Достаточные условия гладкости

Практическая польза от введения тензоров и Bj заключается в возможности разложения описывающих предысторию тензоров Коши и Фингера в степенные ряды вблизи момента наблюдения. При достаточных условиях гладкости имеем [c.103]

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ [c.172]

На примере консольной оболочки нулевой кривизны можно убедиться и в необходимости требования гладкости величин (15.11.1). Решение соответствующей полной безмоментной краевой задачи определяется формулами (15.17.3), (13.1.6), (13.1.10), в которых все операции по переменной заключаются только в дифференцировании. Поэтому усилия и перемещения (15.17.3), (13.1.6), (13.1. 0) будут, вообще говоря, непрерывными только тогда, когда величины (15.15.1) достаточно гладки как функции точек поперечного сечения оболочки (для замкнутой оболочки по переменной 2 должны выполняться не только условия гладкости, но и условия возврата, т. е. требования, чтобы рассматриваемая величина вместе с некоторым числом ее производных вернулась к прежним значениям после обхода поперечного сечения). А именно, для того чтобы выполнились тангенциальные условия [c.220]

Определим теперь, исходя из (1.43), условия сплошности и гладкости деформированной срединной поверхности. Деформированная поверхность будет сплошной и гладкой, когда перемещение и и поворот 9 будут однозначными и непрерывными функциями точки. Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием сплошности и гладкости деформированной срединной поверхности будет независимость интегралов в (1.43) от пути интегрирования. [c.17]

Ю. п. Красовский [11] указал достаточное условие, обеспечивающее выполнение (18) и, следовательно, гладкость волновой поверхности угол наклона волны [c.182]

В приведенных выше рассуждениях тот факт, что дно однозначно проектируется на плоскость 2 = —1, является несущественным. Поэтому доказанный достаточный признак волновода можно сформулировать так дно совпадает с горизонтальной плоскостью вне некоторой полосы, а минимальная глубина меньше, чем глубина над плоским участком дна (следует добавить еще некоторые условия гладкости дна). [c.318]

Доказательство. Предположим противное, пусть минимум (1) достигается на некоторой кривой г (г), давление вдоль которой везде больше нуля. Рассмотрим тогда значение (1) на некоторой близкой кривой г°(г) = г(г) + Г](г), где г] г) отлична от нуля только в интервал 1— 1<г<1и обладает необходимыми условиями гладкости (г и б1 - малые величины). Если на кривой г (г) неравенство (2) выполнялось строго, то при достаточно малых оно будет выполняться и для функции г°(г), так как левая часть (2) изменяется на величину порядка 0 ). Подставляя г°(г) в функционал (1), получим, что второе слагаемое в квадратных скобках после несложных выкладок представится выражением [c.374]

В этом параграфе доказывается, что если ая f удовлетворяют некоторым условиям гладкости, а fe — сингулярное, достаточно гладкое ядро, то всякое решение ф уравнения /( (ф) = f класса (S) удовлетворяет соответствующим условиям гладкости. [c.172]

Характер поведения возмущенных движений, определенный той или иной функцией V из классических теорем I, И, IV Ляпунова и теоремы 2 Четаева, лежащих в основе метода функций Ляпунова, является не только необходимым, но и достаточным условием существования такой функции. При этом выяснилось, что свойства гладкости функций V могут быть намного выше, чем гладкость правых частей уравнений возмущенного движения (1.1) (Н. Н. Красовский, 1959, 1966). [c.20]

Никоим образом не все материалы обладают квазиупругим поведением. В материалах дифференциального типа, например в жидкости Навье — Стокса, напряжения определяются производными от Р по времени в данный момент. Таким образом, чтобы рассматривать подобные определяющие соотношения, мы должны ограничить свое внимание такими предысториями деформации, которые являются непрерывными функциями времени. Если бы нам как-то и удалось избежать этого ограничения, было бы нарушено условие гладкости, заложенное в определении квазиупругой реакции. В теории Навье —Стокса малые изменения Р и не обязательно приводят к малым изменениям Т, определяемого Р — величиной, независимой от Р и в данное мгновение. Таким образом, теория квазиупругого поведения не дает в качестве частных случаев результаты, полученные в предыдущем параграфе. Как и затухающая память того или иного типа, квазиупругое поведение является не общим свойством материалов, а скорее отличительным качеством важного специального класса материалов при достаточно гладких процессах. [c.461]

IV) Условия гладкости потенциала взаимодействия. Предполагается, что потенциал взаимодействия имеет достаточное число непрерывных производных в области, где он принимает конечные значения. Часто вводят дополнительные условия на поведение этих производных при г->0 (г->Го в случае потенциала с твердой сердцевиной) и г->-оо. [c.243]

В 3—7 излагается абстрактная теория гладких возмущений. В 3 вводится удобное унитарно инвариантное понятие гладкости (гладкости по Като) какого-либо оператора G относительно самосопряженного гамильтониана Я. В 4 приводятся два достаточных условия на пару Я,С, обеспечивающих Я-гладкость оператора G. При построении теории рассеяния в 5 предполагается, что возмущение V = НJ - JHq допускает факторизацию V = G Gq, где сомножители Gq и G являются гладкими относительно операторов Hq w Н соответственно. Поскольку понятие Я-гладкости эквивалентным образом формулируется как в терминах резольвенты Я, так и его [c.145]

В приложениях иногда удобно формулировать достаточные условия Я-гладкости в терминах диагонального для Я разложения 7 в прямой интеграл. В связи с этим вводится понятие усиленной Н-гладкости. Предположим, что на компактном интервале Л = [а, 6] спектр оператора Я абсолютно непрерывен и имеет постоянную (возможно, бесконечную) кратность к. Рассмотрим (см. 1.5) унитарное отображение [c.173]

Изложению свойств операторов относительно гладких в слабом смысле, посвящен 1. В 2 приводятся точные условия, позволяющие оправдать стационарную схему 2.7, и даются соответствующие обоснования. Связь при этих предположениях стационарного подхода с нестационарным обсуждается в 3. Там же рассмотрен принцип инвариантности. С помощью понятия слабой Я-гладкости в 4 указываются эффективные достаточные условия того, что некоторый оператор является интегральным (см. п. 3 1.5) в соответствующем прямом разложении. Эти результаты используются в 5 при обосновании формульных представлений 2.8 для матрицы рассеяния. Построение полных изометрических ВО эквивалентно теореме разложения по некоторым специальным собственным векторам оператора Н Эта точка зрения развивается в 6. Наконец, в 7 рассматривается рассеяние при относительно компактных возмущениях, а в 8—локальный вариант теории. [c.192]

Отметим, что условие (3.3) выполняется, если функция / имеет в D непрерывные частные производные по у, у, . .., / . Таким образом, существование и единственность решения задачи Коши обусловливается достаточной гладкостью функции / в окрестности начальных условий. [c.97]

Из теории эллиптических уравнений (а к таковым принадлежат уравнения Ламе) известно, что решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутренних точках, если этим свойством обладает и правая часть. Более того, если потребовать, чтобы сама граничная поверхность была бесконечно дифференцируемой, краевые условия обладали достаточной гладкостью и, что очень важно, их характер не был различным на разных участках поверхности, то решение будет бесконечно дифференцируемым вплоть до граничной поверхности. Естественно, что при нарушении этих условий есть основания полагать, что решение в граничных точках будет обладать особенностью (например, его производная может оказаться неограниченной и т. д.). [c.305]

Будем предполагать, что функция ф( ) обладает достаточной гладкостью и, кроме того, удовлетворяет следующим условиям шр (и)>0, ф"(и)>0, =5 0. В качестве ф(и) можно взять, например, функцию ф( )= 2/2. [c.149]

Функция Р, = Х,ед +K,ey + Z,e называется силон, действующей на точку яг,. Условия существования, единственности и достаточной гладкости решений системы уравнений (1) считаются выполненными. На практике выражения F подбираются так, чтобы не слишком громоздко и вместе с тем возможно более точно учесть взаимодействия между точками и воздействия на них других объектов. За этой краткой формулировкой кроется следующее [c.52]

Из общих теорем функционального анализа следует, что такое построение всегда возможно, если аппроксимируемая функция обладает достаточной гладкостью [8], [42]. В частности это всегда осуществимо, если функция имеет конечное число разрывов на конечном интервале изменения независимой переменной. Таким образом, матрицы В, С можно аппроксимировать матрицами В, С с, кусочно-постоянными элементами так, чтобы выполнялись условия аппроксимации (25.3). [c.149]

Таким образом, матрица С содержит нелинейный элемент ai, вектор-функция F (t, у) — нелинейную компоненту Fz t, v)- Вследствие этого дифференциальное уравнение движения (12.7) является нелинейным общего вида. Учитывая сложность зависимости (U), решение уравнения (12.7) точными методами неосуществимо тем более, что зависимость силового передаточного отношения от скорости обычно задается таблично. Полученные экспериментально такие функции не обладают достаточной гладкостью для существования классического решения системы дифференциальных уравнений движения. Следовательно, задача отыскания точного решения в этом случае не имеет смысла. Решение системы уравнений (12.7) осуществимо методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейных зависимостей, в том числе и в случае их табличного задания по экспериментальным данным [29]. Отыскание решения аппроксимирующей системы осуществляется методами, разработанными в гл. II, причем найденное таким образом решение у t), удовлетворяющее условиям аппроксимации [c.305]

Обобщённые задачи. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения внутри области вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. классическими. Однако во мн. физ. задачах приходится отказываться от требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщённой функцией и удовлетворять ур-нию в смысле обобщённых ф-ций, краевые условия могут удовлетворяться в к.-л. обобщённом смысле. Такие краевые задачи наз. обобщёнными, а соответствующие решения — обобщёнными решениями, Напр., обобщённая задача Коши для волнового ур-ния ставится след, образом. Пусть и — классич. решение задачи Коши (2), (9). Ф-ции ни/ продолжим нулём на < п и обозначим их п и / соответственно. Тогда ф-ция и будет удовлетворять в смысле обобщённых ф-ций во всём пространстве волновому ур-нию [c.64]

Истинное распределение температуры Т М) удовлетворяет (1.85) при любой непрерывной функции w (М), подчиняющейся условию (1.83). Но из (1.85) при определенном выборе w (М) можно найти приближенное распределение температуры Т (М). В отличие от Т (М) оно не обязательно должно быть гладким, т. е. иметь во внутренних точках М V непрерывные производные по координатам. Достаточно, чтобы Т М) было непрерывным и удовлетворяло граничному условию (1.66). Ослабление требований к гладкости Т М) существенно расширяет класс допустимых функций, на которых можно рассматривать (1.85). Поэтому (1.85) называют слабой формулировкой задачи [6]. Аналогичным образом из (1.64) можно получить слабую формулировку нестационарной задачи теплопроводности [c.27]

Внешние силы, кривизны срединной поверхности и граничные условия достаточно гладки (понятие о гладкости граничных условий будет разъяснено ниже). [c.212]

Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнительные предположения ( 15.15), также необходимо. Если в какой-либо точке края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то На V, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непрерывности. Это, видно из результатов решения полной краевой задачи для консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае усилия и перемещения в данном случае определяются формулами (15.18.5), имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий (15.18.4) функции П 1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет в 15.25. [c.221]

Как видно из выражения (2.63), в случае достаточно больших радиусов корреляции (а 1 мкм) первым из указанных явлений можно пренебречь, так как в этом случае суммарная интенсивность (/з -Ь /р) однократно отраженного пучка такая же, как и в отсутствие шероховатостей. Рассмотрим поэтому, какие требования к гладкости поверхности выдвигаются вторым условием. [c.143]

Предположим, что функция ю(х, 0) ограничена и удовлетворяет условию (4.5), где 1 = х, 0 = 0, к=т—1, где Si — единичная сфера в П(х). Тогда при достаточной гладкости функции ю(х, 0) и функции ф(у) на Ге( ) в силу теоремы 4,3 существует в смысле Коши интеграл вида [c.47]

Соответствующие ряды сходятся лишь в том случае, если бесконечная сумма (3.1.22) представляет собой достаточно гладкую функцию, в силу чего коэффициенты а и убывают быстрее, чем, например, 1/п . Необходимым условием этого является требование гладкости границы полосы. Полоса, имеющая изломы границы (рис. 177), по этой причине не может перейти в сплошное пластическое состояние. [c.536]

Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости имели регулярные решения, необходимо подчинить краевые условия (граничные данные в задачах статики и колебания и граничные и начальные условия в задачах динамики) некоторым ограничениям, иными словами, выбирать их из определенных классов функций. Иногда требуется иметь решение с гладкостью более высокого порядка, чем регулярность. В этих случаях следует выбирать данные из классов достаточно гладких функций. [c.61]

Рассматривая теоремы существования статики или стационарных колебаний, мы убедились, что условия, задаваемые в постановке задач, вместе с тем или иным предположением об их гладкости были достаточны для доказательства существования классических решений. [c.342]

ДЛЯ того, чтобы обеспечить последнее условие, достаточно от данных задачи потребовать соответствующую гладкость. [c.493]

Н. Н. Боголюбов показал, что при выполнении некоторых обш,их условий ограниченности и гладкости правых частей решения системы первого приближения отличаются от решений (3) сколь угодно мало на интервале t 1/е, если в начальный момент они совпадают. При некоторых дополнительных ограничениях разность ж ( ) — х (t) имеет порядок малости е при 1 1/е. Далее было обнаружено, что если уравнение первого приближения имеет асимптотически устойчивое положение равновесия, то решения исходной системы, начинающиеся достаточно близко к этой точке, притягиваются к окрестности этой точки при i оо. Наконец, [c.119]

Функция Р z) , определяемая формулой ( 5.13), голоморфна как в области 5" , так и в /5 и при достаточной гладкости плотности / ( ) (например, если она удовлетворяет условию Гельдера на Ь) непрерывна в соответ- [c.44]

Доказано, что бесконечная система линейных уравнений (5.25) разрешима, если соблюдены условия статики, и что ее решение, вместе с (5.26) дает решение рассматриваемой плоской задачи при достаточной гладкости заданной функции / ( ). [c.47]

На контактную прочность зубчатых колес сильно влияют гладкость рабочих поверхностей и факторы, от которых зависит коэффициент трения в зоне контакта. Приведенный выше расчет зубчатых колес на контактную прочность действителен для обычно достигаемого при изготовлении и приработке зубчатых передач достаточно высокого уровня гладкости рабочих поверхностей зубьев и для условий, при которых коэффициент трения в зоне минимальной контактной прочности (т. е. вблизи полюсной линии) близок к 0,08. [c.88]

Укажем прежде всего достаточное условие гладкости коммутаторного типа. Это условие позволяет строить Н-гладкие операторы, коль скоро найден такой вспомогательный антисимметричный оператор А, что коммутатор [Я, Л] положителен. Приведем сразу более общее утверждение такого типа, в котором антисимметричность А не предполагается. [c.172]

При вынолиении условия гладкости (2.2.8) осреднениых по пространству величин формулы (2.2.9), (2.2.15), (2.2.17) легко обобщаются и для величин (2.2.37), осреднениых по пространству и времени. Фактически при пространственно-временном осреднении требование (2.2.8) можно ослабить, имея в виду, что каждое дополнительное интегрирование приводит к дополнительному сглаживанию. Достаточно требовать лишь, чтобы характерные расстояния Agx и Аух изменения величин (Фд)й1 и <ф1>уг были [c.75]

При Л->-0 кубический сплайи равиомерио сходится к аппроксимируемой функции при условии достаточной ее гладкости. Квадратичные сплайны таким свойством не обладают. Если, например, иа левом конце интервала задать вторую производную, то по мере приближения к правому концу эти сплайны начинают осциллировать, тем сильнее, чем меньше Л. — Прим. перев. [c.13]

За основу при изложении принимается вьюод упрощенного (модельного) уравнения, в котором явно вьоделены главные эффекты, а второстепенными поправками пренебрегается. Необходимым условием при этом является сохранение симметрии присущей исходным уравнениям, В частности, должны сохраняться аналоги интегралов движения, имеющиеся у исходных уравнений. Это очевидное условие приходится отмечать в связи с тем, что имеются работы, в которых ему не уделяется достаточного внимания. В ряде работ из упрощенных уравнений получаются решения, которые не удовлетворяют необходимым условиям гладкости. Такие решения иногда представляют интерес, но к ним надо относиться с осторожностью. [c.7]

В случае достаточно малых значений параметров Р и у при соответствующих условиях гладкости и согласования на основе принципа сжимающих отображений можно доказать однозначную разрешимость в пространствах Гёльдера и пространствах Соболева начально-краевых и краевых задач для системы уравнений (1.3) в ограниченной области с условиями прилипания для вектора скорости и условиями Неймана для температуры и концентрации, а также задачи Коши (для последней также в пространствах Соболева с экспоненциальным весом). Доказательства вполне аналогичны [8]. [c.70]

Граница области Go вЕедена для удобства счета, поэтому закон ее движения может бкть произвольным, однако при этом необходимо заботиться о хорошей сшивке решения разностных уравнений в Gi с приближенным решением в Gq. Переменный -коэффициент а опреде ляют из условия достаточной гладкости профиля давления. Прежде чем переходить к вычислениям на слое с номером п+1, находят градиент давления на границе областей Go и Gi на слое п. После этого значения коэффициента а выбирают по формуле [c.109]

Теорема Э. Нетер допускает обобщения. Одно из них связано с учетом свойства калибровочной (дивергентной) инвариантности функции Лагранжа и впервые сформулировано Е. Бессель-Хагеном [ 19] со ссылкой на устное сообщение Э. Нётер. Как известно, функция Лагранжа I может быть заменена т Ь = сЬ + X (с — валентный множитель, не зависящий от фазовых переменных и времени t) — произвольная калибровочная функция, удовлетворяющая условию достаточной гладкости). Пусть с = 1. Нетрудно убедиться, что из требования (10), [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...