Виды нелинейных резонансов

Виды нелинейных резонансов [c.115]

Виды нелинейных резонансов 117 [c.117]

Виды нелинейных резонансов 121 [c.121]

Явления нелинейного резонанса и хаотизации движений нелинейного ротатора находят отражение в дифференциальном неавтономном уравнении второго порядка вида [c.17]

Границы стохастических слоев должны иметь очень сложную нерегулярную структуру. Эта структура влияет на форму инвариантных торов в окрестности границы. Поскольку разрушенные торы расположены в фазовом пространстве всюду плотно (как множество рациональных чисел), то инвариантные торы всегда будут испытывать на себе влияние близко лежащих к ним стохастических слоев. Это должно привести к тому, что, вообще, неразрушенные инвариантные торы должны иметь столь сложную форму, что она не может быть представлена в виде аналитических добавок к невозмущенной форме тора. В этом и раскрывается смысл теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых возмущениях. Те аналитические интегралы движения, которые находятся в первом порядке теории возмущений, например, при нелинейном резонансе, являются всего лишь грубым (но практически вполне удовлетворительным) приближением. [c.96]

Пусть N = 2. Нелинейный резонанс между двумя степенями свободы описан в 1.3. Условие резонанса имеет вид (см. формулу (1.3.17)) [c.248]

Модель маятника. Проиллюстрируем описанную выше процедуру на простом примере маятника. Подобный гамильтониан возникает по существу во всех задачах с нелинейными резонансами, и эта модель лежит в основе нашего подхода к нелинейной динамике, рассматриваемой в последующих главах. Уравнения движения маятника имеют вид [c.39]

Тогда понятно,что изолированному резонансу соответствует в 1, а перекрытие резонансов будет при в > 1. Что произойдет в этом случае Из (13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном нелинейном резонансе на фазовой плоскости ш 1), ф подобно поведению электрона в потенциальной яме . Нескольким резонансам соответствует несколько потенциальных ям (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов означает, что происходит такое сближение соседних ям , когда система может переходить из ямы в яму . При таких переходах проявляется новый вид неустойчивости динамических систем — стохастическая неустойчивость (см. гл. 22 и 23). [c.295]

В точках, удовлетворяющих этим условиям, оо, а значения конечны. Физический смысл отмеченных нелинейных резонансов состоит в том, что одна из частот, возникающая из-за нелинейности, совпадает с одной из собственных частот резонатора. Если акустический резонатор имеет высокую механическую добротность, нелинейные эффекты вблизи резонансов при внешнем возбуждении могут проявляться при очень малых амплитудах. Для реальных резонаторов, у которых добротность ограничивается потерями на вязкость и теплопроводность, нелинейные явления зависят, как и в случае бегущих волн, от числа Рейнольдса. В [15] показывается, что в качестве числа Рейнольдса для резонаторов в виде слоя, с одной стороны которого происходит возбуждение, а другая сторона механически свободна, можно взять [c.97]

Для нелинейных систем (в отличие от линейных) неприменим принцип суперпозиции, и поэтому не представляется возможным разделить в результирующем процессе компоненты, вызванные отдельными составляющими внешнего воздействия. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет анализ вынужденных процессов в нелинейных системах даже в консервативном приближении и делает не вполне корректным рассмотрение случая прямого силового воздействия без учета одновременного воздействия на параметры системы. В самом деле, если учесть, что вынужденный периодический процесс, обязанный своим происхождением прямому воздействию, вызывает в свою очередь периодическое изменение параметров нелинейной системы, то становится ясным, что результирующие резонансные явления могут иметь весьма сложный характер. Частотные соотношения, при которых происходят резонансные явления, также будут задаваться условиями нелинейных прямого или параметрического резонансов. Эти обстоятельства не позволяют для нелинейных систем полное разделение двух упомянутых типов резонансных явлений. Поэтому представляется разумным, выделяя случай чисто параметрического резонанса, не противопоставлять ему случай силового, или прямого, резонанса для нелинейной системы. Можно лишь классифицировать виды воздействия, связанные с различными способами внесения энергии в систему, что является определяющим для протекания резонансных явлений. [c.141]

Следовательно, если искать решение уравнения (14.13) в виде y — As n(iit, то возможно получение трех различных амплитуд при одной и той же частоте (о. Возможность возникновения нескольких периодических режимов при одной и той же вынуждающей силе составляет характерную особенность нелинейных систем. На рис. 50, а показана зависимость амплитуды А от частоты со, или амплитудно-частотная характеристика, для случая, когда коэффициент жесткости увеличивается при увеличении силы. Пунктиром показана скелетная кривая — график зависимости между частотой и амплитудой свободных колебаний. Сравнение полученной амплитудно-частотной характеристики с резонансной кривой при линейном упругом звене (см. рис. 48,а) показывает, что нелинейность упругого звена приводит к возникновению колебаний с большой амплитудой при частотах вынуждающей силы, превышающих собственную частоту (затягивание резонанса в область высоких частот). [c.118]

Если jo = 1 ( - е. ji = )), то при описании движения тела в рамках линеаризованных уравнений движения мы получаем, что отклонение тела от его равновесного положения = О неограниченно возрастает со временем, так как уравнение (41) имеет частное решение вида (36) при и = jo, а = 2). При нелинейной трактовке задачи о движении твердого тела при резонансе ситуация иная. В самом деле, пусть в начальный момент = О, ф = 0. Тогда (с погрешностью, порядок которой не ниже чем е ) и R = при t = 0. Следовательно, в интеграле % = h постоянная h равна нулю и во все время движения [c.512]

Практическим методом расчета многомассовых нелинейных систем с указанным выше видом характеристики нелинейного соединения посвящена работа В. Я- Натан-зона, в которой исследуется муфта без ограничителей, в то время как ограничители имеются во всех существующих муфтах и они являются элементом, существенно влияющим на характер развития колебаний, и, в частности, определяющим максимальные амплитуды при прохождении через резонанс. [c.227]

Приближенное решение системы нелинейных уравнений (1), описывающее вынул<денные колебания, получено для стационарных режимов движения в области резонанса и имеет следующий вид [c.80]

Приближенное решение системы нелинейных уравнений (5), которое описывает стационарные режимы параметрических колебаний в области основного параметрического резонанса, получено в следующем виде [c.87]

Аналогичный анализ, выполненный для резонансных соотношений вида Xj = = 2о) (/ = 1,2,. .., 6), приводит к выводу, что в условиях таких резонансов нелинейные колебания не могут возбудиться, решение (44) остается устойчивым. [c.278]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Если 7 = 0 (ф1( X, u, й) — р 1, z) + (a + Pu)u, т. e. имеет лишь квадратичную нелинейность) и нет резонанса между частотами (1) и V, тогда усредненная система (145), (146) принимает вид [c.169]

С помощью нелинейной нормализующей замены переменных (ps it>s)- (r фа) функции //j и /Д (185), (186) можно значительно упростить. В случае отсутствия резонансов вида (160) до четвертого порядка включительно нормальные формы имеют вид [c.235]

Как видно из изложенного, несмотря на большое количество лабора-торно-вычислительных работ, многие важные темы механики оказались еще не охваченными. Поэтому в настоящее время да кафедре продолжается работа по улучшению и усовершенствованию практикума. Прежде всего имеется в виду расширить темы нелинейных колебаний и устойчивости ввести главы, посвященные электромеханическим системам, влиянию неидеальных источников энергии, движению при наличии случайных воздействий [3]. Большое внимание уделяется дальнейшему созданию собственно лабораторных работ, сопровождающихся проверкой теоретического материала ча действующих установках. Для наглядности полученных результатов и для полноты теоретических сведений большое значение имеет практикум на моделирующих машинах, где решаются задачи из самых различных областей механики типа решения дифференциального уравнения третьего порядка, определения зон устойчивости и неустойчивости при параметрическом резонансе, построения амплитудно-частотной характеристики механической или электромеханической системы, нахождения предельного цикла автоколебаний, вычисления критической эйлеровой нагрузки и т.п. [c.61]

Глава посвящена нелинейному анализу движения асимметричных тел в окрестности резонанса. Ограничения на компоненты угловой скорости и величину пространственного угла атаки не накладываются. Исследование резонансных режимов движения тела при спуске в атмосфере сводится, во-первых, к приведению исходных нелинейных уравнений движения к стандартной двухчастотной форме для общего случая собственного вращения во-вторых, к анализу возможных видов резонансов в-третьих, к изучению условий прохода и захвата в резонанс, в-четвёртых, к исследованию устойчивости резонансных режимов. [c.109]

Другая особенность вынужденных нелинейных колебаний заключается в появлении резонанса на комбинационных частотах. Это можно видеть из того, что в решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний благодаря наличию нелинейных членов войдут высшие гармоники с частотами, примерно равными по)о- Рассматривая среднюю мощность вносимую в систему с помощью этих гармоник, т. е. подставляя в интеграл (7.24) не 81п(о)о/ + 0), а з1п(по)о + 0п), придем к выводу о возможности резонанса на частоте, примерно равной пшо- В общем слу- [c.321]

В книге рассматривается в нелинейной постановке движение вращающегося твердого тела в атмосфере под действием синусоидального или бигар-монического восстанавливающего момента, зависящего от времени, и малых возмущающих моментов. Приведены факторы, определяющие возмущения, в виде медленно меняющихся параметров и параметров малой асимметрии. Даны аналитические решения уравнений невозмущенного движения в эллиптических функциях Якоби. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела и в ряде частных случаев найдены приближенные аналитические решения. Для случая возмущенного движения асимметричного тела найдены новые виды нелинейных резонансов, исследована устойчивость возмущенного движения в окрестности резонансов. Рассмотрена задача идентификации характеристик высокочастотного движения тела по сравнительно малому числу измерений. [c.1]

При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра [.i, при которых возможны резонансы первога (ляпуновское условие существования периодического движения), второго (порождающие точки для параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие резонансы можно записать следующим образом [c.217]

Когда ограничение амплитуды осуществляется за счет нелинейного сопротивления при постоянных средних значениях реактивных параметров, форма кривых параметрического резонанса имеет вид, показанный на рис. 4.2]. Здесь характерна симметрия кривой параметрического резонанса и отсутствие неустойчивых ветвей и скачкообразных изменений амплитуды при монотонном изменении расстройки. По-прежнему в качестве оспопного признака параметрического резонанса остается существование конечного инзервала [c.162]

При наличии тех же условий более точные данные получаются из опытов с вынужденными колебаниями, особенно в резонансных условиях. Здесь легче отделяется влияние других видов трения, исследуется их нелинейность, получаются более надежные и легко повторимые замкнутые петли гистерезиса при больших деформациях (вплоть до захода в пластическую зону), а при очень малых трение оценивается все же по измерениям самих деформаций, а не их малых разностей, более высшего порядка в методе затухающих колебаний. Искомые силы трения могут также измеряться в резонансных условиях и по величинам сил возбуждения, при возможности контроля близости к резонансам еще и путем оценки фаз колебаний. Фазы, силы и перемещения дают возможность определения рассеяния, а измерения мощности возбуждения могут дать еще дополнительные источники контрольных самостоятельных определений. Мало используемыми преимуществами являются возможности изучения промежуточных петель гистерезиса при нолигармоническом возбуждении и измерение выделяемого тепла, [c.87]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Количеств, характеристикой дп-фотонного процесса может служить вероятность соответствующего лг-фо-тонного перехода Для вынужденных М. п. в поло монохроматич. потоков излучения с частотами со,, й) ,. .., 01 вероятность можно представить в виде К т = ЛfnП n2...nJn, где П1,112,. .., n — плотности числа фотонов с соответствующими энергиями йо)2,. .., Йсот- Т. о., скорость вынужденных М. п. является нелинейной ф-цией интенсивности падающего поля. Константа Л зависит от вида энергетич. спектра поглощения вещества, типа М. п., частоты и поляризации падающего излучения. Если, напр., к.-л. из частот возбуждающего излучения или их комбинация оказывается близкой к частоте перехода из начального в промежуточное квантовое состояние, то величина а следовательно, и вероятность резонансным образом возрастают. При этом резко возрастает и скорость соответствующих ступенчатых процессов. Т. о., наличие промежуточных резонансов ведёт к одноврем. проявлению многофотонныл и ступенчатых процессов. Такая ситуация имеет место, напр., в случае резонансной флуоресценции, резонансного комбинац. рассеяния, резонансной многофотонной ионизации и т. д. [c.167]

Когерентная нелинейная спектроскопия нестационарных процессов включает спектроскопию оптических нутаций, спектроскопию затухания свободной поляризации я оптич. эхо-спектроскопию. Эти виды Н. с.— аналоги нестационарных вариантов спектроскопии ядерного магн. резонанса. С их помощью получают информацию об уединённых оптич. резонансах в обычных спектрах, либо скрытую неоднородным уширееием спектральных линий, либо вовсе не проявляющуюся в линейных спектрах (рис. 4). Когерентные переходные процессы возникают при ступенчатом изменении [c.307]

Нелинейные явления при ферромагнитном резонансе. Ур-ние движения намагниченности (1) нелинейно, и при достаточно больших амплитудах перем. магн. поля возникают многочисл. нелинейные явления. Они подразделяются на два вида одномодовые и обусловленные нелинейной связью между разл. типами колебаний (модами). Явления первого вида обусловлены прежде всего тем, что, как следует из ур-ния (1), длина вектора М сохраняется, т. е. конец его при колебаниях движется по поверхности сферы. При этом проекция намагниченности на направление [c.309]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Для систем с малой вынуждающей силой амплитуды колебаний вдали от резонанса малы, вследствие чего S (Й) ж Я (Й) и вид вырал<ения для амплитуды несущественен. Поэтому нелинейные эффекты, сопровол<дающиеся дал<е немалым изменением частоты, в системах с малым трением и малой вынул<дающей силой можно изучить, имея только резонансное решение. [c.198]

И. Пригожин [3,4] представил нелинейную динамику эволюции сложных систем в виде бифуркационной диаграммы (рис. 1.2), связывая точки бифуркаций с реализацией резонанса степеней свободы по Пуанкаре. Этот эффект возникает в результате нарушения пространственно-временной симметрии структуры, являющейся источником информации о достижении неустойчивого равновесия системы. При переходе через неустойчивость в неравновесных условиях формируется новая структура взамен старой, неспособной далее сохранять устойчивость симметрии системы к внешнему воздействию. Эти представления оказали огромное влияние на понимание механизмов нелинейной динамики эволюции сложных систем живой и неживой природы и представлены в виде ветвящегося дерева. Н.Н. Моисеев [1], описывая эволюцию сложных систем в неживой природе, выделил тенденцию к разрушению развития хаоса в процессе эволюции (к повышению энтропии), которой противостоит закон сохранения и принцип минимума диссипации энергии. Это принцип позволяет включить более экономичные механизмы дис ипации энергии, способствующие возникновению структур понижающих накопление энтропии [1]. Этот механизм можно проиллюстрировать на примере адаптации структуры материала при переходе от од- [c.17]

Первый вид искажений наблюдается в громкоговорителях (см. разд. 6), второй — в системах записи звука (см, разд. 9). Автопараметрический резонанс выражается в появлении субгармоник, т. е колебаний с частотами, кратными дробной величине частоты основного дсолеба-ния. Характер этих искажений сходен со звучанием Нелинейных искажений на низких частотах. Детонация сигнала выражается в изменении частоты вторичного сигнала по отношению к частоте первичного. Эти искажения прослушиваются и в виде плавания частоты сигнала, а при быстрых изменениях — в виде хрипов и дребезжания. [c.274]

Размеры микрофона невелики диаметр 23 мм, толщина 11 мм. Этот микрофон размещают только в ближней зоне источника звука на расстоянии 2—2,5 см от рта говорящего. Располагать микрофон необходимо сбоку от рабочей оси рта, так как иначе при произнесении взрывных звуков речи из-за завихрений, образующихся около микрофона, возникают значительные нелинейные искажения в виде хрипов. Характеристика акустической чувствительности этого микрофона, полученная с учетом реакции его на градиент давления и близости к источнику звука, имеет равномерный участок до частоты 1000 Гц и небольшой подъем выше этой частоты, т. е. мало отличается от характеристики электромагнитного микрофона приемника давления. Остальные характеристики у приемника градиента давления такие же, как у приемника давления. Резонанс механической системы у него выбирают также на частотах около 2500 Гц и также с помощью акустической коррекции получают равномерную частотную характеристику в диапазоне да 3500 Гц и даже до 5000 Гц. Нижняя граница передаваемого частотного диапазона находится около 250— 300 Гц. Неравномерность частотной характеристики (по отношению к тенденции 6 дБ/окт) не превышает 6 дБ (см. рис. 5.206). Уровень чувствительности находится около —60 дБ. Так как этот микрофон имеет высокую шумосгойкость (см. 5.2), то его используют для работы в шумах высокого уровня (до ПО—115 дБ) и называют дифференциальным электромагнитным шумостойким микрофоном (ДЭМШ). Микрофон — приемник градиента давления второго порядка — составлен из [c.112]

Здесь г . — угол тангажа, а т]1 и т]2 — углы, линейные комбинации которых дают углы крена и рысканья. Знак минус соответствует колебаниям в области необходимых условий устойчивости. Будем искать решения нелинейных уравнений в малой окрестности резонанса в таком же виде, только величины г, Рг будем считать медленно меня-юпхимися функциями времени. [c.49]

Надо иметь в виду, что, хотя нелинейная восприимчивость максимальна при наличии точных резонансов на частотах ш, 2ш, наличие точных резонансов приводит к возникновению ряда других процессов, конкуренция с которыми может уменьшать эффективность реализации искомого процесса. В качестве конкретного примера можно указать па процесс однофотоппого возбуждения, возникающий при частоте ш = шю (рнс. 2), Учет ро-пи конкурирующих процессов представляет собой независимую задачу, которая требует как качественного решення в общем 10 147 [c.147]

Уравнения (29) описывают движение в адиабатическом приближении [8]. Траектории системы (29) называются адиабатическими траекториями. В адиабатическом приближении Iu,v = onst. Это приближение становится неприменимым в окрестностях резонансных поверхностей в фазовом пространстве, где выполняется условие резонанса = О ки, ку — целые числа, и 0). В точной (неусредненной) системе переменные / хорошо сохраняются в большой области фазового пространства (вдали от резонансных поверхностей, соответствующих резонансам низкого порядка). Вблизи резонансной поверхности какого-либо резонанса система (27) может быть приведена к стандартному виду системы типа нелинейного маятника, аналогичной (8). [c.182]

Уравнение (55) - это не что иное как уравнение матеиатичео-кого иаятника, детально исследованного в первой разделе (сдвигом угловой переиенной на 90° оно приводится к стандартному виду). Следовательно, частота Лщ- это частота малых колебаний в таком маятнике. Она зависит от номера т, так как соответствует т- иу резонансу нелинейной системы с внешним периодическим возмущением. [c.91]

Задача устойчивости в критическом случае п пар чисто мнимых корней (без присоединенной системы) при условии отсутствия внутреннего резонанса исследована А. М. Молчановым (1961) по первым нелинейным формам преобразованной к специальному виду ( модельная система ) исходной системы уравнений возмущенного движения. Он установил теорему, согласно которой невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если для модельной системы все нейтральные и неустойчивые лучи лежат вне положительного конуса % (р >0). Лучами автор называет особенные направления укороченной системы лучи соответственно устойчивы, нейтральны или неустойчивы, в зависимости от движения по лучу изображающей точки (к началу координат, неподвижна или уходит от начала координат). Кроме того, доказано, что если для модельной системы хотя бы один неустойчивый луч находится внутри положительного конуса X (р >0), то невозмущенное движение неустойчиво. В случае, когда внутри положительного конуса к (р >0) находится хотя бы один нейтральный луч, рассмотрением модельной системы вопрос б устойчивости не рептется. [c.58]

Рассмотрим теперь один из важных для теории колебаний вопрос — проблему исследования резонансных явлений. Этот термин объединяет различные задачи, отличающиеся наличием целочисленных соотношений между основными частотами, характеризующими движение. Для расчета таких явлений разработано много разных метбдов, некоторые из этих методов связаны с идеей осреднения. Многие из работ, упоминавшихся выше, относятся к этой теме как в общетеоретическом ее плане, так и в приложениях ). Не ставя целью обзор всех имеющихся в этой области направлений и работ, рассмотрим некоторые существенные проблемы общего характера, относящиеся к исследованию резонансов. Весьма широкий класс колебательных нелинейных систем описывается такого рода уравнениями, что их можно свести к системе уравнений вида [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...