Решение некоторых модельных задач

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ [c.31]

Угловое распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Решение ряда модельных задач позволило сделать вывод о том, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и ударных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, существенно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной). [c.161]

Кроме аналитических методов при решении задач теории упругости для композитов могут успешно применяться численные методы. Один из таких методов был описан в 8 предыдущей главы. В этой главе на некоторых модельных задачах волокнистых композитов показана эффективность применения других методов метода конечных элементов метода, основанного на использовании матрицы А. А. Ильюшина. [c.195]

Мы уделим внимание некоторым вопросам создания моделей таких сред на примерах аэрогидродинамических задач, фундаментом которых служат теоретические положения, развитые в предыдущих главах. В частности, рассмотрены примеры задач, связанные с моделированием состава, динамики и теплового режима тех областей верхней атмосферы Земли, которые формируются под воздействием процессов турбулентного перемешивания. Сами эти примеры носят, по необходимости, ограниченный характер, что обусловлено сложностью изучаемых явлений. Тем не менее, они позволяют составить вполне определенные представления о специфике подходов к решению соответствующих модельных задач, в целом отражающих достигнутый уровень в области прикладной аэрономии. [c.235]

Ниже рассмотрены некоторые модельные задачи о контактном взаимодействии двух тел (контактные задачи), решения которых могут быть применены для анализа напряженного состояния тел как на микроуровне (контакт неровностей), так и на макроуровне (взаимодействие зубьев шестерен, шариковых и роликовых подшипников и т.п.). [c.32]

Результаты, полученные при решении модельной краевой задачи (7.4.1), (7.4.2), позволяют предполагать, что во всех случаях, когда в уравнении некоторой краевой задачи имеется малый параметр при старшей производной, решение этой краевой задачи быстро изменяется в тонком ю-граничном слое, толщина которого пропорциональна значению малого параметра. [c.372]

И, наконец, рассмотрим третью модельную задачу — задачу об образовании трехлучевой звезды. На рис. 5.74-5.76 приведены некоторые результаты решения задачи для отверстия, имеюш,его в момент образования форму трехлучевой звезды, одна из вершин которой ле- [c.379]

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих пожар, может быть получено лишь для некоторых частных случаев [7]. В общем случае система решается численными методами с использованием ЭВМ. В работе [6] приводится пример расчета для помещения кубической формы с геометрическим я параметрами 2й=10 м, У=1000 м р1=р2=р0=4 м , У1=0, У2=2Ь. в данной модельной задаче предполагались известными [c.398]

Хорошо известно, что задачи с начальными и граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных очень трудны для решения общим методом. Некоторые частные задачи анализировались от случая к случаю методами, пригодными лишь для этих задач. Нелинейные волны, о которых сейчас пойдет речь, описываются нелинейными уравнениями в частных производных. В данной главе мы ограничимся изучением некоторых простых модельных уравнений нелинейных волн, которые привлекали значительное внимание в течение последних лет десяти. Это поможет нам сравнительно легко понять роль таких факторов, как нелинейность, диссипация и дисперсия, в пространственно-временной эволюции некоторого процесса. В этом фактически и заключается главная цель настоящей монографии. В соответствии с этим намерением мы предпримем сравнительное изучение двух классов уравнений линейных (класс ) и нелинейных (класс II) уравнений. [c.29]

Основные соотношения, полученные для эллиптической орбиты при рассмотрении задачи двух тел, можно применять при анализе движения летательного аппарата вблизи поверхности Земли. Если в модельной задаче пренебречь влиянием атмосферы, то траектория движения аппарата будет совпадать с частью эллиптической орбиты, которая расположена над поверхностью сферической Земли. Указанная постановка существенно упрощает решение задач внешней баллистики, связанных с изучением свободного движения аппарата после сообщения ему некоторой начальной скорости. Конечные формулы, посредством которых описывается модельное движение, легко проанализировать в общем виде. Вместе с тем такая модель позволяет выявить основные качественные и количественные соотношения истинного движения аппарата с учетом воздействия атмосферы. [c.66]

Прежде чем приступить к решению той или иной задачи выбирается физическая модель, т.е. четко оговаривается, из каких представлений об изучаемом объекте исходят в данном исследовании. В соответствии с принятой моделью записываются математические соотношения, являющиеся выражением физических законов или определением физических величин, необходимые и достаточные для решения задачи. Затем проводятся математические выкладки, строгие или приближенные, и физический анализ полученных результатов. Упомянем некоторые модельные представления, используемые в общем курсе физики модели материальной точки и абсолютно твердого тела в механике, модель идеального газа в молекулярной физике, модели квазиупругих диполей и молекулярных токов в электромагнетизме, планетарная и квантовая модели атома в атомной физике и т.д. Одна и та же физическая проблема может быть исследована в рамках различных моделей. Более грубая модель часто не в состоянии объяснить все стороны рассматриваемого явления, зато более проста в обращении. Так, например, классическая модель идеального газа, в которой молекулы рассматриваются как частицы, подчиняющиеся ньютоновской механике, позволяет без труда получить уравнение состояния, но приводит к неверной зависимости теплоемкости от температуры. Для решения этой проблемы приходится использовать квантовую модель атома и квантовую статистику. [c.14]

В 1955 г. С. К. Годунов предложил оригинальную схему,, основанную на интересной физической идее. В основу метода Годунова положена известная задача о распаде произвольного разрыва. Предположим, что при t= nx решение является кусочно-постоянной функцией, точки разрыва которой совпадают с узлами сетки. Решая в окрестности каждой узловой точки задачу о распаде произвольного разрыва, нри t=(n- - )x получают некоторые распределения всех величин, отличные, вообще говоря, от кусочно-постоянных. Осредняя эти распределения по расчетным интервалам, вновь получают кусочно-постоянное решение и продолжают расчет. Схема Годунова обеспечивает автоматическое выполнение законов сохранения (в случае одномерного течения с плоской симметрией). Для модельного уравнения (6.5) она сводится к уже описанной схеме уголок . Детально схема Годунова приведена в 6.2. [c.159]

Попытки учета коллективных взаимодействий путем использования методов статистической физики [64, 65] наталкиваются на технические трудности, связанные с большой размерностью задачи. В результате удалось получить асимптотические решения кинетического уравнения коагуляции для некоторых частных модельных условий. Использование численных методов и ЭВМ также не позволяет существенно продвинуться в направлении решения реальных задач [64]. [c.38]

На простейшем модельном примере изложим подход к решению задач для тел, имеюш,их периодическую структуру своих механических и геометрических свойств, когда характер приложения внешних воздействий не носит периодического характера, и приведем некоторые типичные результаты исследования таких задач. Статическая задача такого типа для кольца уже рассматривалась в п. 3.3.3. Здесь предлагается другой подход. [c.224]

Выражения (5Д.2) и (5Д.З) для гамильтонианов взаимодействия являются достаточно общими, но они слишком сложны, чтобы с их помощью можно было заметно продвинуться в решении задачи о квантовой диффузии. Поэтому обычно используются упрощенные модельные гамильтонианы. В так называемой модели Кондона не учитывается зависимость амплитуды туннелирования от колебаний решетки и движения электронов, т. е. в гамильтонианах и оставляются только члены с rii = Хотя некоторые интересные явления в квантовой диффузии не описываются а рамках этого приближения [112], мы не будем усложнять задачу и ограничимся моделью Кондона. [c.413]

Выше все операции над рядами выполнялись формально, так как их сходимость не доказана. По-видимому, как и для модельного уравнения, ряды сходятся лишь для некоторого специального класса задач. Однако для линейного уравнения Больцмана для молекул с достаточно быстро убывающим потенциалом с конечным радиусом взаимодействия (s 5) удается доказать, что оборванный ряд дает асимптотическое решение уравнения Больцмана при е—>0 ). [c.142]

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можнО решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому чтО он дает возможность получить решение в аналитическом виде [c.172]

Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения (11.20) для функции распределения молекул, падающих на границу. Даже для простейших граничных условий А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В - выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения (7.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов существования и единственности решений полезно свести граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модельных уравнений, описанных в разд. 9. [c.250]

Для линеаризованного уравнения в упомянутых выше работах Г. Гре-да и А. А. Арсеньева доказана асимптотическая сходимость ряда (1.4) при О к решению уравнения Больцмана во внутренних точках течения (т. е. при i/ -> оо) для задачи с начальными условиями в безграничной области. Для полного нелинейного уравнения и для задач с граничными условиями аналогичные доказательства отсутствуют. Лишь некоторые качественные указания на асимптотическую сходимость ряда (1.4) во-внутренних точках течения для этих задач можно извлечь из анализа, проведенного для нелинейного модельного уравнения (см., например,. [c.425]

Исследовал плоские движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластинок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для [c.23]

Этот метод предусматривает два этапа решения поставленной задачи. На первом этапе производится физический анализ полученных модельных профилей 5(Я), выделение некоторых промежуточных слоев атмосферы, характеризующихся однотипным (по виду кривой) распределением газа по высоте, и выбор для каждого из слоев соответствующей аналитической функции. На втором этапе с помощью специально разработанного алгоритма, учитывающего разнородность данных по высоте и их различную точность, осуществляется оптимальная оценка параметров найденной функции, которая обеспечивает наилучшую аппроксимацию вертикального профиля S(H) до высоты 50—60 км. [c.169]

Совокупность функций gl r) иногда называют базисной системой функции. Основное требование, которое к ним предъявляется, это условие взаимной линейной независимости. Выбор базисной системы функций может определяться самыми различными условиями. По всей видимости, одним из распространенных способов выбора подходящей совокупности является построение системы собственных функций оператора К К, о котором выше уже шла речь. Хотя эта система и является в некотором смысле оптимальной среди возможных других систем, ее численное построение весьма сложно и практически не всегда оправдано. В связи с этим ниже в качестве модельного распределения (г, 8) будем выбирать многочлены Бернштейна, которые во многих задачах конструктивной теории функций являются эффективным инструментом аналитического исследования [17]. Приложение этого аппарата к решению обратных задач светорассеяния дисперсными средами ранее было дано в работе [2]. В этом подходе каждой функции, в том числе и искомому распределению 5(г), где ге[/ 1,/ 2 в соответствие многочлен т-й степени вида [c.126]

С точки зрения построения математической модели процессов термомеханического нагружения растущих тел основной интерес представляет случай непрерывного наращивания. Это связано с тем, что такие процессы, как, например, температурное напыление керамики или намотка тонких слоев и нитей на оправку, осуществляются путем присоединения бесконечно малых масс материала за каждый бесконечно малый промежуток времени. Кроме того, некоторые процессы дискретного наращивания, например послойное намоноличивание гидротехнических сооружений с помощью технологии укатанного бетона, допускают аппроксимадаю соответствующим непрерьшным процессом. Актуальность исследования процессов непрерывного наращивания определяется также тем обстоятельством, что при математическом моделировании таких процессов возникают постановки задач, принципиально отличающиеся от задач механики тел постоянного состава. Теоретический анализ указанного круга задач составляет предмет механики растущих тел, основные представления которой изложены в монографии 1] (там же приведены постановки и решения некоторых модельных задач, а также дополнительная библиография). [c.191]

Как соотносится ГТД с физической теорией дифракции [61] По-видимому, ее во многих отношениях следует рассматривать как предшественника, предтечу ГТД. В физической теории дифракции использованы некоторые основные понятия ГТД — понятие краевых волн, многократной дифракции и г. п. Однако развитие ГТД за последние годы, и, в том числе, постановка и решения новых модельных задач, привело к существенному расширению, по срав(неиию с ФТД, используемой системы образов и к уточнению алгоритмов расчета. [c.9]

Как и раньше мы не будем обсуждать механизм образования у носика треш,ины микропор и других микродефектов, так как это на наш взгляд задача материаловедения. Рассмотрим просто ряд модельных задач (достаточно не тривиальных при конечных деформациях), которые можно сформулировать и решить в рамках теории многократного наложения больших деформаций, используя ранее изложенный алгоритм рассмотрения задач прочности. Отметим, что результаты решения этих задач дают некоторое качественное предварительное представление о напряженно-деформированном состоянии вблизи носика треш,ины (в рамках принятой модели) в случае возникновения эффекта треш,иноватости. [c.367]

С.Г. Карнишин [1987], используя W-метод Азбелева [Азбелев и др., 1991], рассмотрел ЧУ-задачу для уравнений с абстрактным оператором Вольтерры. Отметим, что суть fT-метода состоит в выборе некоторого модельного уравнения с такими свойствами решений, которые желательно обнаружить у исследуемого уравнения. Цель метода достигается, если удается установить обратимость оператора, связанного с оператором Коши модельного уравнения. [c.263]

Мы рассмотрели модельные задачи. Можно получить решения в квадратурах ряда других, не менее важных задач, получающихся путем комбинаций предыдущих, а также задач для полупространства, для бесконечного слоя, полуслоя и т. д. и различных углов с граничными условиями основных задач термоупругости. Некоторые из этих задач рассмотрены в 5. [c.622]

В учебном пособии излагаются теории переноса монохроматического излучения и изх чения в спектральной линии. Подробно рассматривается аналитическая теория, включая точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. Дгсется представление о некоторых распространенных численных методах. [c.2]

В книге излагается теория переноса монохроматического излучения, изотропного и анизотропного (глава 2), и излз ения в спектральной линии с полным или частичным перераспределением по частоте (глава 4). Геометрия рассеивающих сред предполагается плоской. Рассматриваются бесконечная и полубесконечная среды, а также плоский конечный слой. Подробно излагается аналитическая теория, в том числе точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. В отдельную главу 3 выделен резольвентный метод, позволяющий найти точные выражения для основных функций, характеризующих поля излучения, и асимптотики этих функций. Дается представление о некоторых распространенных численных методах, В последней главе 5 рассматриваются задачи об определении интегральных характеристик полей излучения, таких как среднее число рассеяний, о рассеянии в молекулярных полосах, с частичным перераспределением по частоте, а также с учетом поляризации и движения рассеивающей среды. [c.9]

В этом параграфе рассмотрены модельные задачи Т. Штерна [24], Б. Гарфинкеля [25] и К. Акснеса [26], которые дают приближенные решения проблемы о движении спутника с учетом сжатия Земли. Эти решения определяют некоторые промежуточные орбиты, которые более близки к истинной орбите спутника, чем кеплеровская орбита, и могут рассматриваться как невозмущенные при построении полной теории движения спутника. Поскольку здесь вводятся формулы, которые аппроксимируют только первые два члена потенциала притяжения Земли, то для силовой функции V можно принять следующее упрощенное выражение [c.577]

Задачи с особенностями. Гели начальные данные ( ) в задаче Коши не являются непрерывными, то в сколь угодно малой окрестности момента f = О в решении могут появиться особенности, характер и поведение которых зависят от структуры функций (1). Разрывные начальные данные могут порождать движение с сильными разрывами -- ударными волнами или контактными разрывами. К этому приводят залачи о взаимодействиях различных движений газа между собой или с внешними телами (например, задача о воздействии ударной волны на твердое тело). Сюда же относятся модельные задачи о последствиях сосредоточенных воздействий на газ, когда в некоторых точках, на линиях или поверхностях задаются интегральные характеристики движения газа — поток массы (расход), сосредоточенный импульс или мгновенно выделившаяся энергия (например задача о сильном взрыве). Особенностью является также поведение параметров движения газа в бесконечно удален[юй точке пространства й (х) или при I оо. [c.73]

Перечислим некоторые другие вопросы, возникающие при использовании приведенных в 1.2 постулатов ГТД, Как вычисляется краевая (дифракционная) волна в окрестностях границ свет—тень для падающего и отраженного полей, где коэффициент дифракции обращается в бесконечность Последовательность краевых волн, сумма которых образует решение, является бесконеч-ной. При каких условиях можно оборвать эту последовательность, образуя приближенное решение Насколько строг изложенный алгоритм Какова погрешность рас 1ета каждого дифракционного поля Имеет ли смысл рассматривать всю последовательность отражений, преломлений и дифракций, если в каждом звене расчета допускается ошибка Насколько должны быть схожи геометрии рассматриваемой и модельной задач Имеются ли возможности увеличить точность расчета по сравнению с изложенным алгоритмом [c.30]

Из анализа, проведенного в разд. 1.1, следует, чго выбираемое в качестве V пространсгво должно обладать следующими свойствами во-первых, оно должно быть полным, а во-вторых, таким, чтобы выражение J (V) было корректно для всех V (У— пространство конечной энергии ) Этим требованиям удовлетворяют пространства Соболева В разд. 1.2 после краткого упоминания некоторых из свойств Э1их пространств (другие свойства будут по мере необходимости введены в последующих разделах) мы рассматриваем характерные примеры абстрактных задач из разд. 1.1, таких, как задача о мембране, задача о закрепленной пластине и решение системы уравнений линейной теории упругости (последний пример значительно более важен), Действи ельно, хотя на протяжении этой книги нам часто будет удобно работать с более простыми на вид задачами, описанными в начале разд. 1 2, не следует забывать, чго они являются весьма удобными модельными задачами для системы линейной теории упругости. [c.14]

Таким образом, смешанные методы дают одновременную аппроксимацию решений обеих основной и Двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в получении производных от решения основной задачи (например, V для модельной задачи второго порядка), то терлшнология смешанный метод может быть также более общо использована для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируются неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, дается Дж, Оденом, подробно изучивншм такие методы. См. Оден [1, 41, Оден, Ли [1], Оден, Редди [2], [3, разд. 8.10], [5], Редди [1], Редди, Оден [1], Бабушка, Оден, Ли [1]. [c.404]

Упрощенные уравнения можно рассматривать как некоторые модельные уравнения, не являющиеся универсальными, вид которых должен мотивироваться с ещ1фикой конкретного класса задач. Область их применимости оказывается достаточно ограниченной в частности, она не включает в себя такой важный вид течений, как отрывные течения с протяженными зонами возвратных потоков. Это, однако, не исключает возможности их широкого использования для решения многих практических задач. [c.175]

Мы привели здесь решение очень простой модельной задачи занятости, чтобы продемонстрировать, как вообш е можно решать такие задачи. Нетрудно придумать большое количество моделей такого рода с более реалистическими предположениями. В частности, можно исследовать миграционные процессы во взаимодействуюш их системах с различными принципами ограничения доходов или задачи с пространственным распределением доходов, суш ественные для изучения региональной экономики, что может представлять значительный интерес для изучения реальных миграционных процессов. Для нас в этой книге важно было лишь показать принципиальную возможность постановки и решения некоторого интересного класса экономических задач. [c.57]

В некоторых упрощенных гипотетических задачах оказывается возможным для заданного движения трещины найти аналитическое решение, определяющее динамические коэффициенты интенсивности напряжений. Подобные аналитические решения также попадают в категорию модельного генерирования характеристик. Однако аналитические методы ограничены изучением бесконечных или полубесконечных тел. Несмотря на то что влияние конечных размеров тела на коэффициенты интенсивности напряжений хорошо изучено в статических задачах разрушения, дело обстоит по-иному в динамике разрушения, во всяком случае так было до недавнего времени. В [49] было получено полезное по-луаналитическое (приближенное) решение, определяющее динамический коэффициент интенсивности напряжений центральной трещины, развивающейся в пластине конечных размеров. Для проверки справедливости этого полуаналитического решения было проведено численное исследование. Геометрия образца представлена на рис. 11. Трещина стартует при начальной длине Qq = 0.1W и развивается с постоянной скоростью. Приложенная нагрузка о от времени не зависит. Полуаналитическое решение этой задачи [49] определяется уравнениями [c.305]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Третье направление в решении задач о работе многослойных покрытий и жестких слоев усиления при воздействии эксплуатационных нагрузок отличается тем, что в нем по возможности упрощаются модельные предпосылки для описания работы слоев (несущие слои представляются классическими пластинками Кирхгофа-Лява, а для разделительных прослоек предлагаются другие упрощенные модели). Центр тяжести исследований в этом сл ае перемещается в сторону реального объекта, то есть нахождения решений задач, учитывающих максимально возможное количество конструктивных особенностей покрытий. Это направление развивали в нашей стране такие ученые, как А.П. Синицын, Ю.Н. Жемочкин, О.Н. Тоцкий и В.А. Кульчицкий со своими учениками [148, 228, 252]. В рамках этого подхода проводят исследования и некоторые зарубежные ученые. [c.31]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Эту задачу можно решить численно для максвелловских моле кул и точно для всех рассмотренных до сих пор модельных уравнений (нужна только полнота во всем пространстве). Некоторые из этих решений были вычислены Ранганатаном и Ипом [24]. [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...