Фундаментальные сингулярные решения

Отправной точкой любого варианта МГЭ является осознание того, что фактически для всех классических уравнений механики сплошных сред в нашем распоряжении имеются решения, отвечающие единичным возмущениям, приложенным во внутренних точках однородной неограниченной области. Это так называемые единичные (фундаментальные) сингулярные решения, или функции Грина для неограниченных областей, или пространственные функции Грина и т. д. МГЭ позволяет объединить такие решения посредством использования принципа суперпозиции в высокоэффективную вычислительную схему большой гибкости. [c.27]

Наша функция G, являющаяся решением уравнения (2.21), в точности совпадает с заданной выше уравнением (2.5а) при ф = = 1 (т. е. фундаментальным сингулярным решением основного дифференциального уравнения) таким образом, [c.42]

Фундаментальные сингулярные решения [c.101]

Фундаментальные сингулярные решения уравнений теории упругости играют такую же важную роль в алгоритмах МГЭ, как и их аналоги в рассмотренных ранее задачах о потенциальном течении. Классическим результатом, составляющим основу всего последующего анализа, является решение, которое определяет поле смещений Ui(x) при действии единичной сосредоточенной силы б]( ) в упругом теле. В условиях плоской деформации [31 [c.101]

Фундаментальное сингулярное решение [c.127]

Фундаментальное сингулярное решение для нагрузки, действую-ющей в направлении оси лсг и распределенной с единичной интенсивностью по оси Хз, дает следуюш ие компоненты напряжений и смеш ений в плоскости (х , лса) [c.128]

Фундаментальное сингулярное решение для потенциала р х) эквивалентного изотропного тела с проводимостью в точке л ,, обусловленного действием единичного источника интенсивности е(1) в точке I, можно записать в виде [c.144]

Фундаментальное сингулярное решение, обусловленное действием в точке Q осесимметричного источника интенсивности е, можно записать в виде (рис. 5.6) [c.151]

Необходимые для дальнейшего анализа фундаментальные сингулярные решения могут быть получены преобразованием решения, соответствующего общему трехмерному случаю, рассмотренному в 6.2, к цилиндрической системе координат (см. разд. 5.5,2) и [c.177]

Несмотря на то что все МГЭ имеют общее происхождение, их принято делить на три различных, но очень тесно связанных между собой варианта [19] прямой, когда неизвестные функции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными, имеющими физический смысл переменными задачи полупрямой, когда интегральные уравнения записаны относительно неизвестных функций, после получения которых простое дифференцирование дает искомые реальные физические величины непрямой вариант МГЭ, когда интегральное уравнение полностью выражается через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области. Сами по себе эти функции не имеют физического смысла, но когда они найдены, решение всюду внутри области может быть получено из них интегрированием. [c.49]

Чтобы проиллюстрировать свойства сингулярных решений и технику их интегрирования, мы, насколько это возможно, нашли в конечном виде интегралы от этих фундаментальных решений по линейным элементам и треугольным ячейкам. Соответствуюш,ие выкладки, как может показаться на первый взгляд, являются не более чем скучными упражнениями, однако вычисление подобных вспомогательных интегралов (безразлично как — численными или аналитическими методами) является неотъемлемой частью рассмотренных методов и определяет в конечном счете их точность и эффективность. Каждый из этих интегралов, безусловно, может быть найден численно, а для самых общих процедур, в которых используются криволинейные элементы, численные квадратуры становятся уже совершенно неизбежными. [c.98]

Различие между физическими и математическими формулировками техники граничных элементов можно пояснить, напомнив, что в любой краевой задаче некоторые граничные параметры заданы как условия на границе, тогда как прочие отыскиваются при решении задачи в целом. В физическом подходе, как подчеркнуто выше, вначале отыскиваются сингулярности, которые удовлетворяют заданным граничным условиям, и только затем через эти сингулярные решения вычисляются остальные граничные параметры. Поскольку неизвестные граничные параметры не определяются непосредственно, эта процедура носит название непрямого метода граничных элементов. В математическом подходе промежуточный этап исключается благодаря использованию некоторых фундаментальных интегральных теорем, что ведет к системе алгебраических уравнений, непосредственно связывающей неизвестные граничные параметры с параметрами, заданными на каждом элементе контура. Соответственно эта процедура называется прямым методом граничных элементов. [c.14]

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ [c.97]

Ha основе анализа полученных выражений можно сделать вывод, что задача нахождения фундаментальных и сингулярных решений, т. е. оригиналов изображений (2,6), (2.11), (2.i4) и (2.15), будет решена, если удастся найти оригиналы изображений (2.7), (2.8). Оригиналы остальных функций, фигурирующих в (2.6), [c.165]

Полученные выражения позволяют вычислить фундаментальные решения (с помощью формулы (2.39)) и найти оригиналы сингулярных решений (2.11) и (2.15). [c.174]

Фундаментальные и сингулярные решения для однородной изотропной среды [c.184]

Потенциалы строятся, как обычно, с помощью фундаментальных или других сингулярных решений соответствующих дифференциальных уравнений. [c.65]

Несмотря на то, что рассматриваемые дифференциальные уравнения принадлежат различным каноническим типам, а некоторые не принадлежат ни одному из классических типов, во всех случаях основную роль будут играть фундаментальные и другие сингулярные решения уравнений эллиптического типа характерной особенностью таких решений является наличие [c.65]

Уравнение статики. С помощью фундаментальных решений можно образовать новые сингулярные решения тех же уравнений, играющие большую роль в теории граничных задач. [c.75]

Фундаментальные и другие сингулярные решения выражены в явном виде и в элементарных функциях этот факт имеет немаловажное значение. [c.83]

С учетом предельных значений потенциалов, рассмотренных в 1.4, а также результатов дифференцирования фундаментального решения изгиба пластины (см. 1.3) выпишем сингулярные интегральные уравнения, из решения которых определяются компенсирующие нагрузки (с), w( ) для различных граничных условий. При этом предельные значения потенциалов берутся в области 0"(см. 1.4). [c.23]

По методу компенсирующих нагрузок решение системы уравнений (1.6.1) ищется в виде (1.6.3). Компенсирующие нагрузки Ф,( ), Ф2(С) определяются из решения системы граничных интегральных уравнений, которые получаются при подстановке (1.6.3) в граничные условия (1.6.5) — (1.6.6) на контуре Г. Будем считать, что контур Г —кусочно-гладкий класса Л, или (см. 1.4). С учетом предельных значений потенциалов, рассмотренных в 1.4, а также результатов дифференцирования матрицы фундаментальных решений (см. 1.7) выпишем сингулярные интегральные уравнения, из решения которых определяются компенсирующие [c.32]

В настоящем параграфе рассматривается применение метода компенсирующих нагрузок для расчета ортотропных пластин сложной формы. Ядра системы сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится решение задачи, выражаются через фундаментальное решение и его производные. Фундаментальное решение для изгиба ортотропной пластины получено в работах [38, 39]. Однако применение данных решений из-за имеющихся в них неточностей приводит к неверным результатам. В связи с этим здесь дается вывод фундаментального решения ортотропной пластины. Приведены интегральные уравнения, описывающие изгиб ортотропной пластины и результаты решения некоторых задач. [c.51]

Сингулярные интегральные уравнения основных задач об изгибе бесконечной пластины с криволинейными разрезами можно построить аналогично соответствующим плоским задачам. Нил<е предложен иной, более общий прием, в котором используется фундаментальное решение (функция Грина) бигармонического уравнения. Такой подход в дальнейшем будет применен при решении задач об-упругом равновесии пологих оболочек с трещинами. [c.249]

Уравнения (6.1) — (6.7) дают нам все компоненты сингулярного или фундаментального решения и их производные, что позволяет в принципе решить лк ую трехмерную задачу теории упругости для изотропного тела. [c.163]

Уравнения (6.48) — (6.52) дают нам все необходимые компоненты сингулярного фундаментального решения. [c.179]

Решение, которое нам требуется, т. е. сингулярное фундаментальное решение динамических уравнений теории упругости, представляет собой решение для безграничной среды, в точке которой приложена объемная сила с постоянным направлением но с зависящей от времени величиной f(t). Таким образом, нам требуется решение динамических уравнений для объемной силы вида [c.288]

Томлин использовал приведенное выше фундаментальное сингулярное решение в непрямом МГЭ в предположении, что искомые функции постоянны вдоль каждого элемента при решении ряда задач для ортотропной среды две из этих задач описаны в 4.8. [c.129]

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ нспользуется то обстоятельство, что для большинства уравнений в часпгых производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечаюш,ие единичным возмущаюш им воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде [c.62]

Фундаментальные решения уравнения (3.1), составляющие основу всего последующего анализа, представляют собой значения потенциала р х) в произвольной точке наблюдения обусловленные единичным источником интенсивности < ( ), помещенным в точку приложения нагрузки Хотя начала координат систем I и Xi совпадают, за каждой из них совершенР10 необходимо сохранить ее специальное назначение. Таким образом, классическое сингулярное решение может быть записано в виде [c.56]

Фундаментальное сингулярное аналитическое решение задачи о нагрузке, действующей вдоль прямой в безграничном ортотроп-ном упругом пространстве, получил Томлин [4]. Если использовать это решение, а не его аналог для простого изотропного случая для получения функций ядра при построении соотношений МГЭ, то можно решать двумерные задачи и для ортотропной, и для трансверсально изотропной среды. Единственное необходимое изменение в процедуре решения, описанной выше в этой главе, заключается в том, что новое сингулярное решение должно использоваться для вычисления элементов всех матриц F, G и т. д. [c.127]

Следовательно, вычисление матрицы сингулярных решений Т(х,у) и ядер Dijm x,y), S jm(x, у) сводится к вычислению первых и вторых производных матрицы фундаментальных решений 0(х). [c.39]

Задача нахождения матрицы фундаментальных решений для вязкоупругой среды сводится, как было показано выше, к уравнению (1.16), где матричный оператор A Vx,t) определен тождест вом (1.3). После нахождения фундаментальных решений сингулярные решения определяются по формуле (1.23). [c.138]

Поскольку матрица фундаментальных решений известпа, то для нахождения матрицы сингулярных решений достаточно вос-лользоваться формулой (3.5). [c.191]

На ос1Юве классической теории Кирхгофа — Лява в главах VIII и IX изучены задачи об изгибе пластин и пологих оболочек, ослабленных криволинейными треш инами. При использовании фундаментальных решений разрешающих уравнений теории изгиба пластин и пологих оболочек получены сингулярные интегральные уравнения рассматриваемых задач. [c.6]

К сингулярным интегральным уравнениям (IX.74) и (IX.77) в общем случае геометрии оболочки и формы разрезов могут быть применены методы численного решения, xopoujo развитые в плоской задаче теории упругости для тел с трещинами (см. параграф 2 главы II). Дополнительные трудности возникают при вычисле1П1и фундаментального решения Ф (х, у) и его производных, через которые выражаются ядра уравнений. В дальнейшем на примерах кругового отверстия, прямолинейной и дугообразной треид.ин будет рассмотрен асимптотический метод решения уравнений (IX.74) при малых значениях параметра Я, характеризующего пологость обо лочки. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...