Движение тяжелого гироскопа

Приближенная теория гироскопических явлений позволяет дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа (волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп пе вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия. Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости. В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма малого промежутка времени силу F. Следствием этого, если оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некоторый угол в направлении момента силы F относительно неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой линией). [c.371]

Этот момент будет влиять на движение данного гироскопа, который в этом случае называется тяжелым симметричным гироскопом. Величина AIq будет постоянна, если тяжелый гироскоп совершает регулярную прецессию вокруг вертикальной оси Ozi- Подставляя значение AI определяемое формулой (38), в формулу (35), получим следующее условие, которому должны удовлетворять начальные угловые скорости 9о и фо и начальный угол бо, чтобы осуществлялось регулярно прецессионное движение тяжелого гироскопа [c.709]

Это условие является необходимым и достаточным, чтобы движение тяжелого гироскопа было регулярной прецессией. [c.710]

Пользуясь уравнением моментов количеств движения, мы сможем теоретически объяснить оба найденные выше экспериментальным путем свойства движения тяжелого гироскопа начнем с разбора принципа стремления к параллельности. Заметим теперь же, что для объяснения этого явления совсем несущественно предположение, что речь идет о твердом теле, имеющем гироскопическую структуру достаточно предположить, что ось, вокруг которой происходит быстрое вращение, совпадает с одной из главных осей инерции твердого тела. [c.75]

Отсюда следует, что во всяком движении тяжелого гироскопа проекция угловой скорости его на гироскопическую ось гироскопическая угловая скорость) остается постоянной. [c.112]

Это уравнение представляет собой в некотором смысле резольвенту задачи о движении тяжелого гироскопа, потому что (мы покажем это в п. 33) как только будет определено путем интегрирования уравнения (48) выражение для у = 7з в функции от времени, так при помощи алгебраических преобразований и квадратур найдутся [c.113]

Таким образом, установлено приведение к квадратурам задачи о движении тяжелого гироскопа. [c.114]

В виде общих предпосылок к двум задачам, которые мы имеем здесь в виду, вспомним (пп. 22, 27), что движение тяжелого гироскопа определяется динамическим уравнением (уравнением моментов количеств движения) [c.129]

Мгновенное возмущение прецессии. Непосредственный эффект ИЗМЕНЕНИЯ угловой СКОРОСТИ прецессии. Два характеристических соотношения, 9=0 и (74 ), которым должны удовлетворять в начальный момент параметры, для того чтобы движение тяжелого гироскопа, определяемое ими, было регулярной прецессией, будут удовлетворяться и в любой момент в течение всего времени движения. Но если в заданный момент tQ в силу какой-нибудь внешней причины движение внезапно будет возмущено или, точнее, эти два соотношения в следующий момент не будут удовлетворяться, то движение гироскопа перестанет быть регулярной прецессией и перейдет в более общий [c.137]

Вопросы устойчивости движения тяжелого гироскопа [c.140]

Если бы мы захотели описать при помощи системы дифференциальных уравнений, как изменяются в зависимости от времени при движении тяжелого гироскопа все параметры, определяющие это движение, то нам необходимо было бы только сопоставить все, что было сказано в 5 и 6 о постановке динамической задачи о тяжелом гироскопе или, в более общем случае, о тяжелом твердом теле с закрепленной точкой, с общими соображениями 1. Для этого к уравнениям Эйлера тяжелого гироскопа (п. 27), которые здесь в силу известных формул (22), уже неоднократно приводившихся, можно написать в виде [c.140]

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА 141 [c.141]

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА 145 [c.145]

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА 147 [c.147]

Гироскоп с потенциалом, зависящим только от угла нутации. Случай Лагранжа — Пуассона. Здесь, кроме А = В, надо еще положить лгд =Уо О, а потенциал, предполагаемый зависящим только от 0, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента Уз = os 6. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изучении влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гироскопа (случай Лагранжа — Пуассона), для которого имеем U = [c.334]

Рауса уравнения смешанные 364 Реакция опоры 201 Резольвента задачи о движении тяжелого гироскопа 113—115, 117, 120 Рефракция 416 [c.549]

Движение тяжелого гироскопа (Задача Лагранжа—Пуассона) [c.461]

Формулы (112), (ИЗ) и (114) дают полное решение задачи о движении тяжелого гироскопа при формулированных граничных условиях. Так как эллиптическая функция u i) является [c.465]

В современной литературе по гидродинамике, как было упомянуто в 1 гл. 1 с указанием конкретных ссылок, можно найти большое число разнообразных моделей тепловой конвекции, относящихся к классу конечномерных динамических систем, которыми описываются различные течения неоднородной жидкости, разогреваемой извне. Самую простую нелинейную модель такого рода [94] можно построить с помощью уравнений Эйлера-Пуассона движения тяжелого гироскопа, которые по характеру нелинейности и фундаментальным инвариантам движения (см. 2 гл. 1) являются простейшим конечномерным аналогом уравнений Буссинеска движения идеальной неоднородной жидкости. Модель тепловой конвекции, которая получается из уравнений Эйлера—Пуассона добавлением членов, учитывающих вязкость и внешние источники энергии, используется в этой главе для изучения свойств рэлеевской конвекции [100] и конвективных течений, возникающих под влиянием горизонтально-неоднородного разогрева жидкости, а также в условиях вращения системы в целом [73, 94—97, 102, 195, 196]. [c.134]

Стремление осей вращения к параллельности. Формулировка принципа. — Тело вращения, совершающее быстрое вращательное движение вокруг своей оси симметрии, называют гироскопом. Если к точкам оси гироскопа приложить силы, стремящиеся изменить направление оси, то при этом обнаруживаются неожиданные явления, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными. С подобными явлениями мы уже встречались при изучении движения тяжелого тела вращения все они могут быть объяснены при помощи уравнений, аналогичных тем, с которыми мы имели дело в этом случае. [c.158]

Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного волчка. Кроме того, в этой книге имеются некоторые точные формулы, описывающие движение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениям гироскопов (главным образом гирокомпасу). [c.205]

Равномерное вращение тяжелого гироскопа. В п. 32 мы исследовали регулярную прецессию и, как предельный случай, перманентное вращение тяжелого гироскопа. Здесь, изменяя несколько постановку задачи, мы непосредственно определим и изучим в связи с начальными условиями движения прежде всего все возможные равномерные вращения тяжелого гироскопа и затем регулярные прецессии, имеющие осью прецессии вертикаль и осью фигуры ось гироскопа. При этом следует заметить, что прямое исследование равномерных вращений тяжелого гироскопа не сводится к рассмотрению простого [c.128]

Оба случая, Xq = уд — Zg — О и и = v = w — О, надо сразу же исключить, так как первый приводит к движению по Пуансо (случай Эйлера) тяжелого твердого тела, закрепленного в его центре тяжести, а второй вследствие соотношений (115) — к твердому телу, имеющему эллипсоидом инерции относительно неподвижной точки сферу, т. е. к частному случаю тяжелого гироскопа. [c.170]

Речь идет о движении тяжелого гироскопа, закрепленного в какой-либо точке О своей оси, отличной от центра тяжести О. Согласно определению п. 17 гл. IV, гироскойом мы называем всякое твердое тело, центральный эллипсоид инерции которого есть эллипсоид вращения необходимо вспомнить, что для такого твердого тела эллипсоидом вращения будет также и эллипсоид инерции относительно всякой другой точки оси обратно, чтобы заключить, что какое-нибудь твердое тело является гироскопом в этом смысле, достаточно знать, что оно имеет гироскопическую структуру относительно одной из своих точек О и что центр тяжести G принадлежит соответствующей оси. [c.111]

Приближенные уравнения движения гироскопа при больших УГЛОВЫХ СКОРОСТЯХ СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ. Оцвнивзя приближенно различные члены в общих уравнениях, установленных в предыдущих пунктах, мы можем указать преобладающие члены в интегральных выражениях 0, , справедливых для любого движения тяжелого гироскопа (движение с нутацией), в том случае, когда гироскоп совершает быстрое вращение вокруг собственной оси. [c.124]

Формулы (60), (63), (64) дают упомянутое выше приближенное аналитическое представление движения тяжелого гироскопа, обладающего большой угловой скоростью собственного вращения. Полученные здесь результаты оправдывают название псевдорегулярной прецессии, которое обычно дают такому движению. [c.128]

Так как точное решение задачи о движении тяжелого гироскопа не выражается в элементарных функциях, то приведем приближенную формулу для гироскопа Плюккера ( 6, гл. VII) при таких начальных условиях (01 = О, 0 = 0о, а угловая скорость собственного вращения очень велика ). Мы имеем [c.256]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Здесь уместно процитировать К. Магнуса [119] Около 1900 г поиски новых интегрируемых случаев столь привлекательных нелинейных уравнений движения тяжелого гироскопа превратились чуть ли не в своего рода спорт для математиков. При этом исследователи зачастую уходили далеко от собственнно физической проблемы и посвящали свои обширные исследования и таким случаям, которые неосуществимы либо физически — вследствие нарушения связывающих Д, /г, /з неравенств, — либо геометрически — ввиду невыполнения условия (7 = 1). Мы не имеем возможности останавливаться здесь на этих работах. [c.90]

Кроме того, исходя не из рассмотрения гироскопов той или другой частной формы, а из рассмотрения некоторых более или менее простых групп движений и вопроса о возможности (или невозможности) их существования у более или менее обширных классов гироскопов (преимущественно кинетически симметричных), я привожу некоторые материалы, сначала по уже сравнительно давно (хотя все-таки после 1888 г., как и все труды, что я рассматриваю) изученному вопросу о так называемых перманентных вращениях и малтникообразных движениях тяжелых гироскопов, которые оказываются возможными первые для всех, а вторые для обширных классов тяжелых гироскопов (включающих все так называемые кинетически симметричные формы и еще многие другие). [c.62]

Эти уравнения имеют типичную гироскопическую структуру. Как и в уравнения (48) движения гиротахоакселерометра, в уравнение, содержащее а (уравнение для координаты а), входит произведение обобщенной скорости р и проекции /зоь главного момента количеств движения на ось гироскопа в уравнение для координаты р также входит гироскопический член — произведение множителя /зЮг на обобщенную скорость, соответствующую другой координате а, но взятое с противоположным знаком. Гироскопическую структуру имеют уравнения (51) 167 относительно движения тяжелой точки на вращающейся Земле, в которых роль гироскопических членов выполняют слагаемые, происходящие от кориолисовой силы инерции. Таковы же уравнения (60) 169 колебаний маятника Фуко. [c.624]

В заключение, опираясь па элементарную теорию гироскопа рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа (см. п. 105). Пусть динамически симметричное твердое тело весом Р имеет неподвижную точку О (рис. 107). В начальный момепт оно расиоложено так, что ось симметрии Oz составляет угол 0 с вертикалью. [c.177]

Регулярная прецессия тяжелого гироскопа. Рассмотрим быстро вращающийся гироскоп, у которого ось Ог динамической симметрии не вертикальна, т. е. эта ось в начальный момент образует угол 6=0<, с вертикальной осью Ог , причем неподвижная точка О этого гироскопа не совпадает с его центром тяжести С (рис. 396). Этот гироскоп находится под действием силы тяжести Р и реакции N опоры. Главный момент этих внещних сил, взятый относительно точки опоры О, будет = /П ,(Я)-(-/Лд(Л/)=Щр (Р)= ОСхР—аХР и перпендикулярен к плоскости Оггг, проходящей через силу Р и точку опоры О. Составляющая силы тяжести Р, перпендикулярная к оси Ог гироскопа, по доказанному выше, создает движение оси Ог не в сторону увеличения угла 0, а в направлении, перпендикулярном к этой составляющей. Следовательно, ось Ог гироскопа вращается вокруг вертикальной оси 0x1, т. е. совершает регулярную процессию. [c.715]

Вид дифференциальных уравнений для углов Эйлера ф, 0, ф убеждает, что в случае тяжелого гироскопа в кардаповом подвесе нутационные движения оси гироскопа так же, как и в случае Лагранжа, играют ведущую роль. Поэтому интегрирование естественно начинать с первого уравнения, из которого [c.200]

Возмущающие влияния вращения земного шара на движущиеся на его поверхности тела тем заметнее, чем их скорость больше. Но на такие тела, находящиеся в быстром движении, например, на ружейную пулю, действует, вообще, множество других возмущающих причин, и наблюдение почти невозможно. Однако гении Фуко преодолел и это затруднение. Он воспользовался свойствами движения тяжелого тела, подвешенного в своем центре тяжести и быстро вращающегося вокруг оси симметрии, и показал, что ось такого тела должна сохранять постоянное направление, а потому, если она направлена на звезду, то она должна следовать за этой звездой в ее суточном движении. Этот прибор Фуко получил название гироскопа. Другие приборы того же рода построили Сир (Sire) и Жильбер. Дальше мы приведем теорию одного из этих приборов, называемого барогироскопом, как приложение уравнений Лагранжа. [c.249]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

Регулярные прецессии, определенные в п. 37 для тяжелого гироскопа, зависят от двух произвольных параметров, например и v. Но в совокупности оо Фиг. 21. возможных движений на самом деле прецессий насчи- [c.137]

Мгновенное возмущение регулярной прецессии тяжелого гироскопа. Действие добавочной пары, момент которой направлен по линии узлов. Чтобы дать непосредственное приложение стереонодальных уравнений, вернемся к рассуждениям п. 40. Рассмотрим тяжелый гироскоп, например волчок, совершающий регулярную прецессию, и представим себе, что в данный момент /д это движение возмущается добавлением пары, действующей в плоскости, перпендикулярной к линии узлов, с моментом N (положительным или отрицательным). Это вызовет движение волчка общего типа, т. е. движение с нутацией (п. 31) мы рассмотрим здесь движение за малый промежуток времени, непосредственно следующий за моментом tf,. [c.152]

При указанном выше ус ювии, что сила F пересекает гироскопическую ось, имеем М = 0, а из предположения, что движение вершины равномерное (5 = 0), следует в силу второго натурального уравнения (99), что и = 0 поэтому момент М имеет направление единичного вектора t, т. е. скорости и, следовательно, элементарного перемещения вершины а так как при О А — I имеем M = lky F, то мы и приходим к заключению, что это перемещение точки V, параллельное М, перпендикулярно к F, г также и к к. Можно также определить и сторону этого элементарного перемещения. Прежде всего, так как = 0, то из уравнения (100) видим, что л = onst (как это, в частности, имеет место для тяжелого гироскопа). Далее, если гироскопическая скорость достаточно велика (по сравнению со скоростью S. вершины, или, точнее, по сравнению с fs), то из двух членов левой части первого натурального уравнения (99) преобладающее значение будет иметь второй, имеющий тот же знак, что и s. Если касательную к траектории вершины направим в ту сторону, куда перемещается точка V в данный момент, то, по крайней мере за рассматриваемый элемент времени, s>0 и поэтому проекция Мц момента Af будет положительной. Этот момент имеет, следовательно, одинаковые с и со скоростью точки V не только направление, но также и сторону. А тогда на основании выражения M — lky F заключаем, что когда точка А приложения силы F находится на гироскопической оси с той же стороны от точки О, что и 0(/>0), то скорость [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...