Притяжение эллиптического

С мемуаром Лагранжа О притяжении эллиптических сфероидов (1773) и Приложением к этому мемуару мы уже целиком в эпохе торжества аналитических методов механики. Лагранж начинает с записи составляющих силы притяжения материальной точки к любому телу в виде тройных интегралов (в декартовых координатах) и затем дает правила замены переменных в тройных интегралах,— вопрос, которым Лагранж занялся именно в связи с задачей о притяжении эллипсоидов. Вся трудность задачи — в выполнении 152 необходимого интегрирования. Лагранж получает аналитически основные результаты (Ньютона, Маклорена, некоторые обобщения Даламбера) для задачи о притяжении эллипсоидом внутренней точки. Так же, как его предшественники, для внешней точки Лагранж ограничивается случаем, когда точка находится на продолжении одной из осей эллипсоида (вообще говоря, трехосного). [c.152]

Точка Р на эллиптической орбите планеты, находящаяся на наименьшем расстоянии от центра притяжения О (Солнца), называется перигелием, а точка А, наиболее удаленная от центра, — афелием (рис. 172). Перигелию Р соответствуют значения [c.204]

Движение планет вокруг Солнца представляет собой рассмотренное выше движение тел по эллиптическим орбитам под действием ньютоновой силы притяжения. Законы движения планет были открыты немецким астрономом Кеплером (1571 —1630) до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения и подготовили открытие этого закона. [c.205]

Точка на эллиптической орбите планеты, находящаяся на наибольшем расстоянии от центра притяжения (Солнца). [c.8]

Согласно Резерфорду атом водорода представляет собой ядро с атомным весом 1 и с зарядом + е (протон), около которого обращается один электрон, удерживаемый вблизи ядра кулоновской силой электростатического притяжения. Пользуясь законами механики, нетрудно вычислить, что электрон должен описывать эллиптическую орбиту, в фокусе которой находится протон. Энергия такой системы = —е /2а (см. упражнение 243), где а — большая полуось эллипса частота обращения электрона по орбите (о ) определится из соотношения [c.722]

Все типы реактивных двигателей применяют в современной авиации развитие этих двигателей позволило создать космические аппараты, которые преодолели притяжение Земли, достигли Луны, Венеры, Марса и вышли на эллиптические орбиты вокруг Солнца. [c.170]

В данном случае представляется возможным применить те формулы, которые были даны нами в пункте 10 отдела V. Мы обозначили через S значение функции П для случая, когда силы являются результатом притяжения всех частиц тела заданной формы, и дали выражение S для того случая, когда притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния и когда притягивающее тело представляет собою эллиптический сфероид, мало отличающийся от сферы. Если сохранить обозначения, примененные в указанном пункте, и ограничиться только членами, содер- [c.263]

При изучении возмущенного движения выгодно рассмотреть как раз эти шесть последних дифференциальных уравнений первого порядка и подставить в них вместо неизвестных х, у, z, х, у, Z при помощи уравнений (50) новые неизвестные I, а, е, i, б, <й. В этом и состоит метод вариации произвольных постоянных. Причина названия сделается очевидной, если представим себе, что при невозмущенном движении, т. е. при отсутствии возмущающей силы Ф, параметры I, а, е, i, в, <Б были бы все постоянными, за исключением лишь первого, который был бы линейной функцией времени. Таким образом, мы приходим к следующему истолкованию этих новых неизвестных по отношению к действительному возмущенному движению они в любой момент дают элементы того гипотетического эллиптического движения точки Р, которое получилось бы, если бы в рассматриваемый момент прекратилось всякое возмущающее влияние, и точка Р, начиная с того состояния движения, которое она имела в этот момент в действительном движении, двигалась бы исключительно под действием ньютонианского притяжения точки А центром О. [c.209]

Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи и - -1 тел, когда любое тело Р подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О, возмущающим притяжениям остальных п — 1 тел Р, Р",... Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки Р будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального. [c.363]

Несколько более общий случай, когда задача интегрируется в эллиптических координатах путем разделения переменных, мы будем иметь, если речь будет идти о материальной точке, которая находится под действием ньютонианского притяжения двумя неподвижными центрами Oj, О и испытывает, кроме того, притяжение, исходящее из центра тяжести точек Oi, О и пропорциональное расстоянию, каков бы ни был при этом множитель пропорциональности. [c.386]

Рассмотрим две точки Pi и Р2 массой mi и m2. Если пренебречь взаимным притяжением этих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки О по коническому сечению. Пусть орбиты точек будут эллиптическими. Тогда для периодов их обращения имеем выражения [c.241]

Притяжение к центру по закону klr . Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального ноля с потенциалом V = — р,/г уравнения интегрируются при п = —2, —1, 1, 2 в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при п = —6, —4, 3, 4, 6 — в эллиптических функциях- (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда п больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально В этом случае имеем [c.314]

Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например. Солнца и планеты) иод действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, г, 0, Uq, Фо ( 18.13), вызванное малым возмущением. [c.510]

Положим [X = р/(а -f р). Значение (х = О соответствует р = О, так что при [X = О задача о движении планетоида становится эквивалентной задаче о движении частицы в поле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. В этом случае периодическое движение, разумеется, существует (во вращающейся системе координат). Существуют, например, эллиптические орбиты (относительно фиксированных осей) с периодом обращения 2л/ш, и, что особенно важно для наших целей, существуют равномерные-круговые движения около центра А (который при (х = О совпадает с G). Спрашивается, существуют ли периодические движения для достаточно малых положительных значений [х [c.613]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Формулы (К ) и (Ь ), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом [c.212]

При взаимном притяжении двух тел отрицательные значения h дают эллиптическое движение, h = Q соответствует параболическому и положительные значения h дают гиперболическое движение, что также согласно с нашими результатами. [c.27]

Подобным же образом Лагранж в первом томе туринских мемуаров, в статье о притяжении к двум неподвижным центрам, доказал основную теорему относительно эллиптических трансцендентностей, составляющую частный случай (п == 2) этого исследования. [c.212]

Здесь в порядке следования записаны сила притяжения материальной точки т Землей сила притяжения ее Солнцем сила инерции, возникающая вследствие движения Земли вокруг Солнца по эллиптической орбите кориолисова сила инерции и центробежная сила инерции. [c.172]

Пусть по эллиптической орбите двигаются две точки шх и гп2 с соответствующими массами, взаимным притяжением которых можно пренебречь. Запишем их периоды обращения [c.411]

Это векторное равенство показывает, что в данном эллиптическом движении на точку действует притягивающая сила, пропорциональная массе точки и ее расстоянию от центра притяжения, находящегося в начале координат, т. е. в центре эллипса ). [c.387]

Здесь К — полный эллиптический интеграл первого рода. Так как Гд= 2я, то при повороте радиуса-вектора на 2п вокруг центра притяжения расстояние до спутника не будет равно исходному. Равенство исходному расстоянию достигается при повороте на угол Tr. Это значит, что траектория, вообще говоря, не является замкнутой, а имеет вид, схематично указанный на рис. 111. [c.402]

Материальная точка под действием силы ньютоновского притяжения к данному центру бросается из одного и того же места в различных направлениях с одинаковой по величине скоростью. Показать, что геометрическим местом центров эллиптических орбит будет окружность. [c.61]

Вот какими формулами выражаются компоненты сил притяжения по осям координат сплошным эллипсоидом внешней точки. Интегралы эти эллиптические, и только в частном случае, когда эллипсоид есть эллипсоид вращения, они обращаются в обыкновенные интегралы. [c.768]

Легко убедиться, что этими же формулами выражаются силы притяжения и в том случае, когда притягиваемая точка находится в теле эллипсоида. Действительно, проведем в этом случае через притягиваемую точку подобный данному эллипсоид, который разобьет его тело на две части — на эллипсоид, на котором будет лежать притягиваемая точка, и на эллиптический слой, по отношению к которому притягиваемая точка будет внутренней. По теореме Ньютона эллиптический слой внутренней точки не притягивает следовательно, притягивает только эллипсоид, на котором лежит точка. Хотя в этом эллипсоиде полуоси будут не те, что в данном наружном, но отношения их будут те же формулы же (6) зависят только от этих [c.768]

Дальнейшее приложение закона площадей к изучению движения солнечной системы. Эллиптическое движение планет есть первое приближение, получающееся при предположении, что на планету действует только притяжение [c.242]

В 1766 году Лагранж переехал в Париж, где был радостно встречен Даламбером, Клеро, Кондорсе и другими. В это время стало известно, что Эйлер оставил пост президента физико-математического класса Берлинской академии и переехал в С.-Петербург. Даламбер предложил кандидатуру Ла-1фанжа, Эйлер горячо ее поддержал, и 6-го ноября 1766года Лагранж переехал в Берлин, где и пробыл до 1787 г. Сборники Берлинской академии в этот период обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике. Именно к этому времени относятся его знаменитое решение задачи Кеплера (ряд Лагранжа), исследования по вопросу о вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, решение задачи о притяжении эллиптического сфероида, создание основ теории возмущений и многие другие. [c.584]

Рассмотрим притяжение эллиптического гомеоида, ограниченного двумя подобными эллипсоидами Е и С, на внутреннюю точку Р с единицей массы (рис. 12). [c.99]

Какой вид примет зависимость между периодами Ti обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями Ui их эллиптических орбит, если учесть движение Солнпа, вызванное притяжением соответствующей планеты [c.395]

Материальная точка А движется по эллиптической траектории с полуосями /д = 5 см н 1у = см под действием силы притяжения F к центру Oi, совпадающему с одним из фокусов эллипса. Определить скорость 1>2 этой точки в положении Лз, если в положении А ее скорость ui = 27 см/с. [c.108]

Движение в поле тяготения Земли. Искусственные спутники и эллиптические траектории. Приложим полученные выше результаты к изучению движения тела в поле тяготения Земли. Будем считать Землю неподвижной, а движущееся тело рассматривать как материальн) ю точку массы т. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать, что для рассматриваемых далее высот полета в первом приближении допустимо. Пусть в начальный момент точка находится в положении Mq на расстоянии R — OMq от центра Земли (рис. 353) и пусть ускорение силы Земного притяжения в точке равно g. Заметим, что под R мы будем понимать любую величину, большую земного радиуса. В случаях, когда точка Mq берется на поверхности Земли, мы будем считать R равным радиусу земного экватора. Rq = 6Ъ78 км и = 0 = 9.81 Mj et . [c.397]

Заметим, что планеты вокруг Солнца движутся также по эллиптическим орбитам, одиако при этом Солнце находится пе в центре эллипса, а в одпом из его фокусов (nepDbiii закон Кеплера), и сила притяжения не пропорциональна удалению, а обратно пропорциональна квадрату его (закон всемирного тяготения Ньютона). При этом уравнения движения планеты значител1лзо сложнее, чем (13.13), [c.245]

Какой вид примет зависимость между периодами Г< обращения планет вокруг Солкца и большими полуосями их эллиптических орбит, если уче ь движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей гланеты [c.395]

Существует еще одна гипотеза о силах притяжения, которая также приводит к эллиптической орбите, а именно — допущение, что сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию но так как это допущение совершенно неприменимо к планетам, то мы на нем дальше не задержимся. По этому вопросу можно посмотреть Prin ipia Ньютона, а также работы, в которых его теории даны в аналитическом изложении. [c.27]

Материальная точка движется под действием прит5,жения к нескольким центрам, причем сила притяжения для всех центров пропорциональна расстоянию. Доказать, что движение точки будет представлять эллиптическое гармоническое движение. [c.89]

Задача двух тел. Пусть солнце S массы М и планета Р массы движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения yMmJr . Движение планеты относительно Солнца происходит так, как если бы Солнце находилось в покое, а планета двигалась с ускорением у М + mi)lr , направленным вдол ь прямой PS. Траекторией в относительном движении планеты будет коническое сечение, в фокусе которого находится Солнце. В 5.4 было дано элементарное решение этой задачи. Б этом и последующем параграфах мы снова рассмотрим относительное движение планеты, на этот раз с позиций теории квазипериодических движений. Мы ограничимся случаем эллиптических орбит, что позволит нам достаточно полно проиллюстрировать различные аспекты теории. [c.347]

Так как тогда их взаимное притяжение сделается бесконечно большим, то они никогда больше не смогут разъединиться таким образом, с. этого времени остается некоторое определенное г . , = О, вместе с этим [1=оо далее, если мы распространим интегрирование на промежуток, заключаюш ий рассматриваемое время, то а вместе с ним и В, будут принимать бесконечно большие значения, каково бы ни было h. Таким образом другие тела солнечной системы долигны были бы удалиться в бесконечность, а вместе с этим должно было бы нарушиться равновесие. Итак, U должно колебаться вокруг—2h и эти колебания заключены между определенными конечными границами. Пример такого поведения дают периодические функции с постоянным членом, равным —2h. Это подтверждается формулами эллиптического движения. В них U— , -2h — (отбрасывая постоянный множитель, [c.27]

При решении этой задачи заметим, что на материальную точ ку действует центральная сила притяжения, величина которо обратно пропорциональна квадрату расстояния точки от притяги ваюшего центра, являющегося одним из фокусов эллиптической орбиты. Определив, как это указывалось выше, большую полуос орбиты а и зная Го, найдем геометрическое место вторых фокусо эллиптических траекторий, являющееся окружностью радиуса [c.250]

Пример 2. Движение тел Солнечной системы в неподвижной системе координат. Пренебрегая притяжением далеких звезд, нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е. считать, что на тела Солнечной системы действуют только внутренние силы. По второму следствию теоремы о движении центра масс центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца, находится в покое или двигается прямолинейно и рав- номерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Веги и называемой апексом. Таким образом, движение планет Солнечной системы является сложным их траектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы, — эллипсы (если пренебречь силами взаимного тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд — пространственнее эллиптические спирали. [c.186]

Чтобы найти, например, таким методом отклонение падающей точки благодаря вращению Земли, мы вводим инерциальную систему отсчета с началом в центре Земли, причем оси этой системы направлены на три неподвижные звезды движение точки относительно этой системы происходит под действием ньютони-анского притяжения к центру Земли, причем известно начальное положение точки и ее начальная скорость Уо = (i + ft) со os ф. Зная силу и начальные условия, находим эллиптическую траекторию у нашей точки, закон движения по этой траектории ) и точку пересечения М2 этой последней с поверхностью земного шара после этого легко найти точные формулы для искомых отклонений точки М2 от точки Mi на Земле, находившейся в начальный момент времени на одной вертикали с точкой Л1 ). [c.121]

Когда точка М будет перемещаться по внутреннему слою, тогда соответственная точка М будет перемещаться по внешнему слою нэ точка М находится внутри внешнего эллиптического слоя, а по теореме Ньютона эллиптический слой внутренней точки не притягивает, отсюда следует заключить, что потенциал t/j внешнего слоя для внутренних точек есть величина постоянная в противном случае производные по координатам от этого потенциала в нуль не обращались бы, и притяжение имело бы место. Если = onst., то и С/= onst., [c.758]

Имеем бесконечно тонкий эллиптический слой и на внешней его поверхности притягиваемую точку М, Еслн бы точка М была внешняя, то направление силы притяжения этого слоя было бы нормально к софокусному эллипсоиду, проведенному через притягиваемую точку, гак как по теореме Айвори софокусный эллипсоид, проходящий через притягиваемую точку, есть поверхность уровня для бесконечно тонкого эллиптического слоя. По мере того, как внешняя притягиваемая точка прибли" жается к внешней поверхности слоя, софокусный эллипсоид также приближается к этой поверхности, и, когда точка вступает на поверхность слоя, софокусный эллипсоид сливается с этой поверхностью, так что внешняя поверхность слоя для точек, на ней [c.760]

Из теоремы Лапласа вытекает одно весьма важное следствие. Пользуясь этой теоремой, можно составить компоненты по осям координат силы притяжения бесконечно тонким эллиптическим слоем точки лежащей на его внешней поверхности. Будем рассматривать слой относительно прямоугольных осей Oxyz (фиг. 471), имеющих Качалов центре эллипсоида. Замечаем, что толщина Е слоя может быть выражена с помощью длины перпендикуляра, опущенного из центра эллипсоида на касательную к нему плоскость в точке М. Проведем через М касательную плоскость к внешней поверхности слоя и опустим из начала координат О перпендикуляр О А на эту плоскость, длину которого назовем через h. Этот перпендикуляр будет лежать в одной плоскости с нормалью так как обе прямые параллельны. Вследствие этого легко убедиться в подобии прямоугольных треугольников ОАМ и N KMf имеющих по равному острому углу. Из их подобия следует соотношение МК MN = ОА ОЖ, откуда [c.761]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...