Уравнения динамической системы

Пусть уравнение динамической системы имеет вид [c.191]

Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов метода статистической линеаризации И. Е. Казакова [33, 34, 54, 69, 85]. Допустим, что уравнение динамической системы (3.1) имеет вид [c.151]

Структурный синтез систем. Заданы уравнения динамической системы или объекта в системе регулирования и управления, а также значения коэффициентов этих уравнений. [c.7]

Если из характеристического уравнения динамической системы, находящейся в области устойчивости или на ее границе, выбрать любые четыре рядом расположенных коэффициента, то произведение крайних коэффициентов будет не больше произведения средних коэффициентов. [c.21]

Поскольку корни характеристического уравнения не зависят ни от возмущающего воздействия, ни от начальных условий, а определяются только значениями коэффициентов а , о ,. .., а , то свободные колебания системы определяются видом корней Д , Дг,. .., Д. В силу этого исследование устойчивости сводится к исследованию корней характеристического уравнения динамической системы. [c.97]

Характер движений в данной динамической системе определяется, с одной стороны, видом и областями существования функций а с другой — порядком замены уравнений совокупности (3.36). Не рассматривая общего случая, ограничимся предположением, что замена дифференциальных уравнений динамической системы при всех начальных значениях циклическая и определяется циклической подстановкой т функций Г = = (/р1, /г52, [гпп), где р — числа последовательности 1, 2,. .., т. Системы подобного типа будут называться многократными динамическими системами кратности т. [c.106]

Из общего уравнения динамической системы с идеальными связями (27) при условии перестановочности операций и 6(1 следует равенство , [c.126]

Такая зависимость силы (крутящего момента) от времени повышает общий порядок уравнений динамической системы станка на единицу. [c.157]

Для этого мы воспользуемся сведениями о связи траектории на фазовой плоскости, с одной стороны, и только что изложенными сведениями о приближенных способах интегрирования дифференциальных уравнений динамической системы — с другой. Для простоты ограничим себя рассмотрением линейной задачи, а затем обобщим ее. [c.264]

Эта система называется динамической, если на задано векторное поле f(x) мгновенных скоростей изменения состояния, т. е. если/(а5) — j . В этом слу-нае равнение х= f (х) называется уравнением динамической системы и считается ее математическим описанием. [c.558]

Частным решением уравнения динамической системы при начальных условиях 11 (0) = XI (г = называется уравнение траектории, проходя- [c.559]

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости — положительность коэффициентов характеристического уравнения. Динамическая система с подобным характеристическим уравнением неустойчива. При малых значениях асинхронного момента синхронного двигателя рассматриваемой двухмассовой динамической системе свойственны крутильные колебания со слабым затуханием. Для обеспечения крутильных колебаний с сильным затуханием необходимо, чтобы синхронный двигатель обладал достаточно большим асинхронным моментом, т. е. имел мощную демпферную обмотку на роторе двигателя [12]. При разработке систем синхронного привода поршневых компрессорных установок рассмотрение двухмассовой динамической системы позволяет определять частоту свободных колебаний и сопоставлять ее с частотой периодического возмущения, свойственного компрессорным установкам. Выбором рациональных параметров системы привода (маховик, режим двигателя) в системе устраняют резонансные явления. [c.30]

Эти и другие примеры 1), в которых флуктуации входят в уравнения динамической системы не как аддитивные члены, указывают на определенные недостатки использования формализма Ито для моделирования случайных воздействий. В других же отношениях аппарат Ито весьма удобен для описания класса непрерывных марковских процессов. [c.112]

Ниже рассмотрены колебания в динамических системах. Под динамическими понимаются системы различной природы - механические, электрические, биологические и др., процессы в которых отображаются дифференциальными уравнениями. Разнообразие природы и соответственно разнообразие вопросов, подлежащих исследованию, приводят к различным дифференциальным уравнениям, описывающим те или иные процессы или системы. По вщу дифференциальных уравнений динамические системы можно подразделить на три класса [c.12]

В качестве ДОС используется безынерционный потенциометрический датчик. В этом случае уравнения динамической системы УСО-ЭГУ можно представить в следующем виде. [c.151]

Если при этом система уравнений (5.10) есть модель динамической системы (например, электронной схемы), то величины— 1Д/ принято называть постоянными времени т>. Тогда условие устойчивости явного метода Эйлера приводится к виду [c.239]

Совокупность уравнений генератора, системы регулирования и нагрузки является предметом экспериментального исследования по оптимальному плану, составленному методами планируемого эксперимента. В результате каждого эксперимента определяются показатели заданного переходного процесса. Переход от одного эксперимента к другому осуществляется варьированием факторов в виде параметров и характеристик математической модели исследуемой системы. Таким образом, благодаря сочетанию методов математического моделирования и планируемого эксперимента, можно получить уравнения, связывающие алгебраическим образом динамические показатели с варьируемыми факторами системы. Исключая несущественные факторы, для рассматриваемой системы получаем следующие уравнения в различных переходных режимах [8] [c.98]

Пусть в старых координатах динамическая система имеет лагранжиан L q, dq/dt, i), и пусть qj tj q , 4 ), / =1, п,— решение соответствующих уравнений Лагранжа, В пространстве q, t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве q, t им соответствует новое семейство кривых. [c.280]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Предположим, что движение рассматриваемой динамической системы описывается каноническими уравнениями [c.250]

Если оператор Т является нелинейным, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Кроме того, оператор Т может быть непрерывным или дискретным. Форма задания оператора Т может быть дифференциальной, интегральной, матричной, табличной и т. д. В этой книге речь пойдет о дискретных математических моделях динамических систем, состояние которых определяется конечным числом переменных, с непрерывным фазовым пространством и непрерывным дифференциальным оператором Т, в общем случае.нелинейным. Таким образом, мы будем рассматривать динамические системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. [c.10]

Динамической системой первого порядка (или системой с половинной степенью свободы) называется динамическая модель, движение которой описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка [c.20]

В этой главе рассматриваются автономные динамические системы с одной степенью свободы. Уравнения движения такой системы в общем случае записываются в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка [c.41]

S > О, что все динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями [c.44]

Поскольку значения (в, /) и (0 + 2л, г/) соответствуют одному и тому же состоянию, фазовым пространством рассматриваемой динамической системы является поверхность цилиндра, на котором вдоль образующей отложена величина //, а вдоль направляющей — угол 0. Будем рассматривать лишь область у > О (тем самым исключается случай полета хвостом вперед), в которой интегральные кривые, согласно (3.17), удовлетворяют уравнению dij у sin в+ ау ) [c.62]

Динамическая система называется квазилинейной, если уравнения (4.1) имеют вид [c.67]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Скользящие движения [c.81]

В ряде случаев рассмотрение динамической системы сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений (4.1), правые части которых терпят разрывы непрерывности первого рода на некоторых гладких поверхностях Si, S2,. .., 5ft, разбивающих фазовое пространство на некоторые области D , D , ., Dm- В каждой из областей Dj а = 1, 2,. ... т) движение системы определяется дифференциальными уравнениями [c.81]

Приведенные уравнения одномерных линейных динамических объектов предполагают, что рассматриваемые технологические процессы представляют собой детерминированные системы (существует однозначное взаимное соответствие между входной и выходной переменными). В подавляющем большинстве случаев реальные технологические процессы являются стохастическими, т. е. данному входному воздействию соответствует не одно значение выходной переменной, а ряд р1аспределения. При фиксированных условиях нормального функционирования технологического процесса при заданном входном воздействий выходная переменная представляет собой случайную величину или случайную функцию. В этом случае естественно определять моментные характеристики и приведенных уравнений динамической системы уже недостаточно. [c.327]

УстЬйчивость динамической системы станка оценивается по величине так называемой области устойчивости в пространстве параметров системы. Расчетному анализу подвергаются дифференциальные уравнения динамической системы станка (167). Если решения уравнения будут возрастающими во времени, то система неустойчива. Однако практически, в большинстве случаев, уравнения (167) не решают, а для оценки устойчивости пользуются амплитудно-фазовым критерием Найквиста—JVlиxaйлoвa. Он позволяет судить об [c.358]

Условие устойчивости предельного цикла. Найдем теперь, основываясь на теореме Кенигса, условие устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости, выраженное через правые части уравнений динамической системы [c.335]

В применении к механизмам сущность метода может быть сформулирована так если ко всем внешним действующим на звено механизма силам присоединить силы инерции, то под действием всех этих сил можно звено рассматривать условно находящимся в равновесии. Таким образом, при применении принципа Далам-бера к расчету механизмов, кроме внешних сил, действующих на каждое звено механизма, вводятся в рассмотрение еще силы инерции, величины которых определяются как произведение массы отдельных материальных точек на их ускорения. Направления этих сил противоположны направлениям ускорений рассматриваемых точек. Составляя для полученной системы сил уравнения равновесия и решая их, определяем силы, действующие на звенья механизма и возникающие при его движении. Метод силового расчета механизма с использованием сил инерции и применением уравнений динамического равновесия носит иногда название кинетостатического расчета механизмов, в отличие от статического расчета, при котором не учитываются силы инерции звеньев. [c.206]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В своем историческом развитии понятие динамической системы, как и всякое другое понятие, постепенно изменялось, наполняясь новым, более глубоким содержанием. Уже в книге Рейли по теории звука с единой точки зрения рассматриваются колебательные явления в механике, акустике и электрических системах. В настоящее время понятие динамической системы является весьма широким. Оно охватывает системы любой природы физической, химической, биологической, экономической и др., причем не только детерминированные системы, но и стохастические. Описание динамических систем также допускает большое разнообразие оно может осуществляться или при помощи дифференциальных уравнений, или такими средствами, как функции алгебры логики, графы, марковские цепи и т. д. [c.8]

Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входяпшми в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс грубых динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1). [c.44]

А. А. Андронов п Л. С. Понтрягпн дали строгое математическое определение понятия грубости для систем второго порядка согласно этому определению динамическая система, описываемая дифференциальными уравнениями [c.44]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде (4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —kx, на две области I н И (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через х,, х абсциссы точек пересечения прямой у — —kx с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...