Система координат волнового вектора

Следовательно, среднее значение а-й компоненты (в системе координат волнового вектора) оператора векторного потенциала, возникающего к моменту t под влиянием стороннего тока (46.40), определяется выражением [c.365]

Мы будем использовать здесь систему координат, введенную в разд. 4.3, в которой вектор s определяет направление третьей оси. В этой системе координат волновое уравнение записывается следующим образом [c.121]

В случае вещественного волнового вектора к из уравнений (2.18) и (2.20) следует, что векторы электрического и магнитного полей лежат в плоскости, перпендикулярной вектору к, т. е. световая волна поперечна. Из (2.19) или (2.21) видно, что векторы Е и В перпендикулярны друг другу и вместе с вектором к образуют правую тройку векторов (как орты I, ], к правой системы координат). Величины векторов Е и В в каждой точке и в любой момент времени связаны соотношением [c.80]

Как известно из курса электричества, колеблющийся диполь является источником сферической электромагнитной волны, векторы напряженности которой на больших расстояниях от источника , в так называемый волновой зоне, равны по величине и взаимно перпендикулярны. В этом легко можно убедиться , если воспользоваться сферической системой координат. Положим, что радиус-вектор R, проведенный из точки О в точку наблюдения М, составляет угол О с направлением дипольного момента р (рис. 2.5). Решая волновое уравнение для волновой зоны, можно получить следующие выражения для (t) и Н (t) [c.30]

Соотношение со = сА между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматической звуковой волны, распространяющейся в неподвижной среде. Нетрудно получить аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат). [c.369]

Пусть из линейной среды, обозначаемой в дальнейшем 1, на границу раздела с нелинейной средой 2 падает монохроматическая плоская волна (частота со), порождающая обычные отраженную и преломленную волны. Волновые векторы этих волн изображены жирными стрелками на рис. 41.11, из которого ясна и выбранная система координат. Тонкие стрелки соответствуют волновым векторам волн с частотой 2со, и их смысл будет пояснен ниже. [c.846]

Таким образом, в общем случае задачи динамики упругой среды сводятся к определению четырех волновых функций. Для уменьшения произвола служит условие div ф = 0. Вместо этого условия можно взять любое другое дополнительное условие, совместное с остальными условиями задачи, пользуясь тем, что вектор ф можно выбирать с точностью до градиента произвольной функции. Существенно, что представление (5.50) оказывается весьма неудобным в трехмерном случае, когда для построения рещения вводится криволинейная система координат. Поскольку векторное уравнение в проекциях на оси дает, вообще говоря, связанную систему, уравнений для проекций вектора, то эту скалярную систему придется решать совместно. [c.296]

В общем случае, когда О. в. зависит не только от времени, но и от координат (пространств, дисперсия), необходимо учитывать релятивистский принцип причинности причина не может влиять на следствие, если их мировые точки разделены пространственноподобным интервалом. Поэтому в однородной системе для фурье-образа О. в. к(д, со) (где д — волновой вектор) получим [c.374]

Теоретическое описание акустических и гравитационных мод. Поскольку периоды р- и -мод намного меньше периода вращения Солнца, то в первом приближении пренебрегают влиянием вращения и колебания рассматриваются как малые периодич. возмущения равновесного состояния Солнца. В сферич. системе координат (г, 6, <р) распределение амплитуды стоячих волн по поверхности постоянного радиуса описывается сферич, гармониками (0, ф) (см. Сферические функции), где I — степень сферич. гармоники — целое число, равное полному кол-ву узловых линий на поверхности и задающее горизонтальную компоненту волнового вектора кд = 1(1 - - 1)/г т — азимутальный порядок — [c.581]

Однородные и изотропные случайные иоля. Однородное случайное поле называют изотропным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов, вращений и отражений системы координат во всем пространстве Корреляционная функция однородного и изотропного поля зависит только от модуля вектора р = х —х I, а спектральная плотность — только от модуля волнового вектора /г = I к 1. Корреляционная функция и спектральная плотность однородного [c.279]

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное . Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s. Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями [c.84]

Оси распространения в кристалле кубической группы 43т. Пусть в кристалле группы 43т распространяется световая волна с волновым вектором К, направленным по радиус -вектору полярной системы координат (в, ф). В системе координат, показанной на рис. 7.14, ось z совпадает с волновым вектором К, а ось х выбрана таким образом, чтобы с-ось кристалла (ось z) располагалась в плоскости x z. Ось у перпендикулярна осям z их. [c.294]

Пусть система координат выбрана таким образом, чтобы ось х была перпендикулярна свободной поверхности вещества, а акустическая поверхностная волна распространялась в направлении оси z (рис. 9.10). Пусть в, 0 и 0 — углы, которые падающий, отраженный и преломленный световые пучки составляют соответственно с осью X. Тогда волновые векторы отраженного и преломленного световых пучков даются соответственно выражениями [c.386]

Следующие три строки в таблице относятся к отражающим элементам резонатора. При отражении от зеркала обе поляризации претерпевают одинаковый скачок фаз, а направление волнового вектора меняется на противоположное. Выражение для матрицы Джонса этого элемента имеет вид единичной матрицы, но следует помнить, что правая система координат после отражения меняется на левую и это может привести к изменению формы записи других анизотропных элементов в резонаторе [см. выражения для матрицы 5(0) для взаимного вращателя]. [c.89]

Введя проекцию Ej вектора Е на плоскость, параллельную плоскости волнового фронта, = Е = Е% Еу, после приведения уравнения сечения оптической индикатрисы к главным осям поворотом системы координат на угол [c.139]

Дифференциальное сечение рассеяния нейтронов протонами в системе координат, где покоится центр инерции сталкивающихся частиц, определяется общей формулой (3.1). Волновой вектор k равен при этом [c.21]

Распространение плоских волн при наклонном падении на границу раздела. Пусть плоская граница разделяет две несмешивающиеся жидкости / и 2 с плотностями pi, р2 и сжимаемостями р 2-Допустим, что в первой среде по направлению в сторону к границе раздела распространяется плоская волна ф . Требуется определить волновое поле в обеих жидкостях, которое возникает в результате преломления и отражения падаюш ей волны фх от границы раздела сред. Расположим ось л декартовой системы координат по направлению нормали к границе раздела, а плоскость XOY — параллельно волновому вектору падающей волны (см. рис. УП.2.1). Поля упругих волн в обеих жидкостях должны удовлетворять волновым уравнениям [c.185]

Волновой вектор. Чтобы освободиться от использования системы координат, запишем (2.34) с помощью векторных обозначений. Пусть вектор к равен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси Z в сторону положительных значений (рис. 5). Такой вектор называется волновым. Принимая во внимание, что k-r = kz, запишем для произвольной точки, характеризуемой радиусом-вектором г, вместо (2.34) выражение [c.21]

Выберем ось г системы координат вдоль волнового вектора к. Тогда у векторов Е и В могут быть отличны от нуля только проекции на оси хну. Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение, когда у вектора Е во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например 1). [c.18]

Изложим подробно решение задачи для плоского рельефа (4.2.5). Полагая волновой вектор возмущений к ориентированным по оси х декартовой системы координат, в силу однородности задачи по у получим, что переменные не зависят от у во всех порядках теории возмущений. Кроме того, также во всех порядках теории возмущений [c.169]

Эти уравнения для волновых амплитуд принято называть уравнениями генерации . Для их вывода мы до сих пор ограничивались изотропной средой и волнами с одним направлением поляризации. Однако обычно в приложениях важную роль играют также анизотропные вещества, поскольку в них нелинейные эффекты проявляются уже во втором порядке. Кроме того, как в изотропных, так и в анизотропных веществах наблюдаются эффекты, в которых большое участие принимают компоненты поля с различными направлениями поляризации. В этих общих случаях система уравнений генерации сложным образом зависит от направлений распространения и поляризации отдельных волн. В дальнейшем мы сделаем упрощающие предположения, при которых уравнения генерации для компонент Е. будут подобны уравнениям для изотропной среды при фиксированном направлении поляризации. Вновь предположим, что волновые векторы всех участвующих в процессе волн имеют одно и то же направление, за которое мы выберем ось г лабораторной системы координат. Этого можно достичь, если направить излучение перпендикулярно к соответствующим образом вырезанной поверхности кристалла. Кроме того, мы ограничимся оптически одноосными кристаллами и расположим ось у лабораторной системы координат в плоскости главного сечения, т. е. в плоскости, образуемой направлением распространения луча и оптической осью. Ось х перпендикулярна этой плоскости. При таком выборе осей. -компонента волны с частотой I распространяется как обыкновенная водна с волновым числом = <7о (Л, а /-компонента — как необыкновенная волна с волновым числом ао /) . (Мы обозначаем через волновое число света с направлением поляризации .) Наконец, мы сделаем достаточно часто выполняющееся предположение, что эллипсоид линейного показателя преломления мало отклоняется от сферической формы. При этом предположении оказывается возможным во многих случаях пренебречь [c.101]

Ру > 0. В жидкости, у которой плотность уменьшается с ростом температуры, Р < О, это означает, что градиент температур в выбранной нами системе координат должен быть отрицательным, и наоборот. Для газов коэффициент термического расширения меньше нуля, значит, гравитационное поле и градиент температур должны быть параллельны. В этом случае, как видно из (3-6-47) и (3-6-48), с заданной частотой о распространяются две волны. Одна, соответствующая выбору знака плюс перед В в выражении (3-6-48), является сильнозатухающей. Другая, компоненты волнового вектора которой мы Сейчас выпишем, [c.287]

Напомним, что, согласно теории поляризуемости (обобщенной теории Плачека), изложенной в 3, мы можем определить оператор поляризуемости системы, взаимодействующей с электромагнитным полем. В частности, весь вывод выражения (3.45) можно проделать так же, как для чистого кристалла, за исключением тех результатов, которые определяются трансляционной симметрией и приводят к зависимости оператора поляризуемости P(R) от волнового вектора. Однако использованное при выводе (3.45) адиабатическое приближение и связанные с ним предположения разумно перенести на случай возмущенной системы. Это означает, что основная структура теории, изложенной в 3, сохраняется и для кристалла с дефектами, так что комбинационное рассеяние света на фононах мы можем описывать в рамках теории, в которой оператор P R) разлагается в ряд Тейлора по нормальным координатам и подставляется в (3.45), причем последовательные члены ряда описывают 1-, 2-. .. фононные процессы. [c.245]

Структура уравнения (365) подсказывает, что реальная физическая система включает одновременно причинно-следственную лоренц-инвариантную эволюцию вектора состояния, т.е. эволюцию "намерений", и случайную "волевую" последовательность действий, т.е. коллапсов М. Коллапсы волновых функций на Земле могут происходить как сами по себе, т.е. спонтанно, так и в результате прямой или косвенной связи с коллапсами квантов солнечного излучения в каскадах их превращений в тепловое движение атомов и молекул. В последнем случае темп коллапсов (абсолютная величина нелинейного оператора М) определяется неравновесностью, т.е. уровнем потока негэнтропии. Оператор коллапсов может быть лоренц-неинвариантен. Он действует, в основном, в предпочтительной системе координат, жестко связанной с Землей. В покоящейся системе коррелированных частиц оператор коллапсов действует одновременно по всему прост- [c.335]

Рассмотрим сначала простейшее представление электрический ток — это движение электронов под воздействием приложенного электрического поля. В металлах число электронов, участвующих в электропроводности, зависит от структуры кристалла, а для одновалентных металлов —это один электрон на атом Поведение электрона, находящегося в твердом теле, удобнее всего описывать в трехмерной системе координат, для которой три декартовы координаты кх, ку и кг являются компонентами волнового числа к. Электрону с энергией Е и импульсом р соответствует волновое число к. Согласно уравнению де Бройля, р=Ьк (где Й—постоянная Планка, деленная на 2л) и Е р 12т. Положение электрона в -пространстве характеризуется вектором к, пропорциональным импульсу электрона. В ыеталле, содержащем N свободных электронов, при абсолютном нуле температуры электроны займут N 2 низших энергети- [c.187]

Для вычисления матрицы коэффициентов отражения (6.7) необходимо вычислить нагрузочную матрицу С. Обозначая штрихом все величины, относящиеся ко второму (вертикальному) стержню, введем две системы координат, связанные с каждым стержнем (см. рис. 6.1). Во второй системе координат нагрузочная матрица равна волновой матрице i. fi = iUi. Чтобы найти ее значение в первой системе, напишем векторы обобщенных сил и смещений также в первой системе [c.175]

При больших амплитудах К. становятся пелнпей-ными, происходит смещение собств. частот системы и обогащение их спектра гармониками и субгармопи-ками. Ограничение амплитуды К. может быть обусловлено как нелинейной диссипацией энергии, так и уходом системы из резонанса. При возбуждении К. в системах с распределёнными параметрами. макс. амплитуды достигаются в случае нространственно-вре.менного резонанса, когда но только частота впеш. воздействия, но его распределение по координатам хорошо подогнаны к структуре нормальной моды или, на языке бегущих волн, когда наступает пе только совмещение их частот (резонанс), но и волновых векторов (синхронизм). [c.402]

Для иллюстрации проведем вычисление матрицы тензора Аё для кристалла LiNbOs (точечная группа Зт) в типичной его голографической ориентации, когда оптическая ось с лежит в плоскости образца. Волновой вектор решетки К также будет считаться лежащим в этой плоскости под некоторым произвольным углом р к оси с (рис. 5.7). Рассмотрение оказывается удобным проводить в собственной кристаллографической системе координат кристалла (х, у, г ), в которой матрицы тензоров в и ё имеют наиболее простой вид (см. табл. 10.2). При дополнительном упрощающем предположении [c.86]

Так же, как и в классической механике, пространственно однородная система определяется требованием трансляционной инвариантности вигнеровских функций [см. формулу (3.5.1)]. Если, однако, использовать представление Фурье, то это свойство будет выражаться немного иначе. Из соотношения (3.6.15) видно, что добавление ко всем координатам q произвольного вектора а, вообще говоря, приводит к изменению функции fV (ч> P)i не изм1внявтся лишь вклад, обусловленный теми значениями к, сумма KOfopHX равна нулю. Следовательно, в вигнеров-хкую функцию, описывающую однородную систему, могут давать вклад только фзфье-компоненты с волновыми векторами, дающими в сз мме нуль [c.119]

Направляя ось Z декартовой системы координат вдоль волнового вектора к излученного фотонас и принимая ю внимание, что к — сй/с, перепшпем (10.9) в виде [c.71]

Следовательно, законы распространения сдвиговых волн в неогоа-ниченном изотропном теле ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущих разделах общих законов распространения продольных волн. При этом волновое уравнение в форме (Х.17) описывает распространение или чисто продольной волны со скоростью о, или чисто сдвиговой волпы со скоростью Сх. Уравнение же (Х.4) относится к произвольной ориентации вектора смещения и, в котором в общем случае можно выделить как продольные, так и сдвиговые компоненты, причем эти компоненты и1 Wv, Чц, являются взаимно перпендикулярными. Решением уравнения (Х.4), отнесенного к прямоугольной системе координат Х = у, г, является, таким образом, плоская волна с произвольной ориентацией вектора смещения и относительно этих координат [c.213]

В одномерных задачах для безграничного изотропного тела ось х декартовой системы координат всегда можно направить вдоль волнового вектора к. Тогда /г,/ = = О, // = 1 и продольным ieщeннeм будет смещение вдоль оси х, т. е. = , а вектор поперечного смещения будет лежать в плоскости уг и иметь составляющие Цу = г ц Цг - I,. Ъ этом случае волновое уравнение (Х.4) [c.213]

В качестве интенсивности в данном случае выступает величина, равная проекции вектора Умова-Пойнтинга на ось гг декартовой системы координат. Пусть 1д х,у) распределение интенсивности в плоскости г = О, I х, у) распределение интенсив-постж в плоскости г = [. Требуется найти волновое поле у, г), удовлетворяющее следующим условиям [c.210]

Седловую точку к можно определить, используя уравнение Ф = onst и для каждого направления к откладывая из начала прямоугольной системы координат два волновых числа (Atj и распространяющихся в этом направлении волн. Таким образом, можно получить двулистную поверхность волновых векторов, один лист которой соответствует значениям kj, а другой — kj (см. задачу 14). При этом в соответствии с уравнениями (5.11.3) нормаль к поверхности в точке к является параллельной вектору г. [c.395]

Как представить квантовое состояние В предыдущем эазделе получен вектор состояния Ф) полной системы. Теперь нас не интересуют все детали, и мы сосредоточимся только на сути. Если входящая в резонатор де-бройлевская волна покрывает всю протяжённость L стоячей волны, то составляющая атомного импульса вдоль волнового вектора поля пренебрежимо мала. В приближении Рамана-Ната атом покидает резонатор, приобретя импульс р = Ял/п os кх)Нк. Здесь я обозначает амплитуду взаимодействия. Отсюда напрашивается изобразить состояние движения ф) атома в виде кривой р = = Хл/п С08 kx)hk в фазовом пространстве, образованном импульсом р и координатой х. Тогда самым простым вариантом функции распределения в фазовом пространстве для этого состояня является [c.634]

Кроме четырехмерных векторов, тензоров и спиноров, имеется еще широкий класс существенно иных, не сводящихся к перечислешгым выше, но также ковариантных относительно Л. п. величин, обладающих бесконечным числом ко.мпонент. 1 величинам такого рода относятся, нанр., волновые ф-щп1 (векторы состояния) релятивистской киантовой теории (см. Квантовая теори.а полей) и т. н. тензорные моменты, определяющие поляризационные состояния частиц в релятивистской квантовой теории рассеяния. Напр., вектор поляризации / частицы с импульсом р, энергией Ё и массой т при Л. п. к системе координат, движущейся со скоростью г имеет вид [c.18]

Если в системе координат, в к-рой среда покоится (у = 0), диэлектрич. и магнитная проницаемости зависят только от частоты со, то в системе, где среда движется со скоростью v, аргументом е и fi является доплеровски сдвинутая частота (со — /ev)/ У-l—u / . Это означает, что если в покоящейся среде отсутствовала пространственная дисперсия, то в движущейся среде она появляется. Из (И) видно, что закон распространения волны зависит от угла, к-рый ее волновой вектор А составляет со скоростью переиоса среды v. Обозначая угол между А и и чере.з , получаем следующее значение фазовой скорости волны со//с [c.500]

Вывод основных соотношений, преобразующих уравнения аэрогидродинамики-уравнение импульсов и неразрывности, в волновое уравнение с правой частью, описан в ряде работ [31, 15, 36], поэтому на выводе этого у1<авнения, называемого уравнением Лайтхилла, специально останавливаться не будем. Отметим лишь, что в уравнениях, полученных Лайтхиллом, предполагалось, что сами источники (турбулентные рейнольдсовы напряжения) и среда, в которой распространяется генерируемый ими звук, неподвижны, либо источники и среда перемешаются с одинаковой поступательной скоростью. Поскольку такое перемещение описывается стационарными уравнениями, то принципиально никаких новых процессов, обусловленных движением, не возникает. В уравнениях, описывающих излучение равномерно движущихся источников, появляется множитель типа (1 Мсо8 0), где 0-угол между направлением движения и радиусом-вектором 1 - у , соединяющим точку излучения у с точкой наблюдения от множитель отражает появление кинематического эффекта (доплеровского частотного сдвига) при равномерном перемещении источников относительно неподвижного наблюдателя. Движение точки излучения у определяется соотношением у = у + 17(х — у)/со = у + М х — у1, где у отсчитывается в подвижной системе координат. Что касается точки наблюдения х, то если она перемещается вместе с равномерно движущимся потоком, то доплеровского смещения нет, а если точка х находится вне области, занятой источниками, которая предполагается неподвижной, то появляется упомянутый выше доплеров-ский множитель. В общем случае может перемещаться как точка наблюдения х, так и точка излучения у. [c.40]

V = О)/к обозначает фазовую скорость. Фазовая скорость, как известно, соответствует скорости перемещения точки с постоянной фазой (р = ot — кх = onst. Рассмотрим, как эта точка движется в "штрихованной" системе координат, движущейся с относительной скоростью V по отношению к неподвижной системе координат. Для этого следует с помощью соотношений (197) выразить х, t через х, t и подставить эти выражения в соотношение <р = ot - кх = onst. Мы получим после этого выражения для новой частоты со, нового волнового вектора к и новой фазовой скорости V [c.287]

Граничные условия и волновые функции. Пусть в кристалле введена система координат с неортогоиальнымн единичными векторами а, Ь. с. Показать, что граничные условия на поверхностях параллелепипеда с ребрами A la, Nib, Л зс дают для решений волнового уравнения свободного электрона фуш<цни вида [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...