Равновесие механических систе точками

Используя эту трактовку, можно констатировать, что для равновесия механических систем в инерциальных координатах необходимо равенство нулю начальных скоростей точек системы и уравновешенность сил на нее действующих. [c.113]

Рассмотрим еще одно понятие, применяемое в аналитической механике для исследования движений и равновесия механических систем, — понятие об элементарной работе силы, приложенной к материальной точке на возможном перемещении, или понятие об элементарной возможной работе силы [c.328]

Рассмотренные здесь два принципа ТСП являются двумя основными законами природы, которым подчиняются все явления передачи и преобразования энергии. Инженер чаще всего знаком с одним общим законом — законом сохранения энергии или как он называется в ТСП — первым принципом. С законом равновесия он сталкивается только при рассмотрении равновесия механических систем и поэтому не придает этому закону общности закона сохранения энергии. На самом деле оба закона с точки зрения общности совершенно равноценны. Явление передачи энергии и ее преобразования описываются не одним, а именно двумя зако- [c.20]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Вывод условий равновесия свободной и несвободной материальной точки, а также условий равновесия твердого тела, которые мы получили ранее, основывался на рассмотрении систем сил и чисто геометрических соотношений между ними. Для несвободного твердого тела при наложенных идеальных связях нам удавалось специальным выбором осей координат приводить число условий равновесия к числу степеней свободы, исключая из соотношений равновесия силы реакции связей. Для механических систем точек можно установить общий принцип, благодаря которому реакции идеальных связей будут полностью исключаться при установлении условий равновесия. Этот принцип называется принципом виртуальных перемещений. [c.325]

Уравнения и условия равновесия несвободной механической системы точек. Рассмотрим механическую систему точек, на которую наложено к стационарных, идеальных и удерживающих связей вида [c.334]

При рассмотрении многих вопросов движения и равновесия механических систем возможна дискретная идеализация, т. е. идеализация, при которой механическое состояние рассматриваемой системы определяется конечным числом величин. В этом случае систему называют дискретной. К дискретным системам, например, относятся системы, состоящие из конечного числа материальных точек и абсолютно жестких тел. [c.9]

А. Пуанкаре при разработке основ теории бифуркации равновесий механических систем, находящихся под действием сил, производных от силовой функции, зависящей от параметра. Теоремы Пуанкаре о числе реальных ветвей кривой равновесий, проходящих через точку бифуркации, и о законе смены устойчивости были обобщены Н. Г. Четаевым [c.34]

Механика делится обычно на три основных раздела — статику, кинематику и дина мику. Статика есть отдел механики, посвящённый изучению условий равновесия механических систем. Кинематика занимается изучением движения механических систем с геометрической точки зрения, независимо от сил, действующих на эти системы. Предметом динамики является установление и изучение связи между движением механических систем и действующими на них силами. [c.357]

По характеру решаемых задач механику делят на кинематику, динамику и статику. В кинематике изучаются чисто геометрические свойства механических движений без учета причин, которыми обусловлено то или иное движение. Кинематика, по существу, является геометрическим языком классической механики. Динамика представляет собой раздел механики, в котором механическое движение тел изучается в отношении его причин и следствий. Статика, изучающая условия равновесия механических систем, является частным случаем динамики, В настоящей книге основное внимание уделено рассмотрению динамических задач классической механики и изложению методов их решения. [c.7]

Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, содержит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным ы неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма -элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е. [c.387]

Предварительные замечания. В элементарной статике были выведены необходимые и достаточные условия равновесия абсолютно твердого тела. Для всякой иной системы материальных точек эти условия, согласно принципу отвердевания, будут только необходимы, но недостаточны. Определение достаточных условий равновесия механической системы методами элементарной статики требует, как мы видели на частных примерах, рассмотрения условий равновесия каждого из твердых тел (или точек), входящих в систему. Расчет при этом существенно усложняется необходимостью вводить большое число новых неизвестных — реакций внутренних связей. [c.272]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Все рассмотренные выше примеры механических систем объединяет то, что активная сила стремится вернуть систему к положению равновесия. Изучим теперь движение под действием отталкивающей силы, описываемое следующим дифференциальным уравнением [c.224]

В механике рассматривают движение н равновесие под действием сил отдельных материальных точек и механических систем, представляющих собой совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Механические системы делятся на геометрически неизменяемые и геометрически изменяемые. [c.18]

Рассмотрим некоторые простейшие свойства внутренних сил, действующих на всю механическую систему в любом ее состоянии. Докажем, что главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны ну.гю при любом состоянии системы, т. е. при ее равновесии и при произвольном движении. [c.253]

Варианты механических систем представлены на рис. 79—84. Шкивы и катки считаем абсолютно жесткими, нити — нерастяжимыми. Проскальзывание катков в точках опоры отсутствует. Нить в точке В пропущена через кольцо пренебрежимо малых размеров. Трение в кольце и осях шкивов не учитываем. Груз / точечный, груз 4 движется поступательно. Активными силами являются заданные вес и момент М, определяемый из условия равновесия системы. [c.127]

Флуктуации. После достижения равновесия в изолированной системе ее энтропия, считает Больцман, может незначительно отклоняться — флуктуировать — от своего максимального значения. Опираясь на флуктуационные представления, он предлагает первое научное решение проблемы тепловой смерти Вселенной Если представить себе Вселенную как механическую систему, состоящую из громадного числа составных частей и с громадной продолжительностью существования, так что размеры нашей системы неподвижных звезд ничтожны по сравнению с протяженностью Вселенной, и времена, которые мы называем эрами, ничтожны по сравнению с длительностью ее существования. Тогда во Вселенной, которая в общем везде находится в тепловом равновесии, т. е. мертва, то тут, то там должны существовать сравнительно небольшие области протяженности звездного пространства (назовем их единичными мирами), которые в течение сравнительно короткого времени эры значительно отклоняются от теплового равновесия... Если предположить, что Вселенная достаточно велика, то вероятность нахождения ее относительно малой части в любом заданном состоянии (удаленном, однако, от состояния теплового равновесия) может быть сколь угодно велика... Этот метод кажется мне единственным, при котором можно представить себе второе начало, тепловую смерть каждого единичного мира, без одностороннего изменения всей Вселенной от определенного начала к заключительному конечному состоянию . [c.87]

С точки зрения аналитической статики полиспаст представляет собой механическую систему, состоящую из двух точек, к которым приложены силы Р и ( все остальное относится к реализации связи между этими двумя точками. В положении равновесия принцип возможных перемещений дает [c.75]

Чтобы определить нагрузку на опору О, нужно в случае рис. 10а приложить в О направленную вертикально вверх силу противодействия, равную Q = А- -В нагрузка на опору О равна этой силе Q, но противоположна по направлению. В случае рис. 106 имеет место векторное соотношение Q = А + В, причем опять-таки нагрузка в точке О противоположна этой силе Q. Впрочем, вопрос о нагрузке на опору, в сущности, выходит за рамки принципа виртуальной работы. В рассматриваемой механической системе (рычаг) точка вращения О неподвижна поэтому ее виртуальное перемещение и произведенная в этой точке виртуальная работа равны нулю. Чтобы определить Q или, соответственно, Q с помощью принципа виртуальной работы, нужно было бы рассмотреть совсем другую механическую систему. А именно, следовало бы наделить точку опоры О двумя степенями свободы и определить условие равновесия при возможности, помимо рассматривавшегося до сих пор вращения, также и параллельного смещения всего рычага. [c.77]

Покажем теперь, как тесно связана задача о малых колебаниях механических систем около положения равновесия с определением главных осей для потенциальной энергии V. Главные оси поверхности второго порядка обладают определенными экстремальными свойствами. Их можно найти, отыскивая на поверхности те точки, для которых расстояния от начала координат имеют стационарные значения. Поэтому задача состоит в нахождении стационарного значения квадратичной формы [c.179]

Позиционные силы — это такие силы, которые определяются отклонениями системы от положения равновесия. Если направление позиционной силы противоположно направлению отклонения, то такая сила называется восстанавливающей. Можно сказать, что колебательные свойства механических систем определяются наличием именно восстанавливающих сил. [c.10]

Уравнение (158) определяет на фазовой плоскости xOv поле направлений касательных к интегральным кривым. В тех точках фазовой плоскости, в которых числитель и знаменатель правой части уравнения (158) одновременно обращаются в нуль, направление вектора поля не определено. В этих точках компоненты вектора поля направлении равны нулю. Такие точки называют особыми точками дифференциального уравнения (158). Для механических систем они имеют определенную физическую интерпретацию, так как определяют состояния равновесия (скорость а равна нулю). От характера особых точек зависит поведение интегральных кривых в их окрестности. [c.106]

Для того чтобы движение твердого тела не началось необходимо, чтобы ускорение центра масс и угловое ускорение равнялись нулю. Первое условие удовлетворяется выбором координат точки С согласно уравнению равновесия Т Ч- F i Fjj = О, где Т — сила трения, действующая на механическую систему. Поскольку величина и направление силы Т зависят от местоположения центра вращения С, согласно анизотропному закону трения (5.1) имеем [c.224]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Таким образом, мы высказываем следующее предположение неполное равновесие является настоящим равновесием в системе с фиксированными внутренними параметрами. Чтобы его доказать, надо убедиться в применимости принципа необратимости к системам с фиксированными параметрами. Вряд ли есть основания сомневаться в этом. Однако нужно иметь в виду, что фиксирование внутренних параметров не должно быть таким, чтобы система фактически распалась на не связанные между собой части. Целесообразно различать случаи, когда скрытые движения совершенно не ограничены (в той мере, в какой это допускают фиксированные параметры), даже при неизменных механических параметрах отдельных частей системы, и случаи, когда отдельные части системы вообще изолированы друг от друга или могут передавать друг другу движение только при изменении механических параметров отдельных частей, т. е. через посредство механических систем. В первом случае мы будем называть систему термически однородной, а во втором — термически неоднородной. Термически однородная система с фиксированными параметрами полностью подчиняется принципу необратимости и переходит при неизменных внешних условиях в предельное состояние, которое будет для нее настоящим равновесием для системы со свободными внутренними параметрами подобное состояние является неполным равновесием. Это неполное равновесие не зависит от начального состояния системы, если фиксированные параметры вначале имели нужные (фиксированные) значения. В неполном равновесии также не остается никакого следа от приведшего к нему процесса. Например, смесь определенных количеств молекул Н2 и Л2 можно взять в данном объеме и с данной энергией в самых разнообразных начальных состояниях молекулы смеси можно произвольно разместить в объеме, между ними можно самыми разнообразными способами распределить [c.28]

Каждая часть сама по себе находится в равновесии и имеет, следовательно, свою температуру и свою энтропию. Однако между частями равновесия нет, поэтому их температуры различны. Если создать между (Хх) и (Х2) тепловой контакт и заставить меняться механические параметры, то равновесие в каждой из систем нарушится и начнется более или менее бурный процесс, в течение которого в системе могут возникнуть механические движения и другие изменения. Затем остановим изменения всех механических параметров. Через некоторое время установится равновесие, в котором температуры обеих систем (Их) и (И2) будут равны. Что случится с энтропией в результате этого процесса Теперь она определена и в начальном (неравновесном), и в конечном (равновесном) состояниях. Можно ли утверждать, что она увеличилась [c.90]

Различают устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия механических систем. В принципе для решения вопроса об устойчивости состояния равновесия нужно исследовать результаты возможного нарушения этого состояния, т. е., иными словами, изучить общие евойства движения, которое возникает вследствие сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия такое движение называетея возмущенным. Если, совершая возмущенное движение, система удаляется от состояния равновесия (монотонный уход или колебания с возрастающими пиковыми значениями), то такое состояние следует считать неустойчивым. Если же в возмущенном движении система остается в непосредственной близости к равновесному состоянию (например, еоверщает гармонические колебания) или, тем более, постепенно приближается в этому состоянию (монотонное приближение, или колебания с убывающими пиковыми значениями), то такое состояние устойчиво. [c.152]

Конечно, выводы экономистов неоклассической школы, так же как и выводы классиков, базировались на мысленном эксперименте, так как вряд ли можно реально вычислить функции полезности участников рынка. С помощью мысленного эксперимента можно доказать существование точки рыночного равновесия, но едва ли удастся определить, каково будет это равновесие при заданных условиях производства и спроса. Но самое важное, что произошло в рамках маржиналистской революции, — это изменение представления о природе рыночного равновесия. Если для А. Смита рыночное равновесие было устойчивой точкой динамической системы с реально действующими силами (интересом), реагирующими на отклонения от равновесного состояния, т.е. сама метафора равновесия оказалась оправданной сравнением с поведением механических систем, то в работах неоклассиков, и особенно в математических интерпретациях неоклассических концептуальных построений, оказывается утерянной даже взаимосвязь с этимологией слова на метафорическом уровне. Непонятно, почему вектор цен, являющийся неподвижной точкой некоторого отображения и соответствующий неположительному избыточному спросу, должен называться точкой равновесия. [c.20]

В анали [ической механике изучаются равновесие и движение механических систем. При этом широко используется поня1ие возможного перемещения точки и системы. Наиболее [c.381]

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условие равновесия механической системы. Под равновесием (см, 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматриваем так называемое абсолютное равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стаииэнарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем. [c.360]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Определение идеальных удерживающих связей представляет собой обобщение известных физических фактов. Такие связи не рассеивают энергии на возможных перемещениях. Основной принцип статики для систем с идеальными удерживающими стационарными связями отсюда устанавливается легко. Действительно, дополним заданные силы Zv, Fv, всеми силами реакции i vi, R y, Rvz, тогда нашу механическую систему согласно аксиоме связей мы можем мыслить как систему сощершенно свободных точек, находящихся под действием сил X, + R,x, Yv + Rw, Zv + i v2. Для совершенно свободных точек имеем следующие уравнения равновесия [c.73]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Сравнительно просто решается вопрос об устойчивости равновесия для консервативных механических систем с конечным числом степеней свободы, когда справедлива теорема Лагранжа— Дирихле если в состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то это состояние устойчиво. [c.153]

АБЕРРАЦИЯ — искажение изображений, получаемых в оптических системах при использовании широких пучков света, а также при применении немонохроматического света АБСОРБЦИЯ— объемное поглощение вещества жидкостью или твердым телом АВТОИОНИЗАЦИЯ — процесс ионизации атомов в сильных электрических полях АВТОКОЛЕБАНИЯ— незатухающие колебания в неконсервативной системе, поддерживаемые внешним источником энергии, вид и свойства которых определяются самой системой АДГЕЗИЯ — слипание разнородных твердых или жидких тел, соприкасающихся своими поверхностями, обусловленное межмолекулярным взаимодействием АДСОРБЦИЯ — поглощение веществ из растворов или газов на поверхности твердого тела или жидкости АКСИОМА механических связей — действие связей можно заменить соответствующими силами (реакциями связей), а всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив действие связей их реакциями, и рассматривать его как свободное, находящееся под действием приложенных к нему активных сил и реакций связей АКСИОМЫ [механики (закон инерции) — материальная точка, на которую не действуют никакие силы, имеет постоянную по модулю и направлению скорость статики (система двух взаимно противоположных сил, равных по напряжению и приложенных в одной точке, находятся в равновесии система двух равных по напряжению взаимно противоположных сил, приложенных в двух каких-либо точках абсолютно твердого тела и направленных по прямой, соединяющей их точки приложения, находятся в равновесии всякую систему сил можно, не изменяя оказываемого ею действия, заменить другой системой, ей эквивалентной две системы сил, различающиеся между собой на систему, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой)] [c.224]

Рассмотрим механическую систему, состоящую из произвольного деформируемого тела и приложенных к нему распределенных объемных и поверхностных сил = gi, g , gs) и р) = р , p.j., р . Тело закреплено в пространстве с помощью некоторых связей, исключающих его перемещения как жесткого целого (рис. 3.1). Будем считать, что рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Действительные перемещения, соответствующие переходу точек тела из начального ненагруженного состояния в равновесное обозначим и = щ, щ), действительные напряжения — матри-цей-столбцом сг = ст , сгз, х з, tig, Т12 , компонентами которого являются нормальные и касательные напряжения в декартовой системе координат. Деформированное состояние тела, вызванное действительными перемещениями, опишем матрицей-столбцом е = = б1, 63, бд, Y23. Vi3. Т12 . компонентами которого являются относительные удлинения и углы сдвига в декартовой системе координат. Деформации в теле будем считать достаточно малыми, а объем и поверхность тела в деформированном состоянии будем отождествлять с его объемом и поверхностью в начальном недеформированном состоянии. [c.72]

Рассмотрим теперь ближе понятие предельного состояния. Когда его называют равновесным, хотят подчеркнуть кажуш,уюся неподвижность этого состояния. Тот факт, что эта неподвижность действительно только кажуш,аяся, резко отличает термодинамическое равновесие термических систем от механического равновесия. При механическом равновесии все на самом деле неподвижно, тогда как при термодинамическом равновесии скрытые движения не прекраш,аются. Поскольку резкой границы между видимыми и скрытыми движениями провести нельзя, следует заключить, что покой термодинамического равновесия только кажуш,ийся даже с макроскопической точки зрения легко наблюдать флуктуации, т. е. очень мелкие, однако вполне видимые движения, в находяш,ейся в термодинамическом равновесии системе. Например, в спокойном газе меняется плотность, так что в каждом месте газ то уплотняется, то разрежается последнее очень заметно по рассеянию света на этих местных уплотнениях и разрежениях. [c.25]

Допустим теперь, что через некоторое время механические систе мы останавливаются в той же самой конфигурации, какая была внача ле. Механические параметры опять примут начальные значения д но энергия термической системы (Х) может оказаться и не такой, как была вначале. Если подождать достаточно долго, система (Х) придет в новое равновесие (а ) с прежними значениями механических пара [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...