Метод декартовых координат

Метод декартовых координат [c.74]

Решение задач. Основная трудность при решении задач кинематики точки методом декартовых координат состоит в определении уравнений движения, т. е. вида функций [c.81]

Решение. Для решения задачи методом проекций направим оси декартовых координат ось х — по горизонтали направо, ось у — но вертикали вверх. [c.33]

Исследование равновесии системы в декартовых координатах. Метод множителей Лагранжа. Пусть имеем систему п материальных точек, на которую наложены связи неосвобождающие [c.297]

Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма и независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже. [c.131]

Переменные Эйлера. В механике сплошной среды, особенно для жидкостей и газов, а также в теории поля преимущественно используются метод Эйлера и соответственно переменные Эйлера, В методе Эйлера рассматриваются не фиксированные точки сплошной среды, а точки пространства, занятые движущейся сплошной средой. За независимые переменные принимают время ( и декартовы координаты точки М пространства х, у, г или другие параметры, характеризующие различные точки пространства. Четыре независимые переменные величины X, у, г, I называют переменными Эйлера. [c.209]

Положение точки, в которой происходит событие, может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась вполне реальными приемами сравнения измеряемых величин с образцовыми эталонами. [c.179]

Рассмотрим операции дифференцирования скалярных и векторных функций векторного аргумента. Это рассмотрение мы проведем, используя главным образом формальные методы, основывающиеся иа введении так называемого оператора Гамильтона. Далее будет применена лишь прямоугольная система декартовых координат. [c.375]

Если некоторая материальная точка покоится относительно этой системы координат, то ее положение относительно последней может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. [c.373]

Указания к решению задач. Задачи по кинематике точки, решаемые методом прямоугольных декартовых координат, можно разделить на еледующие основные типы [c.240]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Наиболее полно метод начальных функций в декартовых координатах изложен в работе В. 3. Власова [12]. [c.16]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат qi, так и независимых импульсов Pi- Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием, описываемым уравнениями [c.264]

Резюме. Проблемы изучения движения аналитическими методами требуют обобщения первоначальной концепции декартовых координат. В качестве системы координат может быть выбрана любая совокупность параметров, характеризующая положение механической системы. Эти параметры называются обобщенными координатами системы. [c.34]

Декартов метод задания векторов. Фиксируем ортогональный триэдр декартовых координат Охуг (фиг, 1) и условимся раа навсегда, что три его оси должны иметь расположение правостороннего вращения (или правого винта) это значит если будем представлять себе ориентированную ось олицетворенной, то вращение ориентированной оси х, при котором она после поворота на 90 совпадет с ориентированной же осью у, должно происходить справа налево отсюда следует, что в ту же сторону должно происходить вращение соответственно вокруг ориентированной оси X или у для совмещения после поворота на прямой угол оси у с осью 2 или оси 2 с осью X. Здесь важно указать, что в [c.18]

В дальнейшем ( 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы. [c.59]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Метод разделения переменных требует специального выбора системы координат. Так, в проблеме Кеплера ничего не удалось бы сделать, пользуясь прямоугольными декартовыми координатами. В проблеме с двумя центрами притяжения можно разделить переменные, [c.258]

Переходя к примерам на системы с неинтегрируемыми дифференциальными связями, заметим, что движение таких систем почти исключительно изучают с помощью соответственным образом выбранных обобщённых координат q а не в декартовых координатах, почему излагаемый метод в данном случае приобретает особо важное значение. [c.325]

Численное или графическое интегрирование уравнений равновесия в декартовых координатах. Этот метод основан на интегрировании дифференциальных уравнений равновесия [1], которые для случая плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил записываются в виде [c.208]

По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-пия Лагранжа 1-го рода) ур-пия (3) обладают том важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2 го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности н динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др. [c.542]

Выполним решения методом интегральных преобразований. Наиболее удобны для общего решения задач импульсного лучистого нагрева неограниченной пластины в декартовых координатах косинус преобразование Фурье с конечными пределами по координате -х. и последующее двукратное преобразование Фурье по координатам , 2. [c.12]

Л ) = 3/<Ге N) rxi N), N S силами [181. В однородном теле с постоянными и теплофизическими и механическими характеристиками материала при отсутствии объемных источников тепла, объемных и поверхностных распределенных и сосредоточенных нагрузок, а также связей, ограничивающих перемещения поверхностных точек тела, напряжения не возникают, если процесс теплопроводности установившийся, т. е. Т,ц М) =0, и распределение температуры линейно зависит от прямоугольных декартовых координат [5]. Аналитическое решение пространственной задачи термоупругости затруднительно для тел сложной формы при произвольных граничных условиях и функциях (М) и (М). Среди численных методов решения рассмотрим МКЭ и МГЭ. [c.248]

В предыдущих главах использовались прямоугольные декартовы координаты. В этой главе будут введены комплексные координаты и компоненты векторов, тензоров. Комплексные величины упрощают промежуточные выкладки и дают более компактные и обозримые окончательные зависимости. Для некоторых классов задач удобно вводить функции комплексной переменной. Комплексную запись можно рассматривать как аналог векторной. Материалы гл. 4 следует рассматривать как дальнейшее развитие комплексного метода Г. В. Колосова [27]. [c.46]

В уравнениях (15.1) предполагается, что декартовы координаты Xi (или в уравнениях (15.2) для непрямого метода) в произвольной точке, принадлежащей д-щ граничному элементу, выражаются через декартовы координаты j f узлов (например, k=, 2, п) и базисные функции N r]) [c.416]

Рассмотрим систему тел вращения, меридиональные сечения которых в системе декартовых координат гг занимают подобласти S, (г = = 1,2,. .., п). Тела могут взаимодействовать посредством контакта. При этом их НДС является осесимметричным, зоны контакта и проскальзывания могут быть заранее неопределенными. Заданными являются только предполагаемые зоны контакта, за пределы которых не может выходить контактное взаимодействие. В условия контактного взаимодействия входят зазоры (натяги) коэффициент трения, который может зависеть от контактного давления жесткость шероховатостей контактирующих поверхностей и закон их деформирования условия нагружения поверхностей после выхода из контакта, а также не вошедших в контакт. Между контактирующими поверхностями возможен теплообмен, который, как правило, является неидеальным и осуществляется через тепловое сопротивление, зависящее от контактного давления [225]. Контактирование тел происходит через специальный контактный слой со специальными механическими и реологическими свойствами, которые являются неопределенными, пока не найдено решение задачи, и уточняются методом последовательных приближений в процессе решения. Механические свойства материала подобластей Si могут отличаться друг от друга и предполагаются зависящими от температуры. [c.89]

Глава 5 посвяш,ена развитию метода однородных решений в контактных задачах для тел конечных размеров сложной неканонической формы. Показывается, что использование однородных решений на кривых, отличных от координатных, требует привлечения сушественно более сложных численных методов, в частности, алгоритмов Ремеза нахождения наилучшего приближения. Исследованы в декартовых координатах контактные задачи для конечного тела в форме криволинейной трапеции (задачи N, N2, Щ) и в цилиндрических координатах для конечного тела вращения с криволинейной образующей (задача N4). [c.18]

I. Первый метод замены координат состоит в следующем а) вывод классического гамильтониана в декартовых координатах, б) применение постулатов квантовой механики для получения квантовомеханического гамильтониана и в) замена координат в получающемся уравнении Шредингера. [c.132]

Для определения типов симметрии нормальных координат воды в группе Сгу(М) (см. табл. 5.2) начнем с определения свойств преобразования декартовых координат смещений под действием операций симметрии группы 2v(M). Используя эти свойства, мы можем найти представление группы 2v(M), порождаемое декартовыми координатами смещений назовем это представление Г Мы можем выбрать любой метод для получения этих результатов (по рисункам или из уравнений). Но и [c.178]

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Как явствует из краткого сообщения, опубликованного в начале 1823 г. , Коши развил в этом мемуаре общий континуальный подход в механике сплошной среды. Он ввел понятие напряжения на площадке, представил его через три составляющие, параллельные осям декартовых координат, и изучил напряженное состояние в точке упругого тела. Далее с помощью предложенного Л. Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил Коши получил общие уравнения равновесия сплош- [c.49]

Рассматривая произвольные перемещения тела и произвольные системы сил, Болл приводит их к комбинации некоторых базисных винтов, благодаря чему достигается наглядная геометрическая интерпретация и хорошая механическая ощутимость результатов. Болл остроумно противопоставляет метод винтов методу декартовых координат [4 и в популярной форме излагает сущность метода винтов. [c.3]

Совершенно ясно, что метод, примененный нами для построения простейших тензоров второго ранга, позволяет построить тензоры высших рангов. Для этого следует ртсс.мотреть соответствующие произведения компонент трех, четырех н т. д. векторов. Приведем полное определение тензора -го ранга, заданного в ортогональной системе декартовых координат. [c.45]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Требуется написать уравнения движения в новой системе координат, т. е. написать дифференциальные уравнения, определяющие д , д , д в функции времени. Для этого можно было бы взять те же уравнения движения, которые определяют х, у, г ъ функции t и преобразовать их к новым переменным, определяемым выщенаписанными формулами. Но такое вычисление было бы слишком длинным, а метод Лагранжа имеет целью именно избежать длинные вычисления. Этот метод применим также и в том случае, когда декартовы координаты являются заданными функциями не только трех новых координат д , 2. но и времени. С точки зрения геометрической это означает, что указанный метод применим также и в случае, когда новая система координат подвижна, причем движение ее известно. [c.447]

ИЗ которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и п переменных величин г[( К В общем случае класс этих переменных величин, обычно называемых переменными поля, не ограничивается перемещениями, как в рассмотренной задаче теории упругости. Оказывается, например, что этот метод пригоден для описания электромагнитного поля, в котором имеется не менее четырех переменных поля, соответствующих скалярному потенциалу <р и трем компонентам векторного потенциала А. Этот вопрос будет подробнее освещен в гл. XI после рассмотрения в гл. X элементарных основ теории относител ьности. [c.121]

Теорема Эйлера-Савари была обобщена М. Дистели [51] для произвольного пространственного движения тела. Так как этим автором был применен классический метод дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей с помощью декартовых координат, то решение получилось весьма громоздкое — с результатом в виде двух уравнений. В работе Д. Н. Зейлигера [21] приведена формула Эйлера-Савари для пространственного движения тела, хотя и в неполном варианте, но зато выраженная в комплексном виде. Ниже будет дана полная формулировка теоремы Эйлера-Савари с формулой наиболее общего вида. Эта теорема устанавливает связь комплексных углов между бинормалями и общей образующей аксоидов с комплексными углами между бинормалями [c.162]

Метод скользящих индексов наряду с символикой тензорного анализа весьма удобен для записи- математических формул, Он сокращает запись и облегчает уяснение физического сл)ысла. Независимые переменные обозначаются разными индексами, а не различными наименованиями. Например, декартовые координаты X, у, г обозначаются х,, х , Хз (xi = x Х2 = у Хз = 2). Для слагаемых суммы находится общий член суммы, из которого отдельные слагаемые [c.7]

Обычно под частной О. т. подразумевают описание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимо задать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. систе-ма.х в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определения координат событий можно пользоваться декартовыми координатами j , х , х , или х, у, Z, где X, у, Z измеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональной декартовой системе -координат. Три координаты х, у, z объединяются в трёхмерный вектор г (или л ). Время t в данной точке г измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодов и есть время г. Предполагается, что часы во всех точках пространства и во всех и. с. о. одинаковы. В совр, метрологии оси. единицы для измерения длины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волн стандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома для заданных переходов). [c.494]

Ангерво пытается подвести к этому уравнению и общий случай кривых третьего порядка путем подборки подходящей системы криволинейных координат на плоскости. Однако мы, нри изложении метода Ангерво, оставим эту попытку в стороне и будем рассматривать хну как прямоугольные декартовы координаты. [c.255]

А. Пшеборский для нелинейного случая, но при линейных относительно ускорений неголономных связях второго порядка вывел уравнения типа Маджи, выраженные в декартовых координатах. Последнее обстоятельство создает определенные неудобства и в известном смысле ограничивает общность его метода. Для рассматриваемого общего случая дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевых координатах в форме Воронца — Гамеля, Аппеля — Гиббса и Ценова установил М. Ф. Шульгин 2. Р. Казанину принадлежит любопытная идея преобразования уравнений нелинейных реономных неголономных связей любого порядка в уравнения линейных склерономных связей первого порядка путем введения надлежащих новых параметров. Эта идея, как показывает Казанин, оказывается плодотворной, например, при составлении динамических уравнений движения системы и решении задачи об определении реакций связей. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...