Краевая задача четвертого порядка

В действительности описываемые далее методы равным образом применимы ко всякой краевой задаче четвертого порядка, поставленной па пространстве V тина Я (й), или [c.327]

Таким образом, исходную нелинейную краевую задачу удалось упростить, так как вместо уравнений четвертого порядка получены уравнения (7.9.10), которые имеют третий и второй порядок. [c.426]

Подстановкой (22.3) в (22.1) или (22.2) рассматриваемая задача сводится к краевой для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами. [c.104]

Методы численного решения линейных уравнений, аналогичных уравнению (8.62), подробно изложены в гл. 2, но в гл. 2 рассматривались уравнения четвертого порядка, а уравнение (8.62) — двенадцатого порядка. Основная особенность уравнения (8.62) заключается в том, что элементы матрицы В содержат неизвестный параметр к (безразмерную частоту). Последний находят из условия, что решение уравнения (8.62) должно удовлетворять краевым условиям задачи (шесть условий при е = 0 и шесть при е = 1). Точное решение уравнения (8.62) даже для случая, когда элементы матрицы В — постоянные числа, получить очень сложно, поэтому используют численный метод определения частот. [c.185]

В четвертой главе на основе разработанных уравнений даны решения задач цилиндрического изгиба изотропных слоистых длинных пластин и панелей и решения задач об их выпучивании по цилиндрической поверхности. Кроме того, эти задачи рассмотрены еще и на основе уравнений других вариантов неклассических прикладных теорий, приведенных в гл. 3. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило уточнить границы их пригодности, оценить влияние поперечного сдвига и обжатия нормали на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости. Дифференциальные уравнения задач статики рассматриваемых здесь элементов конструкций допускают аналитическое представление решения, что использовано при детальном исследовании и сравнительном анализе структур решений, полученных с привлечением различных геометрических моделей деформирования. На примере задачи цилиндрического изгиба длинной пластинки показано, что в моделях повышенного порядка появляются решения, описывающие ярко выраженные краевые эффекты напряженного состояния. С наличием последних связаны существенные трудности, возникающие при численном интегрировании краевых задач уточненной теории слоистых оболочек и пластин — их характер, формы проявления и пути преодоления также обсуждаются в этой главе. [c.13]

Подход к решению задач об изгибе, основанный на решении краевых задач, так же, как при растяжении-сжатии и кручении, может быть применен и к СН балкам. Однако в общем случае он, очевидно, является громоздким, поскольку здесь необходимо использовать уравнение (5.23) четвертого порядка или метод раскрытия статической неопределимости, изложенный в гл. 7. Там же приведены более простые способы определения перемещений. [c.143]

Ряд задач по сопротивлению материалов не могут быть решены аналитически или же такое решение является очень трудоемким. Таковыми, например, являются задачи об определении упругой линии (см. 5.2, 5.4) и о продольно-поперечном изгибе (см. 11.1) балок с переменной жесткостью, изменяющейся непрерывно или кусочно-непрерывно при большом числе участков. Эти задачи сводятся к краевым задачам для обыкновенного дифференциального уравнения не выше четвертого порядка. Причем [c.508]

Рассмотрим краевую задачу для уравнения четвертого порядка общего вида [c.509]

Первое из соотношений (8.19) служит, очевидно, для определения изменения наклона скачка за счет излучения. Остальные три соотношения являются краевыми условиями для системы четвертого порядка (8.11). Замыкается сформулированная задача условием равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности клина, т. е. [c.667]

Колебания удлинений исследуются методом, который выяснен выше по поводу задачи о цилиндрической оболочке. Система уравнений будет в этом случае четвертого порядка, при этом нужно удовлетворить двум краевым условиям 2). При любом виде колебаний движение слагается Из [c.578]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

Этот раздел обобщает предыдущий в трех направлениях здесь вводятся неоднородные краевые условия, рассматриваются квадратичные и даже кубические элементы, а не линейные, и решаются дифференциальные уравнения четвертого порядка, а не только второго. Оценки ошибок для различных конечных элементов часто приводятся без доказательств, так как они вытекают из теории, которая будет развита далее в этой книге. Этап г метода конечных элементов те же, что и прежде вариационная постановка задачи, выделение кусочно полиномиальных подпространств в некотором допустимом пространстве, построение и решение линейных уравнений KQ Р. Эта схема в одномерном случае более или менее закончена. [c.67]

Главные краевые условия выполняются по крайней мере вдоль границы, приближенной изопараметрическими или суб-параметрическими элементами. Однако есть много обстоятельств, при которых эти элементы непригодны либо они слишком сложны для программирования вручную, либо сама задача слишком сложна — например, полная система четвертого порядка для уравнения оболочек. В таких случаях правило можно частично удовлетворить следующим образом главные краевые условия могут налагаться в граничных узлах. Между узлами полиномиальные пробные функции не могут совпасть с общей [c.203]

Описание и математическое исследование типичных для теории упругости линейных краевых задач второго и четвертого порядков система уравнений двумерной и трехмерной теории упругости, задачи теории мембран, тонких пластин, арок, тонких оболочек (гл. 1 и 8). [c.7]

Используя различные формулы Грина в пространствах Соболева, мы показываем, что, как только решаются эти задачи, по крайней мере формально решаются и поставленные классическим образом эллиптические краевые задачи второго и четвертого порядков, [c.14]

В этом разделе были рассмотрены различные задачи минимизации н вариационные задачи, каждой из которых была сопоставлена краевая задача для эллиптического оператора с частными производными (заметим, что, как показывают два последних примера, это соответствие не взаимно однозначно). По этой причине сами эти задачи минимизации и вариационные задачи называются эллиптическими краевыми задачами. На том же основании говорят, что это задачи второго порядка или четвертого порядка, если соответствующее уравнение с частными производными соответственно порядка два и четыре. [c.41]

Впредь будем предполагать, что абстрактная вариационная задача (2.1.1) соответствует эллиптической краевой задаче второго или четвертого порядка, поставленной на открытом подмножестве О. из Р" с непрерывной по Липшицу границей Г. Типичные примеры таких задач были изучены в разд. 1.2. [c.48]

Рассмотрение пластин и мембран с такими свойствами, как линейное изменение напряжений по толщине, ортогональность внешних сил к поверхности и др., приводит (в результате интегрирования уравнения (1.47) по толщине) к краевым задачам для уравнений четвертого порядка с двумя пространственными переменными. Некоторые иэ них рассмотрены в следующих разделах. [c.32]

Исследуются стационарные, автоколебательные и двухчастотные квазипериодические режимы движения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами в малой окрестности точки пересечения нейтральных кривых монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной потери устойчивости неизотермического течения Куэтта [1], Применяется методика работ [2 ], позволяющая свести дело к исследованию автономной динамической системы четвертого порядка, коэффициенты которой находятся путем численного интегрирования серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.97]

Заключение. Задача об исследовании движений вязкой теплопроводной жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн между двумя нагретыми вращающимися цилиндрами сводится к изучению автономной динамической системы четвертого порядка, коэффициенты которой находятся численно, путем решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.108]

Обратимся к задаче вычисления А . Уравнения устойчивости длинной панели, основанные на кинематической модели недеформируемой нормали, получим, выполнив в системе (4.5.5) предельный переход (3.2.20), что сводится к вычеркиванию из этой системы четвертого и восьмого уравнений и исключению из оставшихся уравнений слагаемых, содержащих функции у , и их производные. Вновь пренебрегая влиянием докритических деформаций, приходим к системе шести линейных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными, которая должна интегрироваться при краевых условиях (4.5.6), накладываемых на функции у , у у Матрица коэффициентов этой системы постоянна и ее собственные значения, как легко убедиться, таковы [c.127]

В этой главе рассматривается класс задач о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния оболочек нулевой гауссовой кривизны. Он характерен тем, что вмятины сильно вытянуты вдоль асимптотических линий и могут локализоваться вблизи одной (наиболее слабой) из них. Дополнительное напряженное состояние, возникающее при потере устойчивости, является полубезмоментным [87]. Жетод применим к выпуклым коническим и цилиндрическим оболочкам средней длины не обязательно кругового сечения края оболочки — не обязательно плоские кривые. Двумерная задача сводится к последовательности одномерных краевых задач четвертого порядка. Для цилиндрических оболочек при некоторых частных предположениях приближенное решение получено в замкнутом виде. [c.132]

В качестве дополнительных ссылок на работы по конечноэлементной аппрокси.мации краевых задач на областях с криволинейными границами см. Бабушка [4J, Бергер [1 , Bepiep, Скотт, Стренг [1], Блер [1], Брэмбл [3], Нитше [6], Скотт [4] Стренг, Бергер [1], Стренг, Фикс [2, гл. 4], Томе [1], [2], Шах [ ]. Относительно задач четвертого порядка с.м. также гл fi. [c.272]

Что касается аппроксимации задач четвертого порядка на областях с криволинейными границами, то упомянем работу Мэнсфилда [6], где рассматривается, кроме того, эффект численного интегрирования. Его подход аналогичен использовавшемуся у Сьярле, Равьяра [3] для задач второго порядка. Криволинейные изопараметрические конечные элементы нового типа предлагаются Робинсоном [1]. В случае задачи о свободно опертой пластине (см. упр. 1.2.6) упомянем парадокс Бабушки (см. Бабушка [1], а также Биркгоф [1]) В противоположность задачам второго порядка нельзя получить сходимость аппроксимации, если криволинейная граница заменяется ломаной. Это происходит потому, что краевое условие А -(1—а)3 = 0 на Г (которое включается в вариационную формулировку) заменяется тогда на краевое условие ду и — О. [c.368]

Чтобы краевая задача для уравнения четвертого порядка имела определенное решение, на контуре должны быть заданы два граничных условия. Рассмотрим, например, границу пластины X = onst. [c.57]

Пример 2. Для функции и>(х) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением четвертого порядка (2/и=4), посороить интерполирующий полином для конечного алемента. К этому классу задач относится задача изгиба балок. [c.59]

С использованием приведенньк выше полиномов можно построить интерполирующие функции, которые обеспечат условия сходимости решения по методу конечных элементов для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка. В отдельных случаях полином третьей степени может обеспечить сходимость решения и для краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями четвертого порядка. [c.63]

О точности матричного метода расчета. Предлагаемая вычислительная процедура метода начальных параметров реализует вариант метода матричной прогонки, в котором как первая прогонка (вычисление коэффициентов Л , В ), так и вторая (вычисление неизвестных векторов Хо XJ) выполняются по рекуррентным формулам. Особенность данного варианта состоит в том, что независимо от числа элементов конструкции ре шается единственная система алгебраических уравнений четвертого порядка (4), а следующая за этим вторая прогонка выполняется не обратным ходом, а как и первая — прямым. Отсюда следует, что точность вычислений по формулам метода начальных параметров (1) — (3) с помощью разрешающего уравнения (4), сводя1цего краевую задачу для составной конструкции с заданными краевыми данными Z к задаче с начальными данными Xi, в значительной мере определяется точностью решения уравнения (4), дающего неизвестные краевые данные Z. Как будет показано ниже, выбор прямого хода для второй прогонки вызван тем, что при большой длине конструкции точность определения неизвестных краевых начальных данных (первые два элемента вектора Z) значительно выше точности определения неизвестных краевых данных на отдаленном краю (остальные два элемента вектора Z). [c.78]

Для расчетов температурного поля и оценок погрешностей изыеренин температур и плотностей тепловых потоков на облучаемой поверхности термоэлектрического калориметра необходимо решение одномерной (по х. ) линейной краевой задачи теплопроводности для неограниченной пластины (контактного слоя), находящейся в идеальном тепловой контакте (граничные условия четвертого рода) с полуограниченньш телом (телом калориметра). Для времен 10 сек и непропускающего излучение контактного слоя поглощение можно считать поверхностным, чему соответствуют граничные условия второго рода на облучаемой поверхности. Для времен 10 сек следует учитывать закон поглощения излучения и пользоваться внутренним источником тепла в контактном сдое (см. 5.3). Если же контактный слой пропускает излучение, то задача теплопроводности должна решаться с учетом источников тепла в контактном слое и в теле калориметра. Однако, по данным [Юз,lto], подобные слои очень ТОНКИ и обладают значительным электрическим сопротивлением (порядка сотен ом), что делает их пригодными, главным образом, в качестве термометров сопротивления. [c.686]

Известно [62, 296], что для построения полного корреляционного приближения решения краевой задачи теории упругости микронеодно-родной среды в перемещениях с определением статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах композита в качестве исходной информации о структуре материала необходима следующая совокупность моментных функций структурных модулей упругости двухточечные и трехточечные моментные функции второго, третьего, четвертого и пятого порядков. [c.40]

Концевые условия, подобные приведенньш в выражениях (2.6), которые рассматривают только результирующие силы и моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной. поверхности (или какой-либо другой специфической поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим, отличным от приведенных в выражениях (2.6)), условиям, причем число этих условий значительно больше двух. Точные краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение напряжений, перемещений (или соотношений между ними) в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений (2.4) и (2.4а), которые получены для данного случая, так как любое решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в общем случае это маловероятно, и при решении уравнения четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернулли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия, чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех [c.65]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

Анализ нелинейной безмоментной теории и краевого эффекта проведен в гл. 5. Установлено, что при линейном и нелинейном подходе системы уравнений, описьшающие безмоментное осесимметричное напряженное состояние и краевой эффект, имеют ргйный порядок. При линейном подходе безмоментное состояние описывается системой второго порядка, а краевой эффект — системой четвертого порядка. При нелинейном подходе, наоборот, безмоментное состояние описывается уравнением четвертого порядка, а краевой эффект — уравнением второго порядка. Цель данного параграфа проследить промежуточные этапы перехода от линейной постановки задачи к нелинейной при росте уровня нагружения (см. также [93]). В качестве примера рассмотрим растяжение полусферического купола под действием внутреннего давления. [c.365]

НОГО уравнения определяют внутренние силы в сечениях оболочки и деформированное состояние ее от краевых воздействий. Общее решение однородного дифференциального уравнения четвертого порядка выполняется при четырех неизвестных постоянных. Поэтому необходимо учитывать четыре краевые условия задачи, по два на каждой стороне оболочки. [c.25]

Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975). [c.134]

На протяжении этого раздела будет предполагаться, что конформный метод конечных элементов используется для решения краевых задач второго и четвертого порядков. Суммируем вначале различные предположения, которым должно удовлетворять пространство конечных элементов Хд в соответствии с проведенным в предыдущем разделе обсуждением. Такое простраН-ство ассоциируется с триангуляцией д множества Q= U К [c.53]

Рассмотрим теперь задачу о несимметричном изгибе предварительно напряженных кольцевых пластин, которую поставили Альцхаймер и Дэвис [1968] и которая обсуждалась в п. 2.2.4. Эта задача приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (2.2.28) с краевыми условиями (2.2.29), (2.2.30). При е—+0 уравнение (2.2.28) при- [c.142]

В главе 1 описаны типичные линейные краевые задачи второго и четвертого порядка, указаны приемы перехода от классической, операторной постановки к обойденной вариационной формулировке, в том числе смешанной. Для однородности изложения рассматривался только один вариационный принцип — метод Бубнова—Галёркина. Большинство результатов переносится как на метод Ритца, так и на метод наименьших квадратов. [c.11]

После этого излагаются основные классы решаемых далее краевых задач для эллиптических уравнений и систем второго и четвертого порядка. Изложение для каждой задачи проводится по следующему плану. Сначала формулируется классическая (операторная) постадовка. Затем из нее выводится обобщенная формулировка, для которой показывается однозначная разрешимость. И наконец, при условии достаточной гладкости обобщенного решения доказывается, что оно будет решением исходной классической задачи. [c.14]

Таким образом, на отрезке [О, тг] для уравнения четвертого порядка относительно функции /((/ ) получается двухточечная краевая задача, в ходе регпепия которой определяется собственное значение Л и функция /((/ ). Для любого заданного значения п можно нолучить численное решение этой задачи. Упругая постоянная а в данной краевой задаче не присутствует, т.к. она появляется только при вычислении компонент тензора деформаций. [c.310]

В главе четвертой при наличии краевых условий, соответствующих втулочным связям, мы ставим целью определить нё-только напряжения, как это делалось в гл. III, но и деформацию оболочки. Как HLB гл. III, представляя поле напряжений как сумму поперечного я тангенциального напряжений, мы примем определенные допущения относительно поперечного поля напряжений и некоторых поперечных компонент деформации. Тогда для определения тангенциального поля напряжений будем иметь по-прежйему системы уравнений 1-го порядка с соответствующими краевыми условиями. Определив с помощью решения этой задачи тангенциальное поле напряжений, мы используем затем закон Гука, выражая компоненты тангенциального поля напряжений через компоненты деформации в эти соотношения войдут лишь е компоненты, которые, выражают деформацию оболочки в продольных направлениях, т. е. деформации координатных поверхностей S ж = onst. В результате мы получим систему уравнений и краевые условия, которые позволяют определить поле смещений. Заметим, что в случае выпуклой оболочки для решения физиче- [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...