Линейные колебания системы двух точек

Линейные системы обладают еще одной важной чертой. Если параметры, определяющие свойства системы (масса тела, коэффициент упругости пружины, коэффициент трения), не зависят от смещения и скорости тела, то, значит, свойства системы не изменяются от того, что в системе происходят какие-либо движения, например собственные колебания. Поэтому внешнее воздействие будет вызывать в линейной системе такой же эффект, как и в случае, когда собственные колебания отсутствуют (на этом основании мы и имели право рассматривать выше процесс установления как наложение собственных и вынужденных колебаний, поскольку речь шла о линейной системе). Точно так же в случае, когда линейная система подвергается одновременно двум воздействиям, каждое из них вызывает такой же эффект, как и в случае, когда другое воздействие отсутствует. Поэтому результирующий эффект двух (или нескольких) воздействий будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Это уже знакомый нам принцип суперпозиции, который был применен в 108 к статическим состояниям линейной упругой системы. Здесь мы его применяем к динамическим состояниям линейной колебательной системы. Как ясно из сказанного, принцип суперпозиции справедлив только в линейных системах и не соблюдается в нелинейных системах. [c.615]

Поучительно доказать то же самое аналитическим путем, исходя из дифференциальных уравнений (26.4). Можно показать (см. задачу IV.2), что боковые слагающие угловой скорости вращения (появление которых вызвано небольшим возмущением) удовлетворяют системе двух линейных дифференциальных уравнений, имеющих в случаях Аи В решения тригонометрического вида, а в случае Б — решение экспоненциального вида (метод малых колебаний в качестве критерия устойчивости). [c.197]

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию Ро д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу, — называют силовой характеристикой. При этом Ео( ) >-0. На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях дифференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной dFo(q)/йд, называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением у [c.65]

Локализация энергии в нелинейной системе. В теории линейных колебаний хорошо известно явление биения — периодический обмен энергией двух осцилляторов. Роль осцилляторов могут играть две молекулы или молекула и электромагнитное поле. Если в начальный момент времени первый осциллятор неподвижен, а второй возбужден, то через интервал времени, обратно пропорциональный коэффициенту взаимодействия, энергия второго осциллятора перейдет к первому. Учет ангармоничности приводит к подавлению эффекта биений — теперь только малая часть энергии второго осциллятора участвует в обмене [213]. [c.320]

Пример 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ . Принципиальную схему динамического поглотителя колебаний можно представить в виде двух грузов P и подвешенных последовательно с помощью пружин АВ ж ВС к неподвижной точке Л (рис. 37). Жесткости пружин обозначим через с, и g. к грузу приложена вертикальная гармоническая возмущающая сила Q sin wt. Описанная схема является, таким образом, последовательным соединением двух линейных осцилляторов — первого (основного) с грузом Pj и жесткостью j и второго — с грузом Pg и жесткостью с . Пренебрегая массами пружин, получим систему с двумя степенями свободы, положение которой при колебаниях будет определяться отклонениями Xj и x грузов от положения равновесия. Уравнения вынужденных колебаний системы будут иметь вид [c.164]

Резонансные кривые псевдогармонических колебаний имеют вид, изображённый на фиг. 12. Здесь кривые 1 соответствуют мягкой характеристике упругого элемента, т. е. уменьшению жёсткости при увеличении амплитуды, а кривые 2 — жёсткой характеристике, т. е. увеличению жёсткости при увеличении амплитуды. Кривые 3 соответствуют линейной характеристике, т. е. постоянной жёсткости системы. За пределами интервала, ограниченного на фиг. 2 ординатами т и п, каждой данной частоте соответствуют три различных значения амплитуды среднее из этих значений неустойчиво и совершенно ие проявляется, что касается относительной устойчивости двух других значений амплитуды, то обычно происходит срыв колебаний с больших амплитуд на [c.247]

Более тщательное исследование определителя (2,11) с учетом (2,8) показывает, что он имеет пять или шесть корней, равных нулю, в зависимости от того, является ли рассматриваемая система (ее равновесная конфигурация) линейной или нет. Эти корни соответствуют ненастоящим нормальным колебаниям именно в этом случае происходит простое перемещение молекулы вдоль одной из координатных осей или вращение ее как целого вокруг одной из двух или трех определенных осе . Так как при таком движении не возникает квазиупругих сил, то колебательная частота равна нулю ). Далее, можно показать, что все остальные М — 5 или - 6 решений отличны от нуля и вещественны (см. Уиттекер [25]). Таким образом, мы имеем ЗЛ — 5 или ЗЛ/—6 настоящих норма.п,ных колебаний в полном согласии с приведенным выше подсчетом числа колебательных степеней свободы-). [c.82]

Для несимметричной линейной трехатомной молекулы XYZ непрерывный спектр также будет возникать только тогда, когда положение и глубина потенциальной ямы значительно различаются в верхнем и нижнем состояниях. Здесь в дополнение к возможности диссоциации на три атома (когда оба равновесных расстояния г и г изменяются пропорционально) имеется также возможность диссоциации в одно колебание на X -f- YZ или XY + Z, если только г или сильно изменяется при переходе в возбужденное электронное состояние. Это потому, что система после поглощения фотона может достигнуть точки сбоку ямы, из которой после прохождения через минимум фигуративная точка выходит через одну из двух долин (фиг. 168). Чем больше изменение межъядерного расстояния, тем более вероятен такой процесс. Однако, если изменения невелики, хотя энергия и достаточно высока, фигуративная точка может достигнуть долины, соответствующей диссоциации, не сразу, а но фигурам Лиссажу только через некоторое время. Такой механизм более полно рассмотрен в следующем разделе. [c.461]

Приведем теперь расчет более сложного случая линейной цепочки, состоящей из чередующихся атомов двух сортов с массами т и М (рис. 4.9). Такая система ведет себя принципиально иначе здесь появляется новый тип колебаний — оптическая мода. Уравнение движения каждого из атомов выводится точно так же, как и в случае цепочки одинаковых атомов. В частности, для 1-то и [c.153]

Здесь следует указать на одно отличие от линейных систем устойчивость или неустойчивость осциллятора по-прежнему зависит от амплитуды. Поэтому утверждение об устойчивости положения равновесия при Й<Й1 справедливо лишь для достаточно малых амплитуд, т. е. для устойчивости в малом. Если рассматривать случай, соответствующий рис. 134, то осциллятор при й==1,7(Во будет устойчив лишь при фв<с75° в интервале амплитуд 75°<Сфо< < 137° осциллятор неустойчив при больших амплитудах колебания снова будут затухающими. Таким образом, заданному значению частоты соответствуют два возможных устойчивых стационарных вида движения система может или оставаться в положении равновесия ф=0, или совершать периодические колебания с амплитудой Фо=137°. Какой из этих двух видов движения будет осуществлять ся, зависит от начальных условий. Неустойчивая ветвь а разграничивает начальные условия, которые приводят к тому или иному из двух видов движения. [c.178]

Прямолинейные колебательные движения материальной точки иод действием линейной восстанавливающей силы, силы сопротивления, проно1)циональной первой степени скорости, и постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай системы материальных точек, подчиненной стационарным связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается представление о колебаниях, развивающихся под действием нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух следующих глав курса можно рассматривать как введение в теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее важных областей приложений теоретической механики к вопросам техники. [c.479]

Если выйти за рамки модели одноатомного идеального газа и рассматривать многоатомные молекулы, то следует принять, что каждый атом обладает тремя степенями свободы (как материальная точка) следовательно, в общем случае число степеней свободы для молекулы, составленной из п атомов, равно 3 . Молекулу теперь следует считать системой материальных точек с центром масс, обладающим тремя степенями свободы поступательного движения. Кроме того, система может вращаться вокруг центра масс, а вектор угловой скорости, произвольно расположенный в пространстве, будет иметь три проекции на оси координат — три вращательных степени свободы. Атомы в молекуле подвижны по отнощению одни к другим и испытывают колебания относительно положения равновесия. На колебательные степени свободы приходится, таким образом, число, равное в общем случае для многоатомной молекулы 3 —6 для линейных молекул (атомы расположены вдоль прямой) это число равно Зп—5, поскольку вращательная степень свободы для линии, соединяющей атомы, отсутствует. Каждая колебательная степень свободы требует в среднем вдвое больше энергии, чем степень свободы поступательного или вращательного движения. Так происходит потому, что система из двух колеблющихся атомов обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией колебания расчеты покаэывают, что на долю каждой приходится Т, следовательно, на [c.35]

Перенос колебаний с одной степени свободы на другую. Пусть S и Г) — две лагранжевы координаты голономной системы с каким угодно числом степеней свободы, со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативной системы сил. Рассмотрим колебания системы около одного из ее положений равновесия, соответствующего для определепности нулевым значениям i и rj, и предположим, что эти две координаты, если и не являются сами нормальными, то представляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами (и, само собой разумеется, независимые) некоторых двух нормальных координат системы. [c.408]

ЧАСТОТА (биений циклическая — частота негармонических колебаний, получающихся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами волны — частота гармоническая (синусоидальная), соответствующая упругой волне колебаний частиц среды вращения — величина, равная отношению числа оборотов, совершенных телом, ко времени вращения линейная— частота гармонических колебаний обращения—частота периодического движения точки по замкнутой траектории несущая — частота модулируемой волны резонансная — частота колебаний, при которой наступает явление резонанса собственная—частота гармонических колебаний системы, не подвергающейся действию внешних сил характеристическая—частота колебаний определенной группы атомов в молекулах, соответствующая определенной химической связи щжлическая — частота гармонических колебаний, умноженная на два пи циклотронная — частота обращения заряженных частиц в постоянном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности этого поля) ЧИСЛО [Авогадро — число молекул (или атомов) в одном моле вещества (6,022136 10 моль ) волновое — отношение циклической частоты к скорости волны вращательное квантовое определяет энергию ротатора квантовое (главное—целое число, определяющее энергетические уровни водородного атома в стационарном состоянии магнитное— целое число, определяющее проекцию вектора орбитального момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля орбитальное — целое число, определяющее орбитальный момент импульса электрона в атоме спиновое определяет спиновой момент импульса электрона в атоме) координационное — число ближайших к данному атому соседних атомов в кристаллической решетке] [c.296]

Амплитуда горизонтальных колебаний г значительна и с увеличением скорости возрастает по линейному закону. Вертикальные перемещения стола видны в виде колебаний с небольшой амплитудой, наложенных на кривую неровностей ленты, относительно которой измеряются перемещения. Последнее подтверждается симметрией кривой относительно точки реверса и неизменностью ее формы при изменении скорости. Регистрация движения стола при различных значениях параметров системы показала, что при неустойчивом движении всегда возникают колебания в двух направлениях с одинаковой частотой, близкой к частоте собственных колебаний, и с постоянным отношением между амплитудами. Типичная зависимость амплитуды горизонтальных колебаний от скорости изображена на фиг. 4 сплошной линией. При определенных значениях среднего удельного давления, скорости, жесткости привода, вязкости смазки и других параметров в диапазоне скоростей 0,5—10 мЫин (8,3— 167 мм сек) наблюдались как релаксационные, так и гармонические колебания. [c.58]

С математической точки зрения проблема существования ОПВ сводится к следующему. Дисперсионное уравнение, ио.лу-чаемое из граничных условий и определяющее скорость ОПВ при комплексных у,, само в принципе является комплексным и может быть разделено на вещественную и мнимую части. Таким образом, скорость ОПВ должна удовлетворять пе одному, как нри действительных значениях а двум вещественным уравнениям, что возможно в двух случаях. Либо когда скорость есть комплексная величина v = v + iv", и тогда ОПВ не являются собственными колебаниями системы (затухание волн предполагаем отсутствующим ). Либо действительная и мнимая части дисперсионного уравнения линейно зависимы и содержат общий (вещественный) множитель. Его обращение в нуль и определяет скорость ОПВ. В этом случае можно ожидать, что укороченное дисиерсионное уравнение будет сравнительно простым. [c.97]

Одновременно с появлением дебаевской теории Макс Борн и фон Карман (М. Вогл, Th. von Karman, 1912) предложили строить теорию твердого тела на основе непосредственного расчета дисперсионной зависимости частоты собственных колебаний от волнового вектора, и> = ш(к), и плотности числа собственных колебаний для упорядоченных пространственных структур из упруго связанных материальных точек. Уже на примере линейной цепочки упруго связанных масс (см. задачи 51 и 52) удалось выявить многие характерные Черты спектра собственных колебаний системы, прежде всего образование акустической ветви колебаний из смещений узлов, образование оптической ветви в многоатомной цепочке, структуры плотности числа собственных колебаний, ограниченной сверху и имеющей запрещенные зоны внутри, и т. д. К сожалению, полное аналитическое исследование аналогичной задачи для двух- и трехмерных решеток провести не удается. Приближенный расчет собственных частот трехмерной решетки достаточно сложен. Впервые такой расчет для простой кубической решетки был выполнен лишь в 1937 г., теперь же это делает ЭВМ для различных кристаллических структур. [c.206]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Если одна из собственных частот Шд линейной части (при — 0) двух уравнений системы (1) близка к половине частоты внешней возмущающей силы 03, т. е. удовлетворяет соотношению Ш5 — <в/2 = fiej, где fiEj — расстройка частот, то на основании исследований [41 можно утверждать, что возможно косвенное возбуждение колебаний одновременно в направлении двух координат и ф. Условия устойчивости состояний ijj = ф = О будут-выражаться следующими неравенствами [c.110]

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ (от лат. de rementnin — уменьшение, убыль) (логарифмический декремент затухания) — количественная характеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе представляет собой натуральный логарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Т. к. в линейной системе колеблющаяся величина изменяется по закону г —sin постоянная величина а — коэф. затухания) и два последующих нанб. отклонения в одну сторону и Хз (условно паз. амп.читудами колебаний) разделены промежутком времени Т —2л/(о (условпо наз, периодом колебаний), то а Д. 3. d — n XjX ) — aT. [c.578]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

Все выбранные точки системы делят на две группы — входные и выходные. Оба вектора содержат как силовые, так и кинематические величины. Такая система является обычно передаточным звеном между двумя другими системами, рдна из которых является источником колебаний, другая — нагрузкой, воспринимающей вибрационную энергию. Например, однородный стержень, совершающий изгибные колебания в одной плоскости, имеет на каждом из двух концевых сечений перерезывающую силу, момент, линейное и угловое перемещения — вектор из четырех компонентов. [c.77]

Все программы, расчета на ЭВМ состоят из двух частей. Первая часть включает описание системы уравнений станка, подпрограммы для расчета отдельных коэффициентов этой системы. Вторая часть включает стандартные программы для решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений (процессор). В процессоре используется метод комплексных амп-, литуд, при котором решение находится в виде линейной комбинации функции где —комплексная амплитуда ш — круговая частота гармонических колебаний, задаваемых правыми частями уравнений. Система решается для ряда значений (до 100) в заданном интервале частот. На печать выдаются значения выходной координаты и всех переменных системы уравнений станка, что позволяет графически построить амплитуднофазовую частотную характеристику и формы колебаний станка при любой частоте. Если известна характеристика резания и возмущения от привода и фундамента, то задача решается от начала до конца с помощью ЭВМ. [c.185]

Из линейности уравнений вытекает, что движение, возникающее в результате одновременного действия нескольких сил, является простой суммой движений, обязанных силам, взягым в отдельности. Каждая сила вызывает соответствующее ей колебание, независимо от наличия или отсутствия других сил. Таким образом, особенности силы некоторым образом переносятся на движение системы. Если, например, сила периодическая, с периодом т, то таким же будет и возникающее колебание. Каждый гармонический элемент силы будет вызывать соответствующее гармоническое колебание в системе. Однако ввиду того, что отставание по фазе е и отношение амплитуд а Е для различных компонент неодинаковы, результирующее колебание хотя и будет обладать тем же периодом, но будет отличаться от силы по своему характеру. Может случиться, например, что одна из компонент силы изохронна или приблизительно изохронна со свободным колебанием в этом случае она проявится в движении вне всякого соответствия со своим первоначальным значением. В качестве другого такого примера мы можем рассматривать случай системы, находящейся под действием двух сил почти одинакового периода. Возникающее здесь колебание, складываясь из двух колебаний, находящихся почти в унисоне, согласно принципам, изложенным в предыдущей главе, имеет перемежающийся характер. [c.70]

По сравнению с многочисленными традиционными курсами, п назначенными для технических вузов, в предлагаемой читателям ге в двух томах более подробно рассматриваются общие теоремы намики системы, движение материальной точки в центральном с вом поле, динамика тела переменной массы, теория гироскопов, н торые вопросы аналитической механики, а также теории линейн нелинейных колебаний. Большое число подробно рассмотренных дач помогает усвоению теорий некоторые задачи имеют самос тельное значение. [c.9]

Таким образом, в отличие от линейной системы здесь имеется свое образный эффект возмущающие силы вызывают не только колебани с частотами этих сил, но также дополнительные колебания с частотам (15.66) - комбинационные тоны. В зоне звуковых частот это может при вести к нежелательным явлениям. Так, в громкоговорителе восстанав ливающая сила мембраны нелинейна. При возбуждении двух различны тонов (посредством периодических электромагнитных сил) с частотам 0 и О2 возникнут не только колебания с частотами OJ и О2, но и ком бинационные тоны. Если эти тоны также лежат в области слышимости то передаваемая по громкоговорителю музыка будет ими искажена. Ана логичной причиной объясняется другое явление, изученное Гельмгольцем Именно, человеческое ухо, испьпывающее действие двух тонов с частотам О, и О,, воспринимает не только их, но и тоны с круговыми частотам [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...