Система динамических уравнений Эйлера

Так как А = В и внешние силы (реакция плоскости и сила тяжести) не создают момента относительно оси Gz то из третьего уравнения системы динамических уравнений Эйлера (формулы (4) п. 97) следует, что проекция г угловой скорости ш волчка на ось его динамической симметрии является постоянной, т. е. имеет место первый интеграл [c.224]

Вращательное движение твердого тела - космического аппарата (КА) описывается системой динамических уравнений Эйлера [c.30]

Система динамических уравнений Эйлера 385 [c.494]

Если внешние силы, приложенные к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек твердого тела, то можно получить первый интеграл динамических уравнений Эйлера, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы, материальных то- [c.542]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Тогда из (1.97) следуют динамические уравнения Эйлера, описывающие сферическое движение тела относительно инерциальной- системы отсчета [c.41]

Если та = /, то уравнения (1.126) совпадают с динамическими уравнениями Эйлера для динамически симметричного абсолютно твердого тела, т.е. в линейном приближении внутреннее движение не изменяет движения системы, рассматриваемой как единое абсолютно твердое тело. [c.55]

Динамические уравнения Эйлера. Уравнение (22) в системе координат Охуг, вмороженной в тело , имеет вид] [c.50]

Если оси связанной системы координат совпадают с главными центральными осями инерции КА, то уравнения движения КА относительно центра масс в связанной системе координат принимают обычную форму динамических уравнений Эйлера [c.14]

Уравнения движения системы составляются на основании динамических уравнений Эйлера. Последние записываются для тела, к которому приложен момент внешних сил и которое вращается [c.12]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку О, действует система заданных сил Р , р ,, Р (рис. 347). Одновременно на тело будет действовать реакция связи (на рис. не показана). Чтобы исключить из уравнений движения тела эту наперед не известную силу, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 144), представив ее в виде (71), т. е. в виде теоремы Резаля. Тогда, поскольку ш (/ )=0, будем иметь [c.408]

Динамические уравнения Эйлера. Будем предполагать, что на точки твердого тела действуют активные силы с проекциями на подвижные оси координат Х , Y ,, Zy, а L, М, N — проекции на те же оси результирующего момента системы сил относительно начала координат. Пусть а(ох, Оу, az)—-вектор момента количества движения твердого тела относительно начала координат. [c.394]

Эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Динамические уравнения Эйлера вместе с уравнениями Пуассона представляют полную систему дифференциальных уравнений движения твердого тела, и задача определения движения твердого тела сводится к интегрированию этой системы дифференциальных уравнений. [c.402]

Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Выбирая за оси подвижной системы координат главные оси инерции тела, запишем динамические уравнения Эйлера [c.619]

Для задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа динамические уравнения Эйлера выводятся в подвижной системе координат и дается физический смысл каждого слагаемого в терминах сил инерции. В этих же терминах дан анализ гироскопического момента. [c.119]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Твердое тело с неподвижной точкой движется нод действием момента Mq = а х со, где а — постоянный вектор в системе отсчета, связанной с телом. Пайти два первых интеграла динамических уравнений Эйлера. [c.99]

Движение КА вокруг центра масс описывается динамическими уравнениями Эйлера. Учитывая, что угловые скорости КА при работе системы стабилизации малы, угловое движение осесимметричных КА, у которых моменты инерции близки друг к другу по величине, можно описать уравнением [c.209]

Глава VI содержит главные вопросы механики абсолютно твердого тела. Излагается наиболее трудная часть механики абсолютно твердого тела — пространственное вращательное движение тела, одна из точек которого неподвижна в некоторой системе отсчета. Выводятся кинематические и динамические уравнения Эйлера и кинематические уравнения Пуассона. Рассматриваются случаи Эйлера и Лагранжа. Кроме того, кратко изложена магнито-кинематическая аналогия, позволяющая кинематические уравнения представить в виде уравнений Гамильтона. [c.7]

Система (6.60) представляет собой систему динамических уравнений Эйлера, правые части которых (проекции главного момента внешних сил) могут зависеть от углов Эйлера, от проекций мгновенной угловой скорости и явно от времени. [c.385]

Правая часть уравнения (1-1.3), отнесенная к единице объема системы, есть частная производная вектора pv по времени. Таким образом, рассматривая уравнения (1-7.3), (1-7.5) и (1-7.9), получим окончательно динамическое уравнение в форме Эйлера [c.45]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Воспользуемся обобщенными динамическими уравнениями (28) Эйлера и составим уравнения моментов, действующих относительно оси х, для системы, состоящей из ротора и внутренней рамки карданова подвеса гироскопа [c.166]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Если бы мы захотели описать при помощи системы дифференциальных уравнений, как изменяются в зависимости от времени при движении тяжелого гироскопа все параметры, определяющие это движение, то нам необходимо было бы только сопоставить все, что было сказано в 5 и 6 о постановке динамической задачи о тяжелом гироскопе или, в более общем случае, о тяжелом твердом теле с закрепленной точкой, с общими соображениями 1. Для этого к уравнениям Эйлера тяжелого гироскопа (п. 27), которые здесь в силу известных формул (22), уже неоднократно приводившихся, можно написать в виде [c.140]

Очевидно, что с усложнением динамической модели агрегата и увеличением порядка системы уравнений, описывающей его движения, использование уравнений Эйлера — Лагранжа для определения оптимального управления становится все более затруднительным. Метод решения, не требующий непосредственного решения этих уравнений, является в таких случаях наиболее удобным. [c.334]

Обозначим через E Ii, I2) совместные уровни четырех интегралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только такие постоянные интегралов Ii и I2, при которых функции (2.1) независимы на E Ii, I2). В частности, исключаются случаи, когда = I2 = 0. Остальные постоянные образуют множество нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то — гладкое двумерное многообразие. На Е естественным образом возникает классическая динамическая система [6] Е, gE, сг), где — сужение на многообразие Е однопараметрической группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера-Пуассона, [c.152]

Громоздкие условия, приведенные в таблице 3.1, с геометрической точки зрения имеют простой смысл. Воспользовавшись аналогией с уравнением Эйлера-Пуассона, будем считать, что динамически несимметричное твердое тело движется в обобщенно потенциальном поле, т.е. 7 — некоторые позиционные переменные. Тогда условием существования соотношения (1.16) является симметрия потенциала и обобщенного потенциала системы (1.2) относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида (ср. с 6 гл. 2). [c.176]

В гл. 5 мы рассмотрели два способа описания динамических систем, возникающих в классической механике. Гамильтонов формализм приводит к рассмотрению динамических систем в пространстве четной размерности, задаваемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. При таком подходе координаты и скорости рассматриваются как равноправные координаты в фазовом пространстве. С другой стороны, лагранжев формализм работает исключительно с координатами в конфигурационном пространстве и описывает динамику с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Оказывается, что лагранжев формализм может быть введен посредством рассмотрения всех потенциально возможных траекторий системы, среди которых настоящие траектории выделяются как критические точки некоторого функционала, заданного на множестве всех кривых в конфигурационном пространстве. Описания такого рода обычно называются вариационными, поскольку необходимо варьировать потенциально возможные траектории, чтобы найти настоящие. Уравнения Эйлера — Лагранжа (5.3.2) представляют собой не что иное, как уравнения, описывающие критические в вышеописанном смысле кривые функционала действия, рассматриваемого в 4. [c.342]

Из системы уравнений (1.2) может быть получена система уравнений движения идеальной жидкости. Полагая динамическую вязкость ц = О, получим систему уравнений Эйлера [c.13]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Сферическое движение твердого тела вокруг центра масс представляет собой движение тела относительно системы осей xiy Zi. Это движение определяется динамическими уравнениями Эйлера [c.256]

Здесь Л, Jy, 1г, Jx,j, Jxz, Jyz — компоненты тензора инерции тела для центра масс и системе координат xyz. Если оси Сх, Су, z — главные оси инерции тела для центра масс, то уравнения (3) упрощаются и принимают вид динамических уравнений Эйлера (4) п. 87. [c.180]

Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения движения твердого тела с одной неподвижной точкой, предполагая, что на тело действует только сила тяжести. Движение такого тела будем изучать относительно системы отсчета OxiijiZi, жестко связанной с Землей, выбрав ее начало в неподвижной точке О и направив ось Z вертикально вверх. Такая система, вообще говоря, не является инерциальной, и в строгой постановке при изучении движения твердого тела необходимо учитывать кроме силы тяжести еще и влияние на тело сил инерции от кориолисова ускорения. В упрощенной идеализированной постановке предполагается, что в системе Оххухх на твердое тело действуют только силы тяжести. Движение тела будет определяться динамическими уравнениями Эйлера [c.400]

Уравнения движения (б) после подстановки в них выражения через углы Эйлера оказываются весьма сложными. В 17 рассматривались динамические уравнения Эйлера (17.5) в проекциях на оси подвижной системы. Они также приводятся к переменным 1). О, ф. Однако из уравнений (17.5) только третье уравнение совпадает с уравнением Лагранжа (б) для переменной ), ибо только обобщенная сила Q совпадает с проекцией момента на ось Ог. Остальные два уравнения написаны для проекций моментов на другие оси Ох и Оу. Уравнения рещены для немногих частных случаев, например для свободного симметричного волчка (см. пример 17.3). [c.185]

Общее уравнение динамики КА относительно связанной системы координат Oxyz запишем в форме динамического уравнения Эйлера [c.81]

Обозначим через абсолютную угловую скорость ИСЗ (скорость относительно осей имеющих иачало в центре масс спутника и. перемещакмцихся поступательно относительно ниерциальной системы отсчета, — эти оси на рис. 14.S не показаны). Пусть Оя, ug, Qz — проекции этого вектора иа оси х, у, ж соответствеино. Воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера (14.7), внеси и них значения моментов М , и из равенств (14.59) и заменив одновременно вектор ш иа Q, Тогда получим ) [c.533]

Вееторное уравнение (3.4) эквивалентно системе трех скалярных уравнений, называемых динамическими уравнениями Эйлер [c.122]

Основой для решения задачи о движении тела вокруг непо движной точки являются динамические и кинематические уравнения Эйлера (III. 4) и (III. 5). Общее начало неподвижной системы координат Oxyz и подвижной выберем в закрепленной точке. [c.412]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Введение координат Рг позволяет существенно упростить применение краевых условий на поверхности раздела сред, так как в новой системе численные значения координат точек поверхности не меня ются при деформировании и совпадают с заданными (начальными) Кинематическое условие (П1.13) принимает вид (П1.19), давление в динамических условиях (П1.21) зависит от Рг. Вместе с тем в дефор мируемой системе координат уравнения движения жидких сред при нимают более сложный вид, чем в координатах Эйлера. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...