствующий функциональный определитель п -j-1 порядка [c.445]

Прежде чем нтти дальше, припомним одно предложение из теории функциональных определителей. Пусть какие-либо s величин j ,, х ,. .х, определяются из s уравнений [c.484]

Л опубликовал в 22-й тетради журнала Крелля статью относительно функциональных определителей, в которой установил, что мел ду. функциональными определителями в задачах со многими переменными и производными в задачах с одной переменной существует определенная аналогия. Эта аналогия выражается в доказанных там следующих теоремах [c.89]

Исходя из рассмотрения функциональных определителей, мы достигае.ч того, что можем обосновать теорию множителя системы дифференциальных уравнений для общего случая и 4-1 переменных иначе, чем уто сделано в двенадцатой лекции, а именно тем самым путем, на который мы вс гупили й десятой лекции для случая трех переменных. [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...