Задача 9. Упругие колебания

ЗАДАЧА № 9 УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ [c.107]

ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШИХСЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЯ 9 [c.91]

Расчёт амплитуды вертикальных колебаний. Амплитуда колебаний фундамента и шабота молота обычно определяется в предположении, что шабот и фундамент представляют абсолютно твёрдые тела, а подшаботная прокладка и грунт идеально упруги, без инерционных свойств. При этих предположениях изучение колебаний молота и фундамента сводится к решению задачи о свободных колебаниях системы с двумя степенями свободы (фиг. 9), которой сообщается заданная начальная скорость движения. [c.543]

Исследуем свободные установившиеся гармонические колебания упругой слоистой композитной тонкостенной конической усеченной оболочки, структура армирования слоев которой не зависит от угловой координаты. В основу анализа положим уравнения (8.1.1) — (8.1.9) динамики конической оболочки. Из этих уравнений получим дифференциальные уравнения задачи о собственных колебаниях (см. [43, 100, 144, 289]), опуская в них нелинейные слагаемые, принимая составляющие внешних поверхностных и контурных нагрузок равными нулю и выполняя преобразование ы — частотный параметр) [c.244]

Задача 9.63. Диск, подвешенный на упругой проволоке, совершает крутильные колебания. Нижнее шероховатое основание диска соприкасается с неподвижной горизонтальной плоскостью (рис.). При этом возникает сила трения. Наибольшее значение момента силы трения относительно [c.272]

Задача 9.67. Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, ось которой проходит через центр масс твердого тела, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента т где/(f) — одно- [c.280]

Задача 9,115. На рисунке изображен виброграф — прибор для измерения колебаний. Виброграф состоит из тонкого однородного стержня ОА длиной 21 и массой Му, к верхнему концу которого прикреплен груз А (точечная масса) массой Mi. Стержень ОА может колебаться около горизонтальной оси Z, перпендикулярной плоскости рисунка, под действием двух пружин винтовой с коэффициентом упругости i и спиральной с коэффициентом упругости Сг- В вертикальном положении равновесия стержня обе пружины не деформированы ОВ = З/2/. [c.381]

Рассмотренная выше задача о параметрических колебаниях упругой мембраны в переменном электрическом поле является в определенном смысле двойственной проблеме механического возбуждения электрического тока. Показано [9], что посредством периодического изменения емкости удается возбудить электрические колебания большой амплитуды в контуре. [c.52]

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ С ВНУТРЕННИЙ НЕУПРУГИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Как отмечалось раньше, исследо вания колебаний упругих систем с внутренним сопротивлением, принимаемым за главное или доминирующее сопротивление , в пределах линейной теории связаны с решительными упрощениями представлений о его природе и источниках, упрощениями, во многих случаях значительно снижающими ценность количественных результатов расчета, на этих представлениях основанного. В обширной литературе, посвященной исследованиям внутреннего сопротивления, имеются многочисленные рекомендации по поводу способов его учета, предлагаемые большей частью в виде формул, выражающих зависимость сил внутреннего сопротивления от величин деформаций, их скорости, от характера и способа нагружения и других обстоятельств . Как правило, эти формулы имеют в виду более или менее точное описание внешних проявлений внутреннего сопротивления, а не раскрытие сущности механизма их возникновения, который до сих пор остается невыясненным. Мы отметим только те из этих формул, использование которых допустимо по тем или иным соображениям в линейных задачах. [c.304]

Задача 307. Диск, подвешенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания. При этом нижнее основание диска соприкасается с неподвижной горизонтальной плоскостью (см. рисунок). Наибольшее значение момента силы трения нижнего основания диска о неподвижную плоскость равно /И1р =10 кг-см. Упругий момент проволоки пропорционален ее углу закручивания 9, т. е. т ——С9, где с — коэффициент упругости проволоки — величина упругого момента, необходимого для закручивания проволоки на 1 рад с — = 50 кг-см. В начальный момент диск повернут на угол, равный ] рад и отпущен без начальной скорости. [c.230]

Система уравнений (6.7.2) позволяет решать динамические задачи как установившегося, так и переходных режимов движения агрегата, изучать колебания, влияние упругости звеньев и демпфирующих свойств в системе [9-121- [c.498]

Мы обсудим здесь две задачи [6.9]. Вначале предположим, что вдоль случайно-неоднородной системы движется нагрузка, и остановимся на принципиальном для практики вопросе о резонансных колебаниях системы в процессе излучения. Затем учтем инерционность движущегося объекта и покажем, что в системе движущийся объект-случайно-неоднородная упругая система возможен стохастический параметрический резонанс. Данные задачи не являются классическими для работ по переходному излучению, но здесь как раз и предпринята попытка подчеркнуть специфику излучения в механических системах и по возможности уйти от повторения того, что сделано в электродинамике и акустике [6.16, 6.28 . [c.271]

Из изложенного в п. 5.1.4 следует, что исследование резонансных свойств системы упругий нагруженный массами стержень — полуограниченная среда сводится к согласованному решению краевой задачи (5.1.9), (5.1.10) и краевой задачи о колебании полуограниченной среды, на поверхности которой должны выполняться условия (5.1.11) и (5.1.12). [c.157]

Сформулировать задачи, аналогичные задачам III и IV классической теории (см. I, 14 п. 1) для уравнения установившихся колебаний моментной упругости, и доказать для них теоремы единственности. [c.122]

Эта задача здесь служит примером применения общих уравнений (9.31). Рассматриваются изгибные колебания вращающегося упругого, нерастяжимого стержня (лопатки). Конец О стержня заделан во вращающееся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Ог колесо [c.482]

Колебания вращаюш.егося упругого стержня. Эта задача рассмотрена в п. 9.10. Конец О упругого. однородного стержня постоянного сечения заделан во вращающееся вокруг неподвижной оси Ог с постоянной угловой скоростью со колесо радиуса / . Другой конец стержня а = 1 свободен. Требуется составить, считая [c.680]

Используя значения упругих постоянных для керамики ВаТЮз, полученные при решении задачи 4-5, сделайте приблизительный расчет частотных постоянных для продольных и толщинных колебаний, а также для радиальных колебаний диска. [c.306]

Задача. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой смещения 0,04 м. При смещении 0,03 м сила упругости равна 9-10 Н. Определить потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие данному смещению, и полную энергию маятника. [c.295]

Анализ размерностей. В качестве примера возьмем случай упругой модели, обтекаемой потоком жидкости. Специалист прежде всего попытается интуитивно выявить, какие физические параметры могут иметь важное значение в данной задаче. Чтобы этот пример оставался совсем простым, предположим, что в качестве параметров, имеюш,их важное значение, выбраны только плотность жидкости р, скорость жидкости и, размер модели О и собственная частота колебаний модели п. Тогда в соответствии с необходимостью соблюдения размерной однородности уравнения, описывающего любое физическое явление, можно записать, что сила Р, вызванная действием потока жидкости на модель, зависит от р, II, О я п [c.252]

Другие динамические теории слоистых пластин, основанные на соотношениях теории упругости и развитые применительно к задачам динамики пластин с изотропными слоями, а также к задачам о распространении волн в трехслойных и двухслойных пластинах, представлены в работах Коббла [51], Арменакаса и Кекка [9], Скотта [129]. В заключение отметим работы Джонса [81, 82], в которых на основе уравнений теории упругости получены точные решения задач о свободных колебаниях ортогонально-армированных и несоосно-армированных слоистых пластин. Эти решения интересны, а также могут быть использованы для оценки точности приближенных теорий типа теории Миндлина. [c.197]

Основные свойства упругих колебаний высокой частоты или ультразвуковых колебаний, как известно, описываются теми же закономерностями, что и свойства колебаний звукового диапазона. В частности, это касается условий распространения упругих волн в сплошной изотропной среде, обладающей упругими свойствами. Однако ультразвуковые колебания могут быть примен1 ны для решения ряда новых задач. Примером может служить исследование изменения различных характеристик жидких и твердых тел в зависимости от скорости распространения ультразвука и коэффициента затухания с помощью импульсно-фазового компенсационного метода приборами типа УЗИХ, разработанных Н. И. Бражниковым [9], [10]. Погрешность измерений скорости ультразвука такими приборами составляет 0,007 и 0,003% на частотах соответственно 1 и [c.291]

В настоящем разделе вопросы подобия и моделирования аэро-упругих колебаний рассматриваются применительно к задачам флаттера крыла и автоколебаний обишвки панелей несущих поверхностей в потоке газа. С физической картиной автоколебаний типа флаттера можно ознакомиться на примере дискретной механической модели с двумя степенями свободы [9]. [c.194]

В качестве второй тестовой задачи рассмотрим задачу о нестационарных колебаниях упругого шара при действии на его поверхности равномерно распределенной нагрузки, интенсивность которой изменялась во времени по закону, изображенному на рис. 9.3.2. Коэффициент Пуассона для материала шара был принят равным Граничноэлементная сетка строилась таким же [c.247]

Задача 9.U3. Груз массой М, лежащий посередине упругой балки, совершает свободные колебания. Сила упругости балки пропорциональна ее прогабу и направлена по вертикали. Проекция этой силы на вертикальную ось X равна F . где Д - прогиб балки в ее середине, а с - коэф- [c.379]

Таким образом, если известны собственные решения задачи о свободных колебаниях пластины (4.7.8), (4.7.9), а также значения /С , решение (и, ф) задачи о вынужденных колебаниях представляется выражениями (4.7.10) и (4.7.11), в которых Л = 0, С2 — О, С1 определяется формулой (4.7.12), а ВР — формулой (4.7.18). Отметим, что в решении не учитывалась какая-либо определенная поляризация упругих колебаний и. Это означает, что приведенное решение справедливо для пьезоэлектрического кристалла с любой ориентацией по отношению к п и с любым кристаллическим сечением вдоль верхней и нижней поверхностей кристалла. Однако некоторые колебания, например сдвиговые, могут возбуждаться тольио в определенных сечениях (см. 4.13). [c.243]

Задача, которая не была решена в работах Зомме])фельда и которую необходимо было решить для дальнейшего развития теории, заключалась в вычислении I — среднего свободного пробега электронов в процессе рассеяния на колебаниях решетки. Вначале Хаустои [7J пошел, по суш,еству, по пути В гна, предположив, что /1 изменяется пропорционально среднему квадрату амплитуды колебаний атомов. При этом он получил тот же результат р (7"/Ь) для Т > в и для Т с Н. Однако вскоре Хау-стон [8] и Блох [9] выяснили новые важные особенности процесса рассеяния. Оказалось, что акт рассеяния электроЕ1а колебаниями решетки, имеющими частоту V, может произойти только в том случае, если колебания решетки и электрон проводимости обменяются квантом энергии v. Таким образом, рассеяние )лектронов существенно неупруго, хотя при высоких температурах, когда кТ > Av, т. е. когда Т > О, его можно рассматривать как упругое, так как в этом случае обмен энергии сравнительно мал. Отсюда непосредствено следует, что при абсолютно.м нуле сопротивление, вызванное тепловыми колебаниями, должно исчезнуть, так как и электроны и решетка при понижении температуры быстро приходят в низшие энергетические состояния. Иными словами, нулевые колебания решетки не могут быть причиной появления сопротивления первоначально этот вывод вызывал некоторое сомнение. [c.160]

В тех случаях, когда между деталями существует слабая упругая связь, такое выделение зубчатой пары с заменой динамической х<есткости упругой связи ее статической х<есткостью не приводит к заметным погрешностям [9, 13]. Однако отнесе-ние упругой связи к слабой требует полного изучения всей динамической модели редуктора. Поэтому целесообразно применять геометрическую интерпретацию колебаний зубчатой пары, поскольку анализ аналитического решения задачи о колебаниях дах<е простейшего переборного редуктора чрезвычайно затруднителен и приводит к сложным зависимостям. [c.93]

Рассмотрим применение метода статистических испытаний при исследовании случайных колебаний многомассовой системы (рис. 3.9) при движении по дороге со случайными неровностями (проведено А. И. Котовым и Ю. Ю. Олешко). Одним из возможных путей снижения ускорений и ударов, действующих на транспортируемые грузы, является вторичная амортизация, т. е. введение в систему груз — транспортное средство дополнительных упругих элементов и демпферов (амортизационных узлов). Основным внешним воздействием для наземных транспортных средств является кинематическое возмущение со стороны дороги, имеющее случайный характер (высота Н и длина волны дорожных неровностей X — случайные функции). В случае неустановившегося движения для решения задачи о выборе параметров вторичной амортизации нельзя использовать спектральную теорию под-рессоривания, так как требуется определить вероятность пробоя системы амортизации, что можно сделать только, зная законы распределения перемещений. Получить законы распределения выходных величин можно решением соответствующего данной многомерной задаче уравнения Колмогорова, что сделать для системы со многими степенями свободы очень сложно. Кроме того, при решении уравнения Колмогорова получается многомерный закон распределения вектора состояния системы, который менее удобен при решении ряда задач (определение вероятности достижения заданной границы и т. д.), чем одномерные законы распределения компонент вектора состояния, получаемые методом статистических испытаний. [c.101]

ДЛЯ рассеивания энергии необходимо относительное перемещение отдельных частей тела в этом случае прецессия вызывает периодически ускоренное движение всех частиц космического аппарата, за исключением центра масс. Устанавливая маятниковый механизм,систему с демпфирующей пружиной и массой-наконечником или диск, имеющие отличные от космического аппарата прецессионные характеристики (рис. 27), можно получить в результате две раз- личные динамические системы, перемещающиеся относительно друг друга на демпфирование относительного движения расходуется нежелательный избыток энергии. Наиболее распространенным демпфирующим устройством маятникого типа является расположенная по внешней стороне спутника изогнутая труба с движущимся внутри шаром собственная частота колебаний шара в трубе будет пропорциональна угловой скорости спутника, а вся система будет настроена на условия оптимального рассеивания энергии в широком диапазоне угловых скоростей спутника. Рассеивание энергии происходит за счет ударов, трения или гистерезиса. Иногда в подобном устройстве вместо шара используют ртуть—элемент с упругими и инерционными свойствами. Аналогичного эффекта можно добиться с помощью маятника, если подвеску его инерционной массы выполнить из упругого материала или поместить массу в вязкую среду [4, 9]. Маятник иногда располагают вдоль оси вращения на некотором расстоянии от центра масс с тем, чтобы усилить относительные перемещения, создаваемые прецессионными колебаниями (по сравнению с вариантом, когда тот же самый маятник располагается радиально от центра масс). Для демпфирования можно использовать также диск, помещенный в вязкую среду, поскольку отношения моментов инерции относительно соответствующих осей диска и космического аппарата различны. Аналогичную задачу мог бы выполнить элемент, установленный внутри спутника и вращающийся во много раз быстрее, чем сам спутник (такой элемент можно отнести к гироскопам). В принципе этот метод не отличается от предыдущих в том смысле, что он так-же основан на различии динамических характеристик указанного устройства и космического аппарата и на различии в частотах прецессии. Возникающее при этом относительное перемещение можно ограничить с помощью вязкой среды. [c.224]

Поскольку такая пластинка имеет разрыв материала, обусловленный узкой трещиной, динамическое поведение пластинки будет давать различные по отношению к сплошной пластинке собственные частоты и формы колебаний, а также и распределение напряжений при изгибе. До настоящего времени информация по динамическому поведению таких пластинок отсутствует, поскольку большинство работ посвящено исследованию статической концентрации напряжений у вершины трещины при нагружении пластинки в ее плоскости [1, 2, 3]. Недавно рядом исследователей обсуждались стати-, ческие изгибные характеристики пластинок. В, 1960 г. Ноулс и Ванг [4] исследовали статический изгиб упругой пластинки, содержащей трещину. Позднее Уильямс [5], Редвуд [6], Сих и др. [7, 8] также исследовали аналогичную задачу. Однако практически не имеется работ, посвященных исследованию колебаний пластинок с трещинами, за исключением, пожалуй, работы Солески [9], применившего метод Фурье в исследо вании колебаний пластинки с шарнирно опертой трещиной, однако этот метод оказался непригодным в случае пластинок со свободными трещинаь 1и. [c.132]

Задача 2.9. Под двигатель В (рис. 2.16) требуется подвести фундамент. Нёобходимо определить такую толщину кладки а, чтобы коэффициент динамичности не превышал единицы для всех частот вынужденных колебаний, передаваемых от двигателя фундаменту. Сопротивление грунта можно схематизировать как реакцию упругих сил F и вязких сил R, вызванных внутренними силами сопротивления. Отнесенные к единице площади фундамента, коэффициенты жесткости и вязкости соответственно равны с=2000 Т/м и 7 = 60 Т -сек/лА. Плотность фундамента р = 0,25 Т -сек 1м . [c.63]

Применение уравнений трехмерной теории упругости к исследованию устойчивости упругих тел с учетом изменения их граничных поверхностей было предложено А.Ю. Ишлинским и Л.С. Лейбензоном [5, 6]. В трехмерной линеаризованной постановке в работах А. П. Гузя и его учеников [2, 7, 8, 9] были получены решения задач устойчивости анизотропных элементов конструкций, которые послужили основой для оценки точности различных прикладных теорий, использующихся в расчетной практике. Оказалось, что теория оболочек, в которой деформации поперечного сдвига учитываются в соответствии с гипотезой Тимошенко, позволяет находить критические нагрузки с незначительной погрешностью. Эта оценка относится и к таким интегральным характеристикам, как низшие частоты свободных колебаний оболочки из КМ. В то же время решение уравнений теории оболочек типа Тимошенко менее трудоемко, чем уравнений теории упругости, особенно в случае оболочек сложной геометрии. Такими, в частности, являются цилиндрические оболочки с волнообразной срединной поверхностью, которые при большом количестве волн принято называть гофрированными. Устойчивость последних рассматривалась в работах [10, 11] путем замены их эквивалентными ортотропными. Хотя экспериментальные данные обнаруживали более высокую эффективность гофрированных оболочек [10], приближенное дискретное решение не подтвердило возможности увеличения критических нагрузок за счет придания профилю поперечного сечения волнообразного характера. Недостатков приближенного подхода удалось избежать в работах [12-14], где устойчивость гофрированных оболочек рассматривалась с учетом изменяемости геометрических параметров по направляющей. Из проведенных авторами этих работ исследований вытекает, что при равновозможности общей и локальной форм потери [c.105]

Как упоминалось ранее, теоретически возможно решать любую задачу о колебаниях или о распространении напряжений в упругом теле, если к уравнениям (2.8), (2.9), (2.10) предыдущей главы присоединить соответствующие граничные условия. Однако практически точные решения не получены даже в простейшем случае колебаний цилиндра конечной длины, хотя в этом частном случае можно построить решения, которые дают результаты, очень близкие к истине, когда длина цилиндра велика по сравнению с его диаметром. Эта задача была впервые исследована на основе обших уравнений упругости Похгаммером [111] и независимо от него Кри [17, 18] ). [c.58]

Бидерман В. Л., Применение метода Ритца к решению задачи продольного изгиба в больших перемещениях, Труды кафедры Сопротивление материалов Московского высшего технического училища им. Баумана. Раздел 3. Колебания, устойчивость и равновесие упругих стержней, 1947. [c.832]

ПФ fom И ИПФ Worn, предполагаемые известными при решении систем уравнений (8.16) и (8.19), следует находить предварительно из решения контактной задачи о действии гармонической либо импульсивной нагрузки на невесомый штамп, лежащий на упругом основании, которое моделирует грунт, В результате решения такой задачи, кроме fom (со) и Wom(i), ДОЛЖНЫ быть также определены контактные напряжения (Jo(x, у, (о) и Оо х, у, t) соответственно при единичной гармонической и импульсивной нагрузках на невесомый штамп. Некоторые точные решения контактных задач приведены в разд. 9. Приближенные выражения для [ош(<о) и Wom(t) при вертикальных колебаниях, а также соответствующие функции при горизонтальных и вращательных колебаниях штампа приведены ниже. [c.117]

В качестве примера реализации алгоритма рассмотрим решение температурной задачи для резинового диска с размерами 0=170 мм 0 = = 120 мм В = 40 мм п= 17 мм толщина 1 = 22 мм, число пальцев 2 = 6. Режим нагружения средний вращающий момент Тв = 80 Н м амплитудный момент Гва = 50 Н-м частота колебаний к = 1300 кол/мин частота вращения п = 0. Диск изготовлен из резины с коэффициентом теплопроводности Я = 0,457 Вт/(м-К) и коэффициентом демпфирования г = 0,31 модуль упругости Е = 9 МПа. Коэффициент трения в зоне контакта пальца с диском / = 0,6 коэффициент конвективности теплоотдачи с поверхности диска Н1 = к2 = кз = 9 Вт/(м -с) приведенный коэффициент конвективной теплоотдачи Нир = 87 Вт/(м -с). [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...